物理光学16

a 2 b2
I P I 0 sinc2 sinc2
ca1ab sinc sinc eikL0 f
a sin 1 ax f
b sin 2 by f
2.衍射图样的主要特征
① I max I 0 对应 0 0 ， 1 2 0 ② I min 0 对应 sinc 0 同时， sinc 0 I 即 sin 1 m1 a m1 1,2,3, m2 1,2,3, sin 2 m2 b ③在x、y轴之外的位置， 同时取极大时为亮斑， sinc , sinc 同时取极小时为暗斑。 ④零级亮斑在x、y轴方向的半角宽度分别为
sin 1 x x2 f 2 x f
sin 2 y y2 f 2 y f
矩孔的Fraunhofer衍射积分
ca1 x2 y 2 E x, y exp ik f f 2 f ik exp xx yy 1 1 dx1dy1 f ca1 ikL0 ikx1 sin 1 iky1 sin 2 e e dx e dy1 1 f a 2 b 2
~ E0 x1, y1 a1 expikx1 sin
sin x0 f 0 ; x1 sin 是照射x1点的光线与 在图示结构中： 照射衍射孔中心的光线之间的光程差．
透镜L0的透射光波复振幅: ~ ~ E x1 , y1 Tl x1 , y1 E0 x1 , y1

④零级衍射斑的宽度 半角宽度 0 a 半线宽度 x f a 注意： a 0 集中反映 了衍射与孔径之间的关系： 缝宽的影响 , 0 0 n , I0 n2 I0 a na 波长的影响
0 ;
I0 1 2
情况下,可以取
注: 在现在只讨论衍射图样分布,不涉及强度绝对值计算的
tl 1
穿过透镜L的光波的复振幅:
~ ~ Ex1, y1 Tl x1, y1 E0 x1, y1
透镜L焦平面上的Fresnel衍射场复振幅: c x2 y2 ~ E x, y expik ( z1 ) z1 2 z1
§3.3单孔的Fraunhofer衍射

Fraunhofer衍射是衍射孔径对点Ｐ的有效波带数小于１ 状态下的衍射。
3.3.1在有限距离观察Fraunhofer衍射的方法 1.平面波照明时凸透镜焦L平面上的衍射场 ①平面波垂直照明: 图中观察平面位于透镜L的焦平面,
其距离只满足Fresnel近似条件.
ik 2 a1 ikf x12 y12 2 e expik p x1 y1 exp p 2 p 2f


∴
ca1 x 2 y 2 ~ E x, y expik z1 p f z1 p 2 z 1 ik k 1 1 1 2 2 expi x1 y1 xx1 yy1 dx1dy1 z1 2 z1 p f



其中: I 0是中央亮纹的中心强度， a 是缝宽， i 是入射角． ⑵中央亮纹的半宽度为 a cosi
3.3.3. 矩孔的Fraunhofer衍射 当 a b f 时，衍射效应将在两个方向同时突显。 1.矩孔的Fraunhofer衍射场 按照图示坐标，a // x1 , b // y1
a1e
ikf
ik 2 2 expikx1 sin exp x1 y1 2f


透镜L焦平面上的Fresnel衍射场复振幅:
z1 f ik 2 c ~ 2 E x, y exp x y f 2 f ik ikx1 sin xx1 yy1 dx1dy1 a1e exp f


在此系统中：z1 q ∴
1 1 1 而且 p q f
ik 2 c 2 E x, y exp ik q f exp x y q 2q


ik a1 ikp e exp xx yy 1 1 dx1dy1 p q
3.3.2单缝的Fraunhofer衍射
1.单缝的Fraunhofer衍射场 若平行光垂直入射, ~
E0 x1, y1 a1
则在透镜焦平面上看到的 Fraunhofer衍射场为: c ~ ca1 ~ ikr ikr E P E x1 , y1 e dx1dy1 e ds z1 f 由于 a b , 所以沿缝长度b方向的衍射可忽略 依照图示, kr kL k L L0 kL0 kx1 sin kL0 ds b dx 1 a 2 ∴ ca1 c a b ~ ikL0 ikx1 sin ikr 1 E P e ds e e dx1 f f a 2

→零级衍射斑的色调在变．
作业十二
1. 波长为0.55μm的单色平行光正入射到直径为1.1mm的圆 孔上，试求： ①在过圆孔中心的轴线上、与孔相距33cm P点的光强与 光波自由传播时光强的比值； ②在紧靠圆孔后放置焦距为33cm的薄凸透镜时，P点的 光强与光波自由传播时光强的比值。 2. P236 5.9 证明：当平行光斜入射到单缝 (如图示)时， ⑴单缝Fraunhofer衍射的强度为 2 a i sin sin i a sin sin i I I 0 sin
——在透镜L的像面上，得到的是球面波复振幅经孔 径Σ的Fraunhofer衍射结果.
对比: x 2 y 2 ik c ~ xx1 yy1 dx1dy1 EP 0 x, y expik a1 exp f f f ik 2 ik c ~ ikx1 sin 2 xx1 yy1 dx1dy1 EP x, y exp x y a1e exp f 2 f f
max
I0
01 a ,
02 b
衍射反比律及其意义
z1 f
x 2 y 2 ik c xx1 yy1 dx1dy1 expik a1 exp f f f
——入射平面波经孔径Σ的Fraunhofer衍射结果.
②平面波斜入射照明:


与x轴夹β角的平面光波在x1oy1平面上的波前函数为:



照明光波复振幅:
~ E0 x1, y1 a1
透镜L的复振幅透射函数(透镜是相位转换元件):
Tl x1 , y1 tl exp ikr1
2 f 2 x1 y 21 Nhomakorabea

x12 y12 tl exp ik f 2 f
ik x12 y12 ~ E x1 , y1 exp x1 x y1 y dx1dy1 z1 2 c x 2 y 2 expik z1 z1 2 z1 x12 y12 ik x12 y12 a1 exp ik f xx1 yy1 dx1dy1 2 f z1 2
ca1ba ikL0 sin e f
∴





aba1 sin ~ ~ sin 2 I P E P E P I I sinc 0 0 f 其中: a sin 分析——α的物理意义： ①由 kr kL k L L0 kL0 kx1 sin kL0 得：kx1 sin k ( L0 L) ——经过x１到达Ｐ点与经过缝中 心到达Ｐ点的光线之间的相位差。 a sin 2 a 2sin ——经缝边沿到达Ｐ点 与经缝中心到达Ｐ点的光线之间的相位差。 ②由图示可知： sin x f



——透镜焦平面上得到的也是照明波复振幅经孔径Σ的 Fraunhofer衍射结果.
2.球面波照明时凸透镜像平面上的衍射场 2 2 2 2 2 2 对于图示的球面波照明状态 p x1 y1 ，q x1 y1
a1 x12 y12 ~ E0 x1 , y1 expik p p 2 p ~ ~ E x1 , y1 Tl x1 , y1 E0 x1 , y1
2
2
2
∴观察屏上的衍射图的光强分布直接决定于经过衍射孔 径边沿与经缝中心到达观察点的光波之间的相位差． 当然，观察屏上衍射图的光强分布与坐标x的关系也就 明确了． （显然：①是α的含义， ②是α的作用）
2. 讨论——衍射图样的主要特征
0。 ① I max I 0 对应 0 ， m ，m 1,2, ② I min 0 对应 sinc 0 ， sin m a ，x m f a 也即， ③次极大．由 dI d 0 可以得知： 1.43 , 2.46 , 3. 47 在 存在 I S max 0.047I 0 , 0.017I 0 , 0.008I 0
ik 2 c 2 ES x, y exp ik q f exp x y q 2q ik a1 eikp exp xx1 yy1 dx1dy1 p q
看到：在应用凸透镜置入衍射装置后（透镜可以在衍射孔径 的前或后）,无论平面波还是球面波照明, 在照明光源的共轭 像面上, 均可以观察到入射光波经衍射孔径的Fraunhofer衍 射结果。 推论：成像系统对点物在它像面上所成的像，就是点物 经成像系统的Fraunhofer衍射图样。