第8讲勾三股四弦五II(教师)

第八讲.勾三股四弦五II
【教学目标】
1.复习直角三角形及勾股定理；
2.掌握勾股定理的直接应用；
3.掌握构造勾股定理法。

4.掌握勾股定理的综合应用
【知识、方法梳理】
1. 勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么
222a b c +=. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
A
B
C
a b c
弦股
勾
勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长,,a b c 有下面关系：2
2
2
a b c +=，那么这个三
角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足2
2
2
a b c +=的三个正整数叫做勾股数（注意：若,,a b c 为勾股数，那么
,,ka kb kc 同样也是勾股数组。

）
*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长,,a b c 满足2
2
2
a b c +=，那么这个三角形是直角三角
形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为90的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c ）；
（2）若2
2
2
c a b =+，则ABC ∆是以C ∠为直角的三角形； 若2
2
2
a b c +<，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若2
2
2
a b c +>，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）
4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一
半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等
于30。

5. 勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段
【典例精讲】
类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法
例1. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

【思路点拨】：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

【解析】：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，根据题意得：
()()2
2
2
3420x x +=
化简得2
16x =； ∴直角三角形的面积＝
21
346962
x x x ⨯⨯== 总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

类型二：勾股定理的应用
例2. 如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且30QPN ∠=，点A 处有一所中学，
AP ＝160m 。

假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路
MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18/km h ，那么学校受影响的时间为多少秒？
【思路点拨】：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A ，实质上是看A 到公路的距离是否小于100m , 小于100m 则受影响，大于100m 则不受影响，故作垂线段AB 并计算其长度。

（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A 的影响所行驶的路程。

因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

【解析】：作AB ⊥MN ，垂足为B 。

在 Rt ABP ∆中，∵90,30,160,ABP APB AP ∠=∠==
∴ 1
80.2
AB AP =
=（在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） ∵点 A 到直线MN 的距离小于100m ,
∴这所中学会受到噪声的影响。

如图，假设拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶到点C 处学校开始受到影响，那么
AC =()100m ，
由勾股定理得： 222
100803600BC =-=,∴ 60BC =。

同理，拖拉机行驶到点D 处学校开始脱离影响，那么，AD ＝()100m ，BD ＝()60m , ∴CD ＝()120m 。

拖拉机行驶的速度为 :18/5/km h m s = 1205/24t m m s s =÷=。

答：拖拉机在公路 MN 上沿PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

类型三：数学思想方法 （一）转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
例3. 如图所示，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =．求线段EF 的长。

【思路点拨】：现已知BE 、CF ，要求EF ，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD ． 【解析】：连接AD ．
因为90BAC ∠=，AB AC =． 又因为AD 为ABC ∆的中线， 所以AD DC DB ==．AD BC ⊥． 且45BAD C ∠=∠=．
因为90EDA ADF ∠+∠=． 又因为90CDF ADF ∠+∠=． 所以EDA CDF ∠=∠． 所以()AED CFD ASA ∆≅∆． 所以5AE FC ==． 同理：12AF BE ==．
在Rt △AEF 中，根据勾股定理得：
2
2
2
2
2
2
51213EF AE AF =+=+=，所以13EF =。

总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。

通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

（二）方程的思想方法
例4.已知ABC ∆中，90C ∠=，60A ∠=，33a b +=，求a 、b 、c 的值。

【思路点拨】：由33a b +=，再找出a 、b 的关系即可求出a 和b 的值。

【解析】：在Rt ABC ∆中，60A ∠=，9030B A ∠=-∠=， 则2c b =，由勾股定理，得()
2
22223a c b b b =-=
-=。

因为33a b +=，所以333b b +=+， (
)3
31331
b +=
=
+ ，3333a b ==⋅=，223c b ==。

总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

类型四：综合应用二：
例5.如图,一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B ，则它走过的最短路程为( )
A ．3a
B ．(12)a +
C ．3a
D ．5a
【分析】:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的各棱长相等,因此只有一种展开图。

【解答】:将正方体侧面展开得，如右图示范，由图知2AC a =，BC a =。

根据勾股定理得222(2)55.AB a a a a =+==
故选D ．
例6.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为
b ，那么()2b a +的值为（ ）
（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169
【解析】：由勾股定理，结合题意得22
13a b +=①
由题意，得2()1b a -=②
例E
在DE ∴22222222CD BE BD AE CD DE AE AC --+=-+=. 又∵CD BD =，∴222BE AE AC -=.
►点评：证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过
作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件。

例8.如图，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，•若其长BC 为
a ，宽AB 为
b ，则折叠后不重合部分的面积是多少？
【分析】：图形沿EF 折叠后A 、C 重合，可知四边形'
AFED 与四边形CFED 全等，则对应
边、角相等，∴AF FC =，且FC AE =，则'
ABF AD E ∆∆≌，•由三角形面积公式不难求
出不重合部分的面积。

【解答】：∵图形沿EF 折叠后A 、C 重合， ∴四边形'
AFED 与CFED 关于EF 对称， 则四边形'AFED ≌四边形CFED ∴AFE CFE ∠=∠．
∴AF FC =，'90D D B ∠=∠=∠=，'
AB CD AD ==．
∵AD BC ∥， ∴AEF EFC ∠=∠．
∴AEF AFE ∠=∠．AEF AFE ∠=∠ 则AE AF =．
∴'
Rt ABF Rt AD E ∆∆≌．
在Rt ABF ∆中，∵90B ∠=，90B ∠=
∴2
2
2
AB BF AF +=．222
()b x a x +=- 设BF x =，222
()b x a x +=-，
∴22
2a b x a
-=。

∴2211222222ABF a b S S bx b a
∆-==⨯=⨯=22()2b a b a -．
【双基训练】
1.等边三角形的边长为2，求它的面积。

2.直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。

3.若直角三角形的三边长分别是1n +，2n +，3n +，求n 。

4.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A 、8，15，17
B 、4，5，6
C 、5，8，10
D 、8，39，40
5.如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。

他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m ），却踩伤了花草。

6.如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

（1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD 的面积是多少？
（3）求出图中线段AC 的长（可作辅助线）。

【纵向应用】
7.如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8AB =cm ，10BC =cm ，求EF 的长。

【横向拓展】
8.ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，若90C ∠=，如图（1），根据勾股定理，则
2
22c b a =+，若ABC ∆不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理， 试猜想2
2
b a +与2
c 的关系，并证明你的结论。

练习题答案
【双基训练】
1.【答案】如图，等边ABC ∆，作AD BC ⊥于D
则1
2
BD BC =（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） ∵2AB AC BC ===（等边三角形各边都相等）
∴BD ＝1
在直角三角形ABC 中，2
2
2
AB AD BD =+， 即：2
2
2
13AD AB BD =-=-= ∴3AD = 1
32
ABC S BC AD ∆=
⋅= 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a ，则其面积为3
4
a 。

2.【答案】设此直角三角形两直角边长分别是,x y ，根据题意得：
222
512(1)5
(2)x y x y ++=⎧⎨+=⎩ 由（1）得：7x y +=，
()2
49x y +=，22249x xy y ++= (3) (3)－(2)，得：12xy = ∴直角三角形的面积是
()211
12622
xy cm =⨯=
3.【思路点拨】：首先要确定斜边（最长的边）长3n +，然后利用勾股定理列方程求解。

【解析】：此直角三角形的斜边长为3n +，由勾股定理可得： ()()()2
2
2
123n n n +++=+
化简得：24n =
∴2n =±，但当2n =-时，110n +=-<，∴2n =
总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

4.【解析】：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用2
2
2
c a b =+的变形：()()222b c a c a c a =-=-+来判断。

例如：对于选择D ，
∵()()2840394039≠+⨯-，
∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

同理可以判断其它选项。

【答案】：A 5. 【解析】：他们原来走的路为3+4＝7(m)
设走“捷径”的路长为x m ，则22345x =+= 故少走的路长为7－5＝2(m)
又因为2步为1m ，所以他们仅仅少走了4步路。

【答案】4
6.【答案】（1）单位正三角形的高为
32，面积是1331224
⨯⨯=。

（2）如图可直接得出平行四边形ABCD 含有24个单位正三角形，因此其面积
324634
⨯=。

（3）过A 作AK BC ⊥于点K （如图所示），则在Rt ACK ∆中，
2
2333322AK ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
,
15
1122
KC =++=，故2
222
3351322AC AK KC ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 【纵向应用】
7. 【解析】：因为ADE ∆与AFE ∆关于AE 对称，所以AD AF =，DE EF =。

因为四边形ABCD 是矩形，所以90B C ∠=∠=，
在Rt ABF ∆中，10AF AD BC ===cm ，8AB =cm ， 所以()22221086BF AF AB cm =
-=-=。

所以()1064FC BC BF cm =-=-=。

设EC xcm =，则()8EF DE x cm ==-。

在Rt ECF ∆中，222
EC FC EF +=，即()2
2248x x +=-，解得3x =。

()85EF DE x cm cm ==-= 即EF 的长为5cm 。

【横向拓展】
8.解：若ABC ∆是锐角三角形，则有222
a b c +＞；
若ABC ∆是钝角三角形，C ∠为钝角，则有2
2
2
a b c +＜； （1）当ABC ∆是锐角三角形时，如下图
证明：过点A 作AD CB ⊥，垂足为D 。

设CD 为x ，则有DB a x =- 根据勾股定理得2222
()b x c a x -=-- 即：2
2
2
2
2
2b x c a ax x -=-+-
∴222
2a b c ax +=+
∵a ＞0，x ＞0
∴2ax ＞0
∴222a b c +＞
（2）当ABC ∆是钝角三角形时，如下图示：
证明：过点B 作BD AC ⊥，交AC 的延长线于点D . 设CD 为x ，则有222DB a x =-
根据勾股定理得2222()b x a x c ++-=
即 ：222222b bx x a x c +++-=
∴222
2a b bx c ++=
∵b ＞0，x ＞0
∴2bx ＞0
∴222a b c +＜。