浙江省台州中学2018届高三下学期模拟考试数学试题(解析版)

1．C【解析】分析：首先解一元二次不等式，求得集合N，应用补集的定义求得集合M，再结合交集定义求得
，从而求得结果.
详解：由于，所以，，所以，故选C.
点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确集合的运算法则，注意对应集合中元素的特征，从而求得结果.
点睛：该题考查的是有关复数的概念的问题，涉及到的知识点是有关纯虚数的特征，把握纯虚数的实部为零且虚部不为零时解题的关键.
3．B【解析】分析：首先根据题中所给的不等式组，作出可行域，应用三角形面积公式求得结果.
详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的区域如下图所示：
其为阴影部分的三角区，
解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为，
根据三角形的面积公式可以求得，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式组表示的平面区域的问题，在解题的过程中，首先需要利用题中所给的条件，将区域画出来，分析得到其为三角区，联立方程组求得三角形的顶点坐标，最后应用三角形的面积公式求得结果.
4．D【解析】分析：首先利用相关的知识点，对选项逐一分析，结合不等式的性质，可以断定A项是充要条件，B,C是既不充分也不必要条件，只有D项满足是充分不必要条件，从而选出正确结果.
详解：对于A，根据函数的单调性可知，，是充要条件；
对于B，时，可以得到，对应的结果为当时，；当时，，所以其为既不充分也不必要条件；
对于C，由，可以得到，对于的大小关系式不能确定的，所以是既不充分也不必要条件；
故排除A,B,C ，经分析，当时，得到,充分性成立，当时，不一定成
立，如2>1,但2=1+1，必要性不成立，故选D.
点睛：该题主要考查必要、充分条件的判定问题，其中涉及到不等式的性质的有关问题，属于综合性问题，对概念的理解要求比较高.
5．D 【解析】分析：利用双曲线的定义和已知条件，即可求得，进而确定三角形的最小内角，
再利用余弦定理和离心率计算公式即可求得结果.
点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有双曲线的定义，需要利用三角形中大边对大角的结论确定出最小内角，之后利用余弦定理得到对应的等量关系式，结合离心率的式子求得结果.
6．B 【解析】 由题意得，三角形的面积1
sin 2
S ab C C =
=，所以tan 2C =，
所以cos 5
C =
，
由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =B .
7．D【解析】分析：由得到，要比较与的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出与的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到与的大小，从而求得最后的结果.
点睛：该题考查的是有关函数值比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，从
而比较得到，利用函数值的符号，从而可已得到，结合，得到最后的结果.
8．B【解析】分析：首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得的值，进而得到正确的选项.
详解：根据题意可知，，
，故选B.
点睛：该题考查的是离散型随机变量的期望和方程的有关问题，在解题的过程中，注意正确理解离散型随机变量的期望和方差的意义，正确使用其运算公式，从而得到确切的值，得到正确的答案.
9．C【解析】分析：首先利用题的条件，结合正方体的特征，对选项逐一分析，判断对应的命题是否正确，从而选出正确的结果.
详解：根据正方体得出，而,所以有，故A正确；
因为为定值，故B正确；
二面角就是二面角，所以其为定值，故D正确；
因为F=B1与E=D1时二面角的大小不同，故C不正确；
故选C.
点睛：该题考查的是有关正方体的特征，涉及到的知识点有线线垂直的判定，二面角的大小，棱锥的体积问题，要对知识点正确理解和熟练掌握，再者就是需要注意该题要选的是不正确的选项.
10．D【解析】分析：将函数看成抛物线的方程，由于抛物线的开口向上，由
方程无实数根可知，对任意的，，从而得出没有实根.
点睛：该题考查的是有关方程根的个数问题，在解题的过程中，需要根据题意，利用二次函数的有关性质，以及所给的不等式，可以断定函数图像之间的关系，从而得到对应的结果，从而得到选项.
11．32【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为0，求出的值，将的值代入通项求出展开式的常数项，令，得到所有项的系数和.
详解：展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式中的常数项为，
令，得到所有项的系数和为，得到结果.
点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.
12．11【解析】分析：首先根据题中所给的三棱锥的正视图和侧视图，可以断定该三棱锥的底面三角形的底和高的值，从而应用三角形面积公式求得结果，之后根据正视图和侧视图可以断定三棱锥的高，从而应用棱锥的体积公式求得结果.
详解：根据题中所给的三棱锥的正视图和侧视图，
可以断定其底面三角形是底和高分别等于2和1的三角形，
从而可以得到其俯视图的面积为，
而该三棱锥的高为3，所以其体积，
故答案是1；1.
点睛：该题考查的是根据几何体的正视图和侧视图研究几何体，需要从题中所给的正视图和侧视图中读出相关的信息，从而判断得出该三棱锥对应的几何体的特征以及相关的量的大小，之后应用相关的公式求得结果. 13．-12【解析】分析：首先根据题中的条件，结合等差数列的通项公式和求和公式，建立关于其首
项与公差所满足的等量关系式，解方程组，求得其值，之后再借助于等差数列的通项公式和求和公式求得相应的结果.
点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式和求和公式，在解题的过程中，需要对相应的公式熟练应用即可求得结果，属于基础题目.
14．【解析】分析：首先根据圆关于直线对称，可得直线过圆心，将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心坐标，代入直线方程，求得，之后将其转化为关于b的关系式，配方求得最小值，通过分析图形的特征，求得什么情况下是该题所要的结果，从而得到圆心到直线的距离即为外接圆的直径，进一步求得其半径.
详解：由可得，
因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，
即，化简得，
则有，所以有的最小值为；
根据图形的特征，可知PC最短时，对应的最小，
而PC最短时，即为C到直线的距离，
即，此时A,B,P,C四点共圆，
此时PC即为外接圆的直径，所以其半径就是.
点睛：该题考查的是有关直线与圆的问题，在解题的过程中，注意圆关于直线对称的条件，之后应用代换，转化为关于b的二次式，利用配方法求得最小值，再者就是分析图形，得到什么情况下满足取最值，归纳出外接圆的直径，从而求得半径.
15．【解析】分析：此问题可以分为以下三种情况：i）选取的4个数字是1,2,3,4；ii）从四组
中任取两组；iii）从四组中任取一组，再从剩下的3组中的不同的三个数字中任取2个不同的数字，利用排列与组合的计算公式及其乘法原理即可得出.
iii)从四组中任取一组有种取法，再从剩下的三组中的不同的三个数中任取2个不同的数字有种取法，把这两个不同的数字安排到四个数位上共有种方法，而剩下的两个相同数字只有一种方法，由乘法原理可得此时共有个不同的四位数；
综上可知，用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是，故答案是204.
点睛：该题考查的是有关排列组合的综合题，注意应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，分析对应的条件，从而求得结果，属于常规题目.
16．【解析】分析：首先对模平方，根据向量数量积化简，对配方，根据实数平方为非负数求最小值.
详解：
当且仅当时取等号，即的最小值是3.
点睛：该题考查的是有关向量模的最小值问题，应用向量的平方与向量模的平方是相等的，得到关于的关系式，配方求得最小值.
17．【解析】分析：首先根据一次式的绝对值的特点，以及分段函数解析式中对应的分界点，可以确定
的零点分别是，结合一次函数解析式的特征，先设出三个函数解析式中的一次项系数，结合特征，得到对应的等量关系式，最后求得函数解析式，进一步求得函数值.
详解：设三个函数的一次项系数都是大于零的，结合题中所给的函数解析式，并且的零点分别是，再进一步分析，
可知，解得，
结合零点以及题中所给的函数解析式，
可求得，
所以可以求得，故答案是2.
点睛：该题考查的是有关一次函数对应绝对值的问题，在解题的过程中，需要先明确一次式的绝对值的式子的特征，结合分段函数解析式中的分界点，从而可以确定两个一次函数的零点，从而进一步求得三个一次函数的解析式，代入求得函数值.
18．(1)；(2)时，最小值为，时，最大值.
【解析】分析：(1)首先利用向量的数量积坐标公式求得函数的解析式，并应用差角公式和辅助角公式对其进行化简，得到，之后借助于正弦曲线的对称中心求得结果.
(2)根据题中所给的，可以得到，结合正弦函数的性质，求得函数在给定区间上的最值，并求出相对应的自变量的值.
（2）当时，，，
且时，最小值为，时，最大值
点睛：该题考查的是有关正弦型函数的有关性质，涉及到的知识点有向量的数量积坐标公式，正弦函数的对称中心，正弦函数在给定区间上的最值问题，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，保证公式的正确使用，注意对整体角思维的运用，再者就是不要忘记.
19．(1)；(2)证明见解析.
【解析】分析：(1)求出原函数的导函数，求出函数，再求出的值，由直线方程的点斜式写出切线方程并化简，即可得结果.
(2)将不等式进行化简，移项，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，最后证得结果.
详解：（1），
在点处的切线方程为，
点睛：该题考查的是有关导数的定义和应用导数证明不等式的问题，在解题的过程中，注意曲线在某个点处的切线方程的求解步骤，以及应用导数证明不等式恒成立的解题思路，利用导数研究函数的最值，通过最值所满足的条件，求得结果.
20．(1)证明见解析；(2)或.
【解析】分析：（1）首先连接相应的点，利用三角形的中位线，得到对应的平行线，结合线面平行的判定定理，证得线面平行；
（2）利用线面角的平面角的定义，先找出线面角的平面角，之后放入三角形中，解三角形即可求得结果.
详解：解法一：（1）连接交于点，连接，
因为分别为中点，
所以，平面，平面，
所以平面
∴即直线与平面所成角
设，则，，
解得或者，
∴或
点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，有关线面角的求解问题，在解题的过程中，需要铭记线面平行的判定定理的内容，找到平行线，即可证得结果，关于线面角的问题关键是找到对应的平面角.
21．(1)或；(2).
【解析】分析：（1）分直线的斜率为0和不为0两种情况说明，将直线的方程与椭圆的方程联立，应用韦达定理，结合题的条件，求得结果；
（2）应用弦长公式，结合变量的范围，应用函数的单调性，最后求得结果.
详解：（1）当直线的斜率为时，中点的轨迹为（）
当直线斜率存在且不为时，设直线的方程为，设为弦的中点
，
由，，得得，所以，则中点的轨迹方程为
综上，中点的轨迹方程为或
（2）由以及消可得
，
解得
点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，在解题的过程中，注意直线方程与椭圆方程联立，应用韦达定理，得到根的关系，需要对直线的斜率为0和不为0来讨论，再者就是应用弦长公式，从函数的角度来处理，注意对应的变量的范围.
22．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.
【解析】分析：(1)应用作差比较法，结合题中所给的条件，进行相应的代换，将差式的符号进行判断，最后求得结果；
(2)先应用分析法证得，之后累乘，结合对数的运算性质证得结果；
(3)结合第一问的结论，将式子变形，证得结果.
详解：（1）∵，，
∴，
∴
∴
累乘法可得，
∴
∴
（3）∵，
∴
，而
∴.
点睛：该题考查的是有关数列与函数和不等式的综合题，涉及到的知识点有数列单调性的证明，分析法证明结论，应用不等式的传递性将问题转化等，在解题的过程中，需要时刻注意公式的正确使用以及结论的相关条件.。