广东署山市第一中学2018_2019学年高二数学上学期第一次段考试题理

2018-2019年佛山市第一中学高二上学期第一次段考试题
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:
1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目． 2．请将答案正确填写在答题卡上 参考公式：
1.圆台的侧面积公式：'S r l rl ππ=+，表面积公式：22('')S r r r l rl π=+++，其中'r r 、分别是圆台上、下底面的半径，l 为圆台的母线长.
2.圆台（棱台）的体积公式: ()
121
3
V S S h =
，其中1S 、2S 分别是台体上、下底的面积. 第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设,a b 是空间中不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列说法正确的是 A ．//,//a b b a αα⊂，则 B ． ,,//,//a b a a b αββ⊂⊂则 C ．,,//,//,//a b a b ααββαβ⊂⊂则 D ． //,,a a αββα⊥⊥则
2.下列命题中不正确的是（ ）
A ．平面α∥平面β，一条直线a 平行于平面α，则a 一定平行于平面β
B ．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β
C ．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D ．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线 3．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( ）
3R B 3R C 3R D 3R 4．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是
B.
5．一个几何体的三视图如下页图所示，其中正视图中ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ）
A ．
32 B ．1
2 C ． D ．
6．某四棱台的三视图如下页图所示，则该四棱台的体积是
A.
14
3
B. 4
C.
163
D. 6
第5题图第6题图第7题图
7．如图，正方体
1111
ABCD A BC D
-的棱长为1，线段
11
B D上有两个动点,E F
，且
2
EF=,则下列结
论中错误的是 ( )
A．AC BE
⊥ B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A BEF
-的体积为定值 D．AEF与BEF的面积相等
8.三棱锥S ABC
-的所有顶点都在球O的表面上，SA ABC
⊥平面，AB BC
⊥，又1
S A A B B C
===，
则球O的表面积为
B.
3
π
2
C. 3π
D. 12π
9．三棱柱
111
ABC A B C
-底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若
1
2,1
AB AA
==，则点A到平面
1
A BC的
距离为（）
A．
4
B．
2
C．
4
D．
10．在长方体
1111
ABCD A B C D
-中，2
AB BC
==，
1
AC与平面
11
BB C C所成的角为30︒，则该长方体的体积为（）
A
．
． C．8 D
．
11．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）
A
． B
． C
． D．
12.如图，各棱长均为1的正三棱柱111
ABC A B C
-，M，N分别为线段
1
A B，
1
B C上的动点，若点M，N所在直线与平面
11
ACC A不相交，点Q为MN中点，
则O点的轨迹的长度是（）
A．
．
．1 D．
第11题图
第12题图
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图), 45ABC ∠=，
AB =，1AD =，DC BC ⊥，则这块菜地的面积为______．
第13题图 第15题图 第16题图
14.下列说法中正确的是 ．(填序号) ①棱柱的面中，至少有两个面互相平行；
②以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； ③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ⑤圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线.
15. 如图，在各小正方形边长为 的网格上依次为某几何体的正视图，侧视图与俯视图，其中正视图为
等边三角形，则此几何体的体积为 .
16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面
1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)
在正方体1111ABCD A BC D -中， M ，O 分别是1,A B BD 的中点. （1）求证： //OM 平面11AA D D ； （2）求1OM BC 与所成的角.
18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥ABCD P -中，已知底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面PDC ,点E 为棱PD 的中点. （1）求证：CD ⊥平面PAD
（2）直线AD 上是否存在一点F ，使平面//PBF 平面AEC ？ 若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.
19.(本小题满分12分)
如图，在侧棱垂直底面的四棱柱1111ABCD A B C D －中，//24AD BC
AD AB AD BC ⊥==，，，，
AB =, 12AA =，E 是1DD 的中点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点．
（1）证明：
11//EF A D ；
（2）求点B 到平面11B C EF 的距离．
20.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ADE ⊥平面，AB ADE ⊥平面，6CD DA ==，
2AB =，3DE =．
（1）求棱锥C ADE -的体积；
（2）在线段DE 上是否存在一点F ，使//AF BCE 平面？若存在，
求出
EF
ED
的值；若不存在，说明理由．
21.(本小题满分12分)
如图，在Rt ABC 中，90C ∠=，3BC =，6AC =，,D E 分别是AC ，AB 上的点，且//DE BC ，将ADE 沿DE 折起到1A DE 的位置，使1A D CD ⊥，如图．
（1）求证：1BC A DC ⊥平面；
（2）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值；
（3）当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．
22.(本小题满分12分)
如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，E F 、分别为AB BC 、上的点，且AE BF x ＝＝．
（1）当x 为何值时，三棱锥BEF B -1的体积最大？ （2）求异面直线E A 1与F B 1所成的角的取值范围．
2018-2019年佛山市第一中学高二上学期第一次段考答案
数 学（理科）
13.
14.①⑤ 16. 17.证明：(1)连接A 1D,AD 1,∵M,O 分别是A 1B ，AC 的中点，
∴OM∥A 1D ，
∵A 1D ⊂平面A 1ADD 1，OM ⊄平面AA 1D 1D
∴OM∥平面AA 1D 1D ……………………………………………………………5分 (2)由题意D 1C 1∥.AB， ∴D 1C 1BA 为平行四边形, ∴AD 1∥BC 1，
由(Ⅰ)OM∥A 1D,且A 1D⊥AD 1， ∴OM⊥BC 1
∴1OM BC 与所成的角为90˚ ……………… …………………………………10分
18.证明：(1)连接BD ，交AC 于F ，
由E 为棱PD 的中点，F 为BD 的中点，
则EF ∥PB ，
又EF ⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC ，
则PB ∥平面EAC ；……………… …………………………………………………………5分
（2）延长DA 到点F ,使AF DA =,此时平面//PBF 平面AEC (6)
分
证明如下：连接,PF BF ，
∵AF DA =，∴点A 为DF 的中点， 又∵点E 为棱PD 的中点， ∴//AE PF 又
AE AEC PF AEC ⊂⊄平面，平面 //PF AEC ∴平面 (8)
分
底面ABCD 为矩形，//AD BC AD BC ∴=且
又∵点F 为DA 延长线上的点,AF DA = //AF BC AF BC ∴=且 ∴四边形AFBC 为平行四边形 //BF AC ∴ 又AC AEC BF AEC ⊂⊄平面，平面 //BF AEC ∴平面 (10)
分 又
,,PF PBF BF PBF PF BF F ⊂⊂=平面平面 ∴平面//PBF 平面AEC (12)
分
19. （1）证明：∵C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1
平面ADD 1A 1，A 1D 1⊂平面ADD 1A 1
∴C 1B 1∥平面A 1D 1DA ．
又∵平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA =EF ， ∴C 1B 1∥EF ，
∴A 1D 1∥EF ．……… …………………………………………………………………………………………5分
（2）解：连接BF 、BE ，由（1）知A 1D 1∥EF.
又∵四边形A 1D 1DA 为矩形，∴EF=AD=2，同理，BB 1=AA 1=2，B 1C 1=BC=4. …………………………………7分
∴
1111
222
BB F
S
BB AB =
⋅=⨯= 11
11111
244,22
BB C S
BB B C =
⋅=⨯⨯=
∴11
11233BB F
E BB
F V S EF -=⋅==棱锥
111
14333
B BC
E B BC V S
AB -=⋅=⨯=棱锥
∴111133
B B
C EF E BB F E B BC V V V ---=+=
+=棱锥棱锥棱锥……………………………………………10分
又1111111
()(24)22
B C EF S EF B C B F =
+⋅=⨯+=梯形
设求点B 到平面11B C EF 的距离为d ，则111111
33
B B
C EF B C EF V S d d -=
⋅=⨯=棱锥梯形
d ∴=
，即点B 到平面11B C EF …………………………………………………………12分
20.（1）在 中，． (2)
分 因为
，
所以棱锥 的体积为 ． (5)
分
（2） 结论：在线段 上存在一点 ，且 ，使
．……………………………6分
设 为线段 上一点，且 ，
过点 作 交 于 ，则
．……………………………………………………………7分
因为 ，，
所以 ．…………………………………………………………………8分
又因为 ，所以
，
，
所以四边形 是平行四边形，…………………………………………10分
则 ．……………………………………………………………………11分
又因为 ，，所以
．………12分
21.（1） 在 中，
，，所以
，所以
．……………………1分
又 ，
，所以
，……………………………………………………2分
由 ，所以
．………………………………………………………………………3分
又
，，所以
．…………………………………………………………4分
（2）法一：连接CE ,
2CD =，6AC =14A D ∴=
4
//,,36
DE AD DE ABC DE BC BC AC ∴
==在中，即, 2DE ∴= ∵
，//DE BC ， ∴11
32322
BCE
S
BC CD =
⋅=⨯⨯=, 由（1）知，
，则1111
34433
BCE A BCE V S A D -=⋅=⨯⨯=棱锥,
设点E 到平面1A BC 的距离为d ，∵ ，11AC A BC ⊂平面，1BC AC ∴⊥
1111
=322
A BC S
BC AC ∴⋅=⨯=
111
133
A BC
E A BC V S
d d -∴=⋅=⨯=棱锥
11=A BCE E A BC V V --棱锥棱锥又， =4 d ∴=
又BE =，设BE 与平面1A BC 所成角为α，则4
sin .5
d BE α=
= BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为4
.5
………………………………………………………………………8分
法二：
，故 ，到平面
的距离相等．
因为 ，
，
，故
，故
．
过 作
，垂足为 ，
由面面垂直的性质定理得
，故
的长度为 到面
的距离．
由 ，得 ，故 ．
在 中，，故 ．故 与平面 所成角的正弦值为 ．
（3） 设 (06)x <<，则
，连接 ，
在 中，
，……………………9分
由（Ⅰ）知 ，
故 ，故 (06)x <<．…………………………………10分
当 时，
有最小值
，故
长度的最小值为
， (11)
分
此时 ，即 为 的中点． (12)
分
22.解:（1）x x a a a x x a V BEF B )(6)(21311-=-=⋅⋅⋅-24
)2(63
2a x x a a =+-≤， 当2
a
x =
时，三棱锥BEF B -1的体积最大． ........................................................................4分 （2）在AD 上取点H 使AH ＝BF ＝AE ，则11////B A CD HF ，11B A CD HF ==，F B H A 11//，所以E HA 1∠（或补角）是异面直线E A 1与F B 1所成的角； (6)
分
在Rt △AH A 1中，221x a H A +=，………………………………………………………………………7分
在Rt △AE A 1中，=E A 122x a +，………………………………………………………………………8分 在Rt △HAE 中，x x x HE 222=+=
，…………………………………………………………………9分
在△E HA 1中，E A H A EH E A H A E HA 112212112cos ⋅-+=，2
22
x
a a +=……………………………………………10分
因为a x ≤<0，
所以2
2
2
2
2a a x a ≤+<，121222
<+≤a
x a ，1cos 211<≤E HA ，3π01≤∠<E HA ……………………12分。