2014届高考数学(理)一轮复习【配套文档】：第五篇 第3讲 平面向量的数量积 含答案

第3讲平面向量的数量积
A级基础演练(时间：30分钟满分：55分）
一、选择题（每小题5分，共20分)
1．若向量a＝(3，m)，b＝（2，－1），a·b＝0，则实数m的值为( )．
A．－错误! B.错误!C．2 D．6
解析由a·b＝3×2＋m×(－1)＝0,解得m＝6。

答案D
2．(2013·东北三校联考)已知|a｜＝6，|b｜＝3，a·b＝－12,则向量a在向量b方向上的投影是
( )．
A．－4 B．4 C．－2 D．2
解析设a与b的夹角为θ,∵a·b为向量b的模与向量a在向量b 方向上的投影的乘积，而cos θ＝错误!＝－错误!，
∴｜a｜cos θ＝6×错误!＝－4.
答案A
3．(2011·广东）若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)
＝（)．
A．4 B．3 C．2 D．0
解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案D
4．（2012·天津）已知△ABC为等边三角形，AB＝2。

设点P,Q满足错误!＝λ错误!，错误!＝（1－λ)错误!，λ∈R。

若错误!·错误!＝－错误!，则λ等于（)．
A。

错误! B.错误!
C.错误!D。

错误!
解析以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0）,C（1,3)，由错误!＝λ错误!，得P（2λ,0),由错误!＝(1－λ）错误!,得Q（1－λ,错误!（1－λ）），所以错误!·错误!＝（－λ－1，错误! (1－λ）)·(2λ－1，－错误!）＝－(λ＋1)（2λ－1）－错误!×错误!（1－λ）＝－错误!，解得λ＝错误!.]
答案A
二、填空题(每小题5分,共10分)
5．（2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则错误!·错误!的值为________；错误!·错误!的最大值为________．解析以错误!,错误!为基向量，设错误!＝λ错误!（0≤λ≤1)，则错误!＝错误!－
错误!＝λ错误!－错误!，错误!＝－错误!,所以错误!·错误!＝(λ错误!－错误!)·（－错误!）＝－λ错误!·错误!＋错误!2＝－λ×0＋1＝1。

又错误!＝错误!，所以
错误!·错误!＝(λ错误!－错误!）·错误!＝λ错误!2－错误!·错误!＝λ×1－0＝λ≤1，即错误!·错误!的最大值为1.
答案 1 1
6．（2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝错误!，BC＝2，点E为BC的中点,点F在边CD上，若错误!·错误!＝错误!，则错误!·错误!的值是________．解析以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系xOy，则错误!＝（错误!，0),错误!＝（错误!，1)，
设F(t,2)，则错误!＝(t,2）．
∵错误!·错误!＝错误!t＝错误!，∴t＝1，
所以错误!·错误!＝（错误!,1）·（1－错误!,2）＝错误!。

答案2
三、解答题(共25分）
7．(12分）设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及｜3a－2b｜＝错误!.（1)求a，b夹角的大小；
(2)求｜3a＋b｜的值．
解（1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7，即9｜a|2＋4|b|2－12a·b ＝7，而|a｜＝｜b｜＝1，
∴a·b＝错误!，∴｜a|｜b｜cos θ＝错误!，即cos θ＝错误!，
又θ∈［0,π］，∴a，b的夹角为错误!.
（2）(3a＋b）2＝9｜a｜2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，
∴｜3a＋b|＝错误!.
8．(13分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(－1，－2），B(2,3）,C （－2，－1)．
(1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足（错误!－t错误!）·错误!＝0，求t的值．
解(1)由题设知错误!＝（3,5），错误!＝（－1，1），则
错误!＋错误!＝（2,6），错误!－错误!＝（4，4）．
所以|错误!＋错误!|＝2错误!，｜错误!－错误!｜＝4错误!。

故所求的两条对角线长分别为4错误!，2错误!。

（2）由题设知错误!＝（－2，－1），错误!－t错误!＝（3＋2t，5＋t）．由(错误!－t错误!)·错误!＝0,
得（3＋2t,5＋t)·(－2，－1）＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－错误!.
B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)
一、选择题（每小题5分，共10分）
1．（2013·鄂州模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点,已知向量
错误!＝（2，2)，错误!＝（4，1)，在x轴上取一点P，使错误!·错误!有最小值，则P点的坐标是( ）．
A．(－3,0）B．(2，0) C．(3,0）D．（4，0）
解析设P点坐标为(x，0),
则错误!＝(x－2，－2），错误!＝(x－4，－1）．
错误!·错误!＝(x－2）（x－4)＋(－2)×（－1)
＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1。

当x＝3时,错误!·错误!有最小值1.
∴此时点P坐标为（3，0），故选C.
答案C
2．(2012·广东）对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβ＝错误!.
若平面向量a，b满足|a｜≥|b｜〉0,a与b的夹角θ∈错误!，且a错误!
b和b a都在集合错误!中,则a错误!b＝
( ）．
A。

错误!B．1 C.错误! D.错误!
解析由定义αβ＝错误!可得b错误!a＝错误!＝错误!＝错误!，由|a|≥｜b｜>0，及θ∈错误!得0〈错误!〈1，从而错误!＝错误!,即｜a｜＝2|b｜cos
θ。

a b＝错误!＝错误!＝错误!＝2cos2θ，因为θ∈错误!,所以错误!〈cos θ<1，所以错误!〈cos2θ<1，所以1<2cos2θ<2.结合选项知答案为C。

答案C
二、填空题（每小题5分，共10分）
3．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，（a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1,则|a｜2＋|b｜2＋｜c|2的值是________．
解析由已知a·c－b·c＝0，a·b＝0，|a|＝1，
又a＋b＋c＝0,∴a·（a＋b＋c）＝0，即a2＋a·c＝0，
则a·c＝b·c＝－1，
由a＋b＋c＝0，∴（a＋b＋c)2＝0，
即a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0，
∴a2＋b2＋c2＝－4c·a＝4，
即|a|2＋｜b|2＋｜c|2＝4。

答案4
4．(2012·安徽)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3,则a·b的最小值是________．
解析由|2a－b｜≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b，而4a2＋b2＝｜2a｜2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－错误!，当且仅当2a＝－b时取等号．
答案－错误!
三、解答题(共25分）
5．（12分）设两向量e1,e2满足|e1｜＝2，|e2｜＝1，e1，e2的夹角为60°,若向量2t e1＋7e2与向量e1＋t e2的夹角为钝角,求实数t的取值范围．
解由已知得e2，1＝4，e2，2＝1，e1·e2＝2×1×cos 60°＝1。

∴(2t e1＋7e2)·（e1＋t e2)＝2t e错误!＋（2t2＋7)e1·e2＋7t e错误!＝2t2＋15t ＋7.
欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0,得－7＜t＜－错误!。

设2t e1＋7e2＝λ（e1＋t e2)（λ＜0),
∴错误!∴2t2＝7。

∴t＝－错误!，此时λ＝－错误!.
即t＝－错误!时，向量2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为π.
∴当两向量夹角为钝角时,t的取值范围是
错误!∪错误!。

6．(13分）(2012·东营模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝错误!，n＝错误!，且满足|m＋n|＝错误!。

（1)求角A的大小;
（2）若|错误!｜＋｜错误!|＝错误!|错误!|，试判断△ABC的形状．
解（1)由|m＋n｜＝错误!，得m2＋n2＋2m·n＝3，
即1＋1＋2错误!＝3,
∴cos A＝错误!。

∵0<A〈π，∴A＝错误!.
（2)∵｜错误!｜＋｜错误!｜＝错误!｜错误!｜，∴sin B＋sin C＝错误!sin A，∴sin B＋sin错误!＝错误!×错误!,
即错误!sin B＋错误!cos B＝错误!,∴sin错误!＝错误!.
∵0<B〈错误!，∴错误!〈B＋错误!<错误!，
∴B＋π
6
＝错误!或错误!，故B＝错误!或错误!.
当B＝错误!时，C＝错误!；当B＝错误!时，C＝错误!.故△ABC是直角三角形。