高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》技巧及练习题附答案

【最新】数学《计数原理与概率统计》高考知识点
一、选择题
1．把15个相同的小球放到三个编号为123
，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（）
A．18B．28C．38D．42
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案．
【详解】
根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123
，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，
先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，
则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，
将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有
2 887
28 2
C
⨯
==种不同的放法，
即有28个不同的符合题意的放法；
故选B．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．
2．若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（）
A．1
8
B．
3
5
C．
5
8
D．
7
8
【答案】C
【解析】
【分析】
设1路车到达时间为x和2路到达时间为y．（x，y）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果.
【详解】
设1路车到达时间为x和2路到达时间为y．（x，y）可以看做平面中的点，
试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|0≤x≤10且0≤y≤20}，这是一个长方形区域，面积为S＝10×20＝200
A 表示某生等车时间不超过5分钟，
所构成的区域为a ＝{（x ，y ）|0≤x ≤5或0≤y ≤5}， 即图中的阴影部分，面积为S ′＝125， 代入几何概型概率公式，可得 P （A ）'12552008
S S === 故选C
【点睛】
解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()
221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=
B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ= 【答案】D 【解析】
由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2= 1.99，故D 不正确．故选D ．
4．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点
数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v
共线的概率为( )
A ．
13
B ．
14
C ．
16
D ．
112
【答案】D 【解析】 【分析】
由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r
共线的基本事件的个数，利用
古典概型及其概率的计算公式，即可求解。

【详解】
由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636⨯=种结果，
又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r
共线，即630m n -=，即2n m =， 满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果，
所以向量p u r 与q r 共线的概率为31
3612
P =
=，故选D 。

【点睛】
本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

5．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（
表示一根阳线，
表示一根阴线），从
八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）
A ．
314
B ．27
C ．
928
D ．
1928
【答案】A 【解析】 【分析】
列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】
根据题意一共有：
乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑； 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况.
满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.
故632814p =
=. 故选：A . 【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
6．下列等式不正确的是（ ）
A ．111
m m
n
n m C C n ++=+ B ．121
11m m m n n n A A n A +-+--= C ．1
1m m n n A nA --=
D ．1(1)k k k
n n n nC k C kC +=++
【答案】A 【解析】 【分析】
根据排列和组合公式求解即可. 【详解】
根据组合公式得1
1!1(1)!1!()!1(1)!()!1
m
m n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==⨯=-++-+，则A 错误；
根据排列公式得
1221
11(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!
m m
m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=
-=+-=⋅=----，则B 正
确；
根据排列公式得1
1!(1)!()!()!
m
m n n n n A n nA n m n m ---=
=⋅=--，则C 正确；
根据组合公式得()()1
!!
(1)(1)(1)!1!!1!k n
n n k C k k n k k n k ++=+⋅
=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
[]!!()!()!!(1)!
k k
n n n n nC kC n k k n k k n k -⋅
=--+-=
即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；
故选:A 【点睛】
本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.
7．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸
取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．
85
B ．
65
C ．
45
D ．
25
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意知，3~(5,
)3X B m +，由3
533EX m =⨯
=+，知3~(5,)5
X B ，由此能求出()D X ．
【详解】
由题意知，3
~(5,
)3
X B m +， 3
533
EX m ∴=⨯
=+，解得2m =， 3
~(5,)5
X B ∴，
336
()5(1)555
D X ∴=⨯⨯-=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
8．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ） A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．
23
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】
三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有23
3()27C =种不
同
结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有221
33218C C C ⋅⋅=种，故由古典概型的概率计
算公式可得所求概率为182273
=. 故选：D 【点睛】
不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.
9．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.
B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.
C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.
D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 【答案】D 【解析】 【分析】
根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】
由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】
本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．
10．在矩形ABCD 中，AB AD >，在CD 上任取一点P ，使ABP △的最大边是AB 的概率为
3
5
，则在折线A-D-C-B 上任取一点Q ，使ABQ △是直角三角形的概率为（ ） A ．
611
B ．
511
C ．
59
D ．
49
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意设5AB =，由几何概型概率公式结合勾股定理可得3AD =，再由几何概型概率公式即可得解. 【详解】
如图，矩形是对称的，设P 在线段MN 上时，ABP △的最大边为AB ， 则此时AM BN AB ==， 设5AB =，则3MN =，
所以1DN CM ==，4DM =，5AM =， 由勾股定理知3AD =，
当Q 在AD 或BC 上时，ABQ △为直角三角形， 故所求概率为6
11
AD BC p AD CD BC +==++.
故选：A.
【点睛】
本题考查了几何概型概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.
11．某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是（ ） A ．252 B ．288
C ．360
D ．216
【答案】A 【解析】 【分析】
3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教
师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故完成工作的方法有121
342
C C C ••种,然后再根据甲、乙、丙三人的条件要求，分三种情况讨论，得出结果. 【详解】
解：因为3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，
故安排3名教师完成4项工作，可以先确定完成两项工作的1名人员，其方法有1
3C ， 然后再确定完成的工作，其方法有24C ，
然后再将剩下的两项工作分配给剩下的两人，其方法有1
2C ，
故当3名教师确定时，完成工作的方法有121
342
C C C ••种； 因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去， 故有三种方法选择教师，
第一种方法：甲参加，乙不参加，丙参加，再从剩下的3人中选择1人，其方法有1
3C 种， 第二种方法：甲不参加，乙参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择2人，其方法有2
3C 种，
第三种方法：甲不参加，乙不参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择3人，其方法有3
3C 种；
故最终选派的方法为()123121333342C C C C C C 252++•••=，故选A.
【点睛】
本题考查了排列组合的知识、分类分步的计数原理，解题的关键是要辨析清楚何时是分类，何时是分步.
12．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则
11
p q
+的最小值为（ ） A ．2 B ．
52
C ．
94
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不
等式即可得到11
p q
+的最小值.
【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，， 所以有()4E X np ==，
()()1D X q np p ==-（，
所以44p q +=，即14
q
p +=，（0p >，0q >） 所以
11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 559
214444
4q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4
23
q p ==时取得等号．
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
13．已知不等式5
01
x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．
14 B ．
13
C ．
12
D ．
23
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.
详解：(5)(1)05
0101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩
，
∴{}|15P x x =-<<，
||111x x <⇒-<<，
∴1(1)15(1)3
P --=
=--．
选B ．
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．
112
B ．
114
C ．
115
D ．
118
【答案】C 【解析】
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两
个不同的数，共有2
1045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不
同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为
31
=4515
，选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问
题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
15．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.
命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假
C ．p 假q 真
D ．p 假q 假
【答案】C 【解析】 【分析】
首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()2
2
D E E ξξ
ξ=-，利用公式
1a b c ++=，计算D D ξη-的值.
【详解】
12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++ 12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，
()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，
E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，
()249E a b c ξ=++，()()2
223E a b c ξ=++，
所以()()2
4923D a b c a b c ξ=++-++
()294E a b c η=++，()()2
232E a b c η=++，
()()()()2
229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，
()()()()()22
83223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++
()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，
所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=，
即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题.
综上可知p 假q 真.
故选：C
【点睛】
本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是
()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=.
16．若二项式2n x ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x 项的系数为（ ）
A ．1
B ．5
C ．10
D ．20
【答案】C
【解析】
【分析】
对2n x ⎫⎪⎭令1x =，结合展开式中各项的系数和为243列方程，由此求得n 的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得含x 项的系数.
【详解】
对2n x ⎫⎪⎭令1x =得()123243n n +==，解得5n =.二项式52x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为()51
5312225522r r r r r r
C x x C x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令53122
r -=，解得1r =，故展开式中含x 项的系数为115210C ⋅=.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查求二项式展开式指定项的系数，属于基础题.
17．将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有
A ．6种
B ．9种
C ．12种
D ．18种
【答案】C
【解析】
由题意可知,这四个小球有两个小球放在一个盒子中,当四个小球分组为如下情况时,放球方法有:
当1与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;
当1与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;
当1与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;
当2与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;
当2与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;
当3与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;
因此,不同的放球方法有12种.
故选：C
18．二项式51(2)x x -的展开式中含3x 项的系数是
A ．80
B ．48
C ．−40
D ．−80 【答案】D
【解析】
512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()()55521551C 212C r r r r r r r r T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
n n n n ， 令523r -=，1r =，所求系数为145C 280-=-n ，故选D .
19．若随机变量()23,X N σ
:，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ） A ．0.6
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.3 【答案】A
【解析】
【分析】
由正态密度曲线的对称性得出()()15125P X P X ≤≤=-≥，由此可得出结果.
【详解】
由于()23,X N σ:，则正态密度曲线关于直线3x =对称，
所以()()15125120.20.6P X P X ≤≤=-≥=-⨯=，故选A.
【点睛】
本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.
20．已知()1n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，()
20121n n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a +++=L ，则()0121n n a a a a -+-+-L 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得5n =，利用赋值法可求得2λ=，再令1x =-即可得解.
【详解】
Q ()1n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
∴23n n C C =，∴5n =， 令0x =，则051a =，
令1x =，则()015
5212422431a a a a λ+=++=+=++L ， ∴2λ=，
令1x =-，则()0525
1112a a a a -=+--+=-L .
故选：B.
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.。