山东省郓城实验中学2008--2009学年第一学期高三期末考试数学文理试题

山东省郓城实验中学2008—2009学年第一学期高三期末考试数学试题
一、选择题（每题5分，共60分）
1．若R k ∈，则3>k 是方程
13
32
2=+--k y k x 表示双曲线的 条件 （ ）
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既充分也不必要
2．给出下面的三个命题： ①函数|32sin |⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=πx y 的最小正周期是2π
②函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
=23sin πx y 在区间⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡23,ππ上单调递增 ③45π=
x 是函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=652sin πx y 的图象的一条对称轴。

其中正确的命题个数
（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
3．在等差数列{}n a 中，若181006100510041003=+++a a a a ，则该数列的前2008项的和是
（ ）
A ．18072
B ．3012
C ．9036
D ．12048
4．已知满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z 42+=的最小值是
（ ）
A ．5
B ．－6
C ．10
D ．－10
5．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且||||PB PA =，若直线PA 的方程为
01=+-y x ，则直线PB 的方程是
（ ）
A ．05=-+y x
B ．012=--y x
C ．042=--y x
D ．072=-+y x
6．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线方程为()0,0>>±
=b a x a
b
y ，若双曲线上有一点()00,y x M ，使||||00y a x b <，则双曲线焦点
（ ）
A ．在x 轴上
B ．在y 轴上
C ．当b a >时，在x 轴上
D ．当b a <时，在y 轴上
7．（理）在24
3
1⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（ ） A ．3项
B ．4项
C ．5项
D ．6项
(文)已知对k R ∈，直线10y kx --=与椭圆
22
15x y m
+=恒有公共点，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,5) C ．),5()5,1[+∞⋃
D ．[1,5)
8．定义一种运算⎩⎨
⎧>≤=⊗b
a b b a a b a ,,，令()()45sin cos 2
⊗+=x x x f ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则函数
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-2πx f 的最大值是（ ）A ．45 B ．1 C ．1- D ．45-
9．已知A 、B 是抛物线px y 22=(p ＞0)上异于原点O 的两点，则“·=0”是“直线AB
恒过定点(0,2p )”的
（ ）
A ．充分非必要条件
B ．充要条件
C ．必要非充分条件
D ．非充分非必要条件
10．正方体1111ABCD A BC D -中，
P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正 方体的过P 、Q 、R 的截面图形是
（ ）
A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形
11．（理）用4种不同的颜色为正方体的六个面着色，要求相邻两个面颜色不相同，则不同的着色
方法有 种。

（ ） A ．24 B ．48 C ．72 D ．96
(文) 已知*,79
80N n n n a n ∈--=
，则在数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是（ ）
A ．1a ，50a
B ．9a ，50a
C ．8a ，9a
D ．9a ，8a
12．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2
1
(-
内单调递增，则a 的取值范围是
（ ）
A ．)1,4
1[
B ．)1,4
3[
C ．),49(+∞
D ．)4
9,1(
二、填空题（每题4分，共16分）
13．0
02012sin )212cos 4(3
12tan 3--= 。

14．在1200的二面角α-l-β内有一点P ，P 在平面α、β内的射影A 、B 分别落在半平面α、β内，
且PA=3，PB=4，则P 到l 的距离为
15．已知F 1、F 2是椭圆2
2
22)
10(a y a x -+=1(5＜a ＜10＝的两个焦点，B 是短轴的一个端点，则△F 1BF 2
的面积的最大值是 16．设函数c bx x x x f ++=)(，给出下列4个命题：
①0,0>=c b 时，0)(=x f 只有一个实数根； ②0=c 时，)(x f y =是奇函数； ③)(x f y =的图象关于点),0(c 对称； ④方程0)(=x f 至多有2个实数根 上述命题中的所有正确命题的序号是 .
三、解答题（17—21题每小题12分，22题14分，共74分）
17．已知ABC ∆中，角A ，B ，C ，所对的边分别是,,a b c ，且()
22223a b c ab +-=； （1）求2sin 2
A B +
（2）若2c =，求ABC ∆面积的最大值。

18．已知等比数列{}n a 中，234,,a a a 分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且164a =，
公比1q ≠； （1）求n a
（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

19．（理做Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；文做Ⅰ、Ⅳ）
如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的余弦值； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离. （Ⅳ）求证：平面BDF ⊥平面ABCD
20．（本小题满分12分）造船厂年造船量20艘，造船x 艘产值函数为()2337004510R x x x x =+-（单
位：万元），成本函数()4605000c x x =+（单位：万元），又在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-
（1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x （利润=产值—成本） （2）问年造船量安排多少艘时，公司造船利润最大 （3）边际利润函数()MP x 的单调递减区间
21．（本小题满分12分）已知函数()()32103
F x ax bx cx a =++≠且()'10F -=
（1）若()F x 在1x =取得极小值－2，求函数()F x 的单调区间 （2）令()()',f x F x =若()'0f x >的解集为A ，且()()0,10,A
=+∞，求c a
的范围
22．（本题满分14分）
在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P 向y
轴作垂线段PP ′，P ′为垂足.
（1）求线段PP ′中点M 的轨迹C 的方程；
（2）过点Q (－2,0)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设N 是过点)0,17
4(-，且以)1,0(= 为方
向向量的直线上一动点，满足+=（O 为坐标原点），问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题（每题5分，共60分）
1—5 ACCBA 6—10 BCABD 11—12 DB 二、填空题（每题4分，共16分） 13．34- 14．
3392 15．9
3
100 16．①②③ 三、解答题（17—21题每小题12分，22题14分，共74分）
17．解：（Ⅰ）()分24
3
2cos ,232222
2
2
=-+=
∴=-+ab c b a C ab c b a ()()分6872cos 12cos 12sin ,2
=+=+-=+∴-=+C B A B A C B A π （Ⅱ）ab ，b a ，
c ab c b a 2342,23222
22=-+∴==-+且 又()分88,4223,22
2≤∴-≥∴≥+ab ab ab ab b a
()分1047431cos 1sin ,43cos 2
2=
⎪⎭⎫
⎝⎛-=-=∴=C C C ,7sin 2
1
≤=
∴∆C ab S ABC 当且仅当22==b a 时，△ABC 面积取最大值，最大值为7. 18．解：（Ⅰ）依题意得()032,32344342=+--+=a a a a a a a 即
,2
1
1,0132,032212131=
==+-∴=+-∴q q q q q a q a q a 或解得 （Ⅱ）()()分分77,77,7||672
log 2164log 721
⎩⎨⎧>-≤-=∴-==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=--n n n n b n b n n
n n ()()()
()()()()2
76212771,1||,79213276,6||,7781--+=--++
==>-=-+=
=≤∴n n n n T T b n n n n n T b n n n 时当分时当
又()分故分52164),4(,21,11
-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯==∴≠n n a q q
()()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴7,212767,2
13n n n n n n T n
19．解法一：（Ⅰ）⊥BF 平面ACE. .AE BF ⊥∴
∵二面角D —AB —E 为直二面角，且AB CB ⊥， ⊥∴CB 平面ABE.
.AE CB ⊥∴ .B C E AE 平面⊥∴
（Ⅱ）连结BD 交AC 于C ，连结FG ，
∵正方形ABCD 边长为2，∴BG ⊥AC ，BG=2，
⊥BF 平面ACE ，
（Ⅲ）过点E 作AB EO ⊥交AB 于点O. OE=1.
∵二面角D —AB —E 为直二面角，∴EO ⊥平面ABCD. 设D 到平面ACE 的距离为h ，,ACD E ACE D V V --=
.3
1
31EO S h S ACD ACB ⋅=⋅∴∆∆ ⊥AE 平面BCE ，.EC AE ⊥∴ .
332622
11
2221
2
1
21
=⨯⨯⨯⨯=
⋅⋅⋅=∴EC AE EO
DC AD h ∴点D 到平面ACE 的距离为
.3
3
2 解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直 线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行 于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系 O —xyz ，如图.
⊥AE 面BCE ，BE ⊂面BCE ， BE AE ⊥∴， 在AB O AB AEB Rt 为中,2,=∆的中点，
).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(.1C E A OE -∴=∴
).2,2,0(),0,1,1(== 设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x =， 则⎩
⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.022,
0,0,0x y y x n AE 即解得⎩⎨⎧=-=,,x z x y
令,1=x 得)1,1,1(-=是平面AEC 的一个法向量. 又平面BAC 的一个法向量为)0,0,1(=，
.333
1|
|||),cos(=
=
⋅=
∴n m ∴二面角B —AC —E 的大小为.3
3
arccos （III ）∵AD//z 轴，AD=2，∴)2,0,0(=，
∴点D 到平面ACE 的距离.33
23
2|
|,cos |||=
=
>=
<⋅=n d 20．解：（1）()()()32104532405000,P x R x C x x x x =-=-++-
(),120x N x *
∈≤≤；
()()()()2130603275,,119MP x P x P x x x x N x *=+-=-++∈≤≤
（2）()()()'23090324030129P x x x x x =-++=--+
()'0,0x P x >∴=，12x =()()''
0120;120x P x x P x ∴<<>><时时,
12x ∴=，()'P x 有最大值；即每年建造12艘船，年利润最大（8分）
（3）()()2
2306032753013305MP x x x x =-++=--+，（11分） 所以，当1x ≥时，()MP x 单调递减，所以单调区间是[]1,19，且()
x N *∈ 21．解：(I)∵c bx ax x F ++='2)(2，且0)1(=-'F ，
∴02=+-c b a ①④
又由在1=x 处取得极小值－2可知02)1(=++='c b a F ②且23
1)1(-=++=c b a F ③
将①②③式联立得3,0,3-===c b a ∴x x x F 3)(3-=。

33)(2
-='x x F (4分)
由033)(2≥-='x x F 得1,1≥-≤x x 或同理由033)(2
≤-='x x F 得11≤≤-x
∴)(x F 的单调递减区间是[-1,1], 单调递增区间是(-∞,1]和),1[+∞ (6分)
(II)由上问知：c bx ax x F x f ++='=2)()(2
,∴b ax x f 22)(+='。

又∵0)1(=-'F 。

∴02=+-c b a 。

∴c a b +=2。

∴c a ax x f ++='2)( ∵0)(>'x f ，∴c a ax ++2>0。

∴c a ax -->2。

(8分) ∴当0<a 时，0)(>'x f 的解集是)2,(a
c
a +-
-∞， 显然A ),0()1,0(+∞=⋃不成立，不满足题意。

∴0>a ，且0)(>'x f 的解集是),2(+∞+-
a c
a 。

(10分) 又由A ),0()1,0(+∞=⋃知120<+-≤a c a 。

解得13-≤<-a
c。

(12分)
22．解：（1）设M (x ，y )是所求曲线上的任意一点，P （x 1，y 1）是方程x 2 +y 2 =4的圆上的任意一点，
则).,0(1y P ' 则有：44,2,22
22111
11=+⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
+==y x y y x x y y y x x 代入即得， 轨迹C 的方程为.14
2
2
=+y x （1）当直线l 的斜率不存在时，与椭圆无交点.
所以设直线l 的方程为y = k (x +2)，与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，
N 点所在直线方程为.017
4
=+
x 由.0444)4()2(14
22222
2=-+++⎪⎩
⎪⎨⎧+==+
k x k x k x k y y x 得 由△= .3
4,0)44)(4(4162
2
2
4
≤
∴≥-+-k k k k 即.33
2332≤≤-k … .4)1(4,442
2212221k
k x x k k x x +-=+-=+ ,OB OA ON += 即OB AN =，∴四边形OANB 为平行四边形 假设存在矩形OANB ，则0=⋅OB OA ，即02121=+y y x x ， 即04)(2)1(2
212
212
=++++k x x k x x k ，
于是有044
162
2=+-k k 得
.21±=k … 设174
44),,(2
221000-=+-=+=+=k
k x x x y x N 得由， 即点N 在直线17
4
-
=x 上. ∴存在直线l 使四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为).2(2
1
+±
=x y。