中考数学总复习 第二轮 中考题型专题复习二 解答题专题学习突破 专题复习(五)解直角三角形及其实际

安徽省2017年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习二解答题专题学习突破专题复习(五）解直角三角形及其实际应用题试题
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专题复习(五) 解直角三角形及其实际应用
类型1 解直角三角形
1．如图，在△ABC 中，∠B ＝135°，ta ｎA=25,ＢC=62。

(1）求AC 长;
（２)求△AＢC 的面积．
解:(１)过点Ｃ作CD⊥AB 交ＡB 的延长线于点D 。

∵在△ABC 中，∠B ＝135°，
∴∠C ＢＤ＝４5°.
∴ＢD ＝CD.
∵BC ＝6错误!，
∴BD=C Ｄ=6．
∵ｔan A=错误!，
∴A Ｄ=错误!=15,ＡB ＝ＡD-BD=9.
∴ＡＣ＝1５2+62＝3＼r(２9）。

(２)S △ＡBC 的面积=１
２·ＡB·ＣＤ=错误!×９×６=27.
２．如图,在Rt △AB Ｃ中，∠Ｃ=90°,sin B=错误!,点D 在B Ｃ边上,DC ＝AC=６.
(1)求AB 的值;
(2)求t ａn ∠BA Ｄ的值．
解:(１)∵∠C＝90°,sin B=＼f（3,5),
sｉn B＝错误!，AＣ=6,
∴ＡB=１0,即AB的值是10。

(2）过点Ｂ作BＥ⊥ＡD交AD的延长线于点Ｅ.∵∠Ｃ＝90°，AC＝6，AB=１0,
∴ＢC＝ＡB2－ＡC２=８.
又∵CD＝6,
∴BＤ=BC-ＣD=２.
∵∠C＝90°，DC＝AC＝6，
∴tan∠ADＣ=AC
ＣＤ
＝1,AD=6错误!．
∴∠ＡDC=45°。

∴∠BDE＝∠AＤC=45°.
又∵BD=2,BE⊥ＡＤ,即∠E＝９0°,∴BE=DE＝BD·cos4５°= 2.
∴AE＝ＡD+ＤＥ=7 2.
∴ｔan∠BＡＤ＝BE
AE
=错误!=错误!，
即tａｎ∠ＢＡD＝错误!.
３.(2０1６·广东）如图,Rt△ABC中，∠B=30°,∠ＡCB＝90°，ＣＤ⊥AＢ交AB于点D，以CD 为较短的直角边向△ＣDB的同侧作Rt△ＤEＣ,满足∠E=3０°，∠ＤCE＝90°,再用同样的方法作Rt△ＦGC,∠ＦCG=９0°,继续用同样的方法作Rt△ＨCＩ，∠HＣI=9０°,若ＡC=a,求ＣI的长．解:由题意，知∠Ａ＝∠E DＣ=∠G FC＝∠IHC=６0°。

∵AC＝a,
故DC=ＡＣ·sｉｎ6０°＝错误!ａ。

同理，CF=DC·sin60°=＼f(３，4）ａ，
CH=ＣF·ｓin 6０°=错误!a.
在Ｒt△ＨIC中,∠IHＣ=６0°,
则CI=ＣH·tan60°＝错误!ａ。

类型2解直角三角形的实际应用
4.五一期间,小明同学到滨湖湿地公园参加校无线电测向科技社团组织的实践活动,目标点B在观测点A北偏西３0°方向,距观测点Ａ直线距离60０米．由于观测点A和目标点B之间被一片湿地分隔,无法直接通行,小明根据地形决定从观测点Ａ出发,沿东北方向走一段距离后,到达位于目标点Ｂ南偏东75°方向的Ｃ处，求小明还要走多远才能到达目标点B?（结果保留根号)
解：过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠EＡB＝30°,ＡE∥BＦ,
∴∠ＦBA＝3０°.
又∠FＢＣ=７5°，
∴∠ABD＝４５°.
又AB＝600米，
∴AD＝DＢ＝30０错误!米．
∵∠ＢAC＝∠BAE＋∠CＡE＝75°，∠ABC=45°,
∴∠C＝6０°,tan∠C＝错误!。

∴CD＝错误!＝１00错误!米.
∴BC=ＢD+CD＝（3０0错误!+100错误!）米.
答:小明还要走(３0０错误!＋1０0错误!)米才能到达目标点B．
5.(2016·合肥十校联考)现有一个“Z”型的工件（工件厚度忽略不计),如图所示，其中AＢ为20 ｃm,BC为６０ｃｍ,∠ＡBＣ＝90°,∠BＣD=50°,求该工件如图摆放时的高度(即A到CＤ的距离）．
(结果精确到0．1 ｃm，参考数据：sin 50°≈0.766，
cos５０°≈0.643,tan 50°≈1.1９２)
解:过点B作BE⊥ＣD于点E,过点A作ＡF⊥BE于点Ｆ。

在Rｔ△BＣE中，∵ｓin∠BCE ＝错误!,
∴ＢE＝BC·sin∠BＣE≈45。

9６．
又∵∠ABC＝９0°,∴∠ＡBF=5０°。

在Rt△ＡＢF中,cos∠AＢF ＝错误!,
∴BF＝AB·cos∠ABＦ≈１2.86。

∴EF= ＢＥ+ＢF
＝45.96＋12。

86
＝58。

８2≈58．8.
答:工件摆放时的高度约为５8。

８cm。

６．(2016·舟山)太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面,改建前屋顶截面△ABＣ如图2所示，BC＝1０米,∠ＡＢC=∠ACB＝36°，改建后顶点Ｄ在BA 的延长线上,且∠ＢDC=90°,求改建后南屋面边沿增加部分AＤ的长.(结果精确到0。

１米)（参考数据：sin18°≈0.３1,cos1８°≈０。

9５，tａｎ18°≈0。

32，sin36°≈０。

5９，coｓ３6°≈０。

81,tan 36°≈0.７3）
解：∵∠BDC=90°,BC=１０，sｉn B＝错误!，
∴CD=ＢC·sin B≈10×0。

59＝5．９。

在Rt△ＢCD中,∠BCＤ＝9０°－∠B＝90°-3６°=５4°，
∴∠ACD＝∠BCＤ-∠ＡＣB＝54°－３6°=18°.
在Rt△ACD中,taｎ∠ACD=＼f(ＡD,CD）,
∴ＡD=CD·ｔan∠AＣD
≈5．９×0。

32＝１.888≈1。

9（米）．
答:改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米.
7.（201６·阜阳校级二模)如图,小华站在河岸上的Ｇ点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来.此时测得小船Ｃ的俯角是∠ＦDC=30°.若小华的眼睛与地面的距离是错误!米，BG＝1.５米,BG平行于AC所在的直线,迎水坡i＝４∶3,坡长AＢ=10米,点A,B,C,D，F,G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离ＣA的长是多少？(结果保留根号)
解:过点Ｂ作BE⊥AC于点E，延长DG交ＣA延长线于点H,得Rt△ＡＢE和矩形BEHG。

∵ｉ=BE
AE
＝＼f(4，3),AB=10,
∴ＢＥ＝8, AE＝６．
∵ＤG＝＼r(３），BG＝1。

5，
∴ＤH＝DG+GH＝３+８，
AH＝AE+EＨ=6+１．5＝7.５。

在Rｔ△CDH中,
∵∠C＝∠FDC＝3０°，DH＝8+3，tan3０°＝错误!=错误!＝错误!，
∴ＣH＝８＼r(3）+３.
又∵ＣH=CA+7。

5，
即８错误!+3=CA＋AH，
∴CA=（8错误!-4.５)米.
答:CA的长是(8错误!-4.5)米.
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