上海民办杨浦实验学校 高二数学理月考试题含解析

上海民办杨浦实验学校高二数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 且,则乘积等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
由,得m=15,,应选B.
2. 下列命题中，真命题是（）
A．?x0∈R，e≤0B．?x∈R，2x＞x2
C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1且b＞1是ab＞1的充分条件
参考答案：
D
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】对于A，根据指数函数的图象与性质来分析；
对于B，可举个反例说明其为假，如x=2时，左边=右边；
对于C，因为是充要条件，所以要互相推出；
对于D，只要能从左边推到右边即可．
【解答】解：A，根据指数函数的图象与性质可知e x≥0恒成立，故A假；
B，举个反例说明其不成立即可，如x=2时，左边=右边，故B假；
C，当a+b=0且b≠0时，才能推出，所以不是充分条件，故C假；
D，显然当a＞1且b＞1时，必有ab＞1成立，故D为真命题．
故选D
3. “”是“”成立的______ （）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A 4. 已知x>0，由不等式，…，我们可以得出推广
结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝( )
A．2n B．n2 C．3n D．n n
参考答案：
D
5. 不等式的解集是（）
A.
参考答案：
D
6. 若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线L对称，则直线L的方程是( )
A.x＋y＝0
B.x－y＝0
C.x－y＋2＝0
D.x＋y＋2＝0
参考答案：
C
7. 若是任意实数，且，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
8. 给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称
在D上存在二阶导函数，记=，若＜0在D上恒成立，则称在D上为凸函数，以下四个函数在上不是凸函数的是（）
A. =
B. =
C. =
D. =
参考答案：
B
略
9. 数列﹛a n﹜的前n项和 S n=n2a n(n≥2) ．而a1=1,通过计算a2，a3，a4，猜想a n=( ) A．B．C．D．参考答案：
B
略
10. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）
A．y＝x＋ B．y＝ C．y＝ D．y＝
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，四边形ABCD中．将四边形ABCD沿对角线BD
折成四面体A'﹣BCD，则四面体A'﹣BCD 体积的最大值为
．
参考答案：
12. “若或，则
”的逆否命题是 . .
参考答案：若，则且.
13. 已知椭圆的焦点分别为，若该椭圆上存在一点使得
，则椭圆离心率的取值范围是。

参考答案：
略
14. 下列四个命题
①“”的否定；
②“若则”的否命题；
③在中，““”的充分不必要条件；
④“函数为奇函数”的充要条件是“”。

其中真命题的序号是▲（把真命题的序号都填上）
参考答案：
①②
“”的否定；即，是真命题；
“若则”的否命题；即，也是真，其余两个是假命题
15. 已知中, ,则的最小值为___________
参考答案：
16. 命题“”的否定是
．
参考答案：
略
17. 若不等式组，所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则
k 的值
是．
参考答案：
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可
【解答】解：不等式组，所表示的平面区域如图示：
由图可知，直线y=kx+恒经过点A（0，），当直线y=kx+再经过BC的中点D（，）时，平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，
当x=，y=时，代入直线y=kx+的方程得：
k=；
故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间．
（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为k＜对任意x＞1恒成立，令g（x）=，根据函数的单调性求出k的最大值即可．
【解答】解：（1）∵a=2，∴f（x）=2x+xlnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=3+lnx，由f′（x）＞0得到x＞e﹣3，由f′（x）＜0得到x＜e﹣3，
∴函数f（x）=2x+xlnx的增区间为（e﹣3，+∞），减区间为（0，e﹣3）．
（2）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）?k＜，
即k＜对任意x＞1恒成立．
令g（x）=，则g′（x）=，
令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），
则h′（x）=1﹣=＞0?h（x）在（1，+∞）上单增．
∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，
∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，
即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，
当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．
令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，
g（x）min=g（x0）===x0∈（3，4），
∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，
即k max=3．
19. 已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：x+y﹣a=0上，过点P作圆O的切线，切点为T．
（1）若a=8，切点T（，﹣1），求直线AP的方程；
（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，求出直线PT的方程，联立直线l和PT，得P （2，2），由此能求出直线AP的方程．
（2）设P（x，y），由PA=2PT，得满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x﹣）2+y2=．问
题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=有公共点，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，
又切点T（，﹣1），∴k OT=﹣，k PT=﹣=，
∴直线PT的方程为y+1=（x﹣），即，联立直线l和PT，，解得x=2，y=2，即P（2，2），
∴直线AP的斜率为k==，
∴直线AP的方程为y=，即（）x﹣2y+2﹣2=0．
（2）设P（x，y），由PA=2PT，得（x+2）2+y2=4（x2+y2﹣4），即3x2+3y2+4x﹣20=0，
即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x﹣）2+y2=．
∴问题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=有公共点，
∴d=≤，即||，
解得．
∴实数a的取值范围是[，]．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查实数取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、直线方程等知识的合理运用．
20. （12分）已知双曲线的离心率为，虚轴长为。

（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆
上，求的值。

参考答案：
（1）（2）
21. 设：实数满足，其中；：实数满足. （1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
参考答案：
(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，又a>0，所以a<x<3a，
当a＝1时，1<x<3，即p为真时，实数x的范围是1<x<3…………2分
由q为真时，实数x的范围是x3，………………………4分
若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是(1,3)．……………………………………5分
(2) ：x≤a或x≥3a，：x<-2或x>3，由是的充分不必要条件，有
……………………………………………………8分
得0<a≤1，显然此时，即a的取值范围为(0,1]．………10分
22. 已知为定义在上的奇函数，当时，；
（1）求在上的解析式；
（2）试判断函数在区间上的单调性
参考答案：
(1)
(2)函数在区间上为单调减函数.见解析。

本试题主要是考查了函数的解析式和单调性的求解的综合运用。

（1）当时,，
所以，又
（2）设是区间上的任意两个实数，且，
则，利用定义法，变形定号，下结论。

解：(1)当时,，
所以，
又6分
(2)函数在区间上为单调减函数.
证明如下:
设是区间上的任意两个实数，且，
则8分
，
因为,
所以即.
所以函数在区间上为单调减函数. 12分。