专题61 化边为角法判断三角形的形状(解析版)

专题61 化边为角法判断三角形的形状
一、单选题
1．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos c a B =⋅，则ABC 的形状一定为（ ） A ．锐角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 【答案】B 【分析】
由正弦定理化边为角，整理可得in 0()s A B -=，即可判断. 【详解】
由正弦定理知2sin c R C =⋅，2sin a R A =⋅，
∴sin 2sin cos sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =⋅=+=⋅+⋅， ∴sin cos cos sin A B A B ⋅=⋅，即in 0()s A B -=，
又0()A π∈，、0()B π∈，，∴A B =，故ABC 为等腰三角形. 故选：B.
2．在ABC 中，若22sin cos cos sin a A B
b A B
=，则ABC 的形状为（ ）
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
【答案】D 【分析】
由已知条件，结合正弦定理得sin 2sin 2A B =，有A B =或2
A B π
+=，即可知正确选项.
【详解】
由22sin cos cos sin a A B
b A B
=知：22
sin cos sin sin cos sin =A B A A B B ，即sin cos sin cos A A B B =， ∴sin 2sin 2A B =，即22A B =或22A B π+=， ∴A B =或2
A B π
+=，
故选：D
3．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos c b
A c
--=，则ABC 的形状为（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
【答案】B 【分析】
先由正弦定理，以及题中条件，将原式化为1sin si c 1n os B
C
A -=-，得出sin cos 0A C =，即可判断出结果. 【详解】 又1cos c b A c --=
得1cos 1b
A c
-=-， 根据正弦定理，得到sin cos sin B
A C
=
，则sin cos sin B A C =， 所以()sin cos sin A C A C +=，即sin cos cos sin cos sin A C A C A C +=， 则sin cos 0A C =，
又角A ，B ，C 为三角形内角， 所以cos 0C =，因此2
C π
=，即ABC 为直角三角形.
故选：B.
4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos c
C B b
=，则ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
【答案】A 【分析】 由cos cos c
C B b
=，利用正弦定理化边为角，再由两角差的正弦求解. 【详解】 由cos cos c
C B b
=
， 利用正弦定理可得：sin cos cos sin 0B C B C -=， 则sin()0B C -=，
B C ππ-<-<，
0B C ∴-=，即B C =.
ABC ∴一定是等腰三角形.
故选：A
5．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 22sin cos 0b A a A B -=，则ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
【答案】B 【分析】
利用二倍角公式以及0A π<<，可得cos cos 0b A a B -=，再利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可判断. 【详解】
由sin 22sin cos 0b A a A B -=， 得2sin cos 2sin cos 0b A A a A B -=， 即()2sin cos cos 0A b A a B ⨯-=. 又0A π<<， 则sin 0A ≠，
cos cos 0b A a B -=，
由正弦定理得sin cos cos sin 0B A B A -=， 即()sin 0B A -=，
因为角,,A B C 在ABC 中， 所以A B =. 故选：B.
6．在ABC 中，内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，若cos cos a b A B =且()22
3sin 2cos sin 2
A C
B -=-，则这个三角形为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
【答案】C 【分析】
利用正弦定理和题中所给的条件，得到tan tan A B =，于是2C A π=-，代入题中所给的式子，化简可求
得角C ，从而判断出三角形的形状. 【详解】
因为
cos cos a b A B =，sin sin a b
A B
=，所以tan tan A B =，所以A B =， 所以2C A π=-， 因为()2
23
sin 2cos sin 2
A C
B -=
-， 所以()2
23
sin 2cos 2sin 2
A A A +=
- 所以()2
21
(1cos )2cos 2cos 2
A A A -+=
+， 即(
)
2
2
21
(1cos )32cos cos 2
A A A --=
+ 整理得424cos 12cos 50A A -+=，即2
2
(2cos 5)(2cos 1)0A A --=， 因为22cos 50A -≠，所以22cos 10A -=，
因为A 为等腰三角形的底角，所以cos A =4A π=，22
C A ππ=-=， 所以这个三角形为等腰直角三角形， 故选：C. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关三角形的形状判断的问题，在解题的过程中，思路如下： （1）利用正弦定理，将角化成边，结合题中所给的条件，得到角之间的关系； （2）利用三角恒等变换，解出角的大小，进一步判断三角形的形状，得到结果.
7．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且sin 2a C π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
，()cos 4b B π-，
()cos 3c A π-成等差数列，则ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．正三角形
【答案】C 【分析】
利用诱导公式、和角的正弦公式和正弦定理化简已知得23
B π
=，即得解. 【详解】
sin cos 2a C a C π⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，()cos 4cos b B b B π-=，()cos 3cos c A c A π-=-，
依题意得2cos cos cos b B a C c A =--，
根据正弦定理可得()2sin cos sin cos cos sin B B A C A C =-+， 即()2sin cos sin sin B B A C B =-+=-，
又sin 0B ≠，则1
cos 2
B =-， 又()0,B π∈，所以23
B π=
， 故ABC 的形状是钝角三角形． 故选：C ． 【点睛】
方法点睛：判断三角形的形状，一般有两种方法：（1）利用正弦余弦定理边化角；（2）利用正弦余弦定理角化边.
8．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2
cos 22A c b c
+=，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】B 【分析】
根据降幂公式，先得到1cos 22A c b
c
+=+，化简整理，再由正弦定理，得到sin cos 0A C =，推出cos 0C =，进而可得出结果. 【详解】 由已知可得2
cos 11cos
,22222A c b A b c c
++==+， 即cos ,cos b
A b c A c
=
=． 法一：由余弦定理得222
cos 2b c a A bc
+-=，则2222b c a b c bc +-=⋅，
所以222c a b =+，由此知ABC 为直角三角形． 法二：由正弦定理得：sin sin cos B C A =． 在ABC 中，sin sin()B A C =+，
从而有sin cos cos sin sin cos A C A C C A +=，
即sin cos 0A C =．在ABC 中，sin 0A ≠，所以cos 0C =． 由此得2
C π
=，故ABC 为直角三角形.
故选：B. 【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关三角形形状判断的问题，在解题的过程中，可以利用勾股定理，也可以在
三角形中利用三角恒等变换得到结果.
9．设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2
22(2cos 1)(cos sin )222
A B B
a b -=-，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形
【答案】D 【分析】
先由降幂公式得cos cos a A b B =，再由正弦定理得sin cos sin cos A A B B =，众而得sin 2sin 2A B =，于是有A B =或2
A B π
+=，从而可得结论
【详解】 解：因为2
22(2cos
1)(cos sin )222
A B B
a b -=-， 所以cos cos a A b B =，
所以由正弦定理得，sin cos sin cos A A B B =， 所以sin 2sin 2A B =， 因为2,2(0,2)A B π∈
所以22A B =或22A B π+=， 所以A B =或2
A B π
+=
，
所以ABC 是等腰三角形或直角三角形 故选：D 【点睛】
此题考查三角函数的降幂公式的应用，考查正弦定理的应用，属于基础题
10．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin a b A =，则ABC 的形状一定为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
【答案】B 【分析】
先由正弦定理化简得到sin 1B =，再求出π
2
B =，最后判断三角形形状. 【详解】
解：因为sin a b A =，所以由正弦定理有sin sin sin (sin 0)A A B A =>， 整理得sin 1B =，又因为0B π<<，所以π2
B =， 故AB
C 为直角三角形. 故选：B 【点睛】
本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，是基础题.
11．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知30B =︒，15c =，b =个三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
【答案】D 【分析】
由正弦定理求出sin C 的值，可得60C =︒或120︒，再根据三角形的内角和公式求出A 的值，由此即可判断三角形的形状.
【详解】
∴ABC 中，已知30B =︒，15c =，b =
由正弦定理sin sin b c B C
=，可得：15
1sin 2
C =
，
解得：sin C =
，可得：60C =︒或120︒. 当60C =︒时，∴30B =︒， ∴90A =︒，ABC 是直角三角形. 当120C =︒时，∴30B =︒， ∴30A =︒，ABC 是等腰三角形. 故ABC 是直角三角形或等腰三角形， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，满足cos cos c B b C ⋅=⋅，则三角形的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形
【答案】A 【分析】
根据条件cos cos c B b C ⋅=⋅，利用正弦定理化为三角函数，由三角恒等变换即可求解.
【详解】
cos cos c B b C ⋅=⋅， sin cos sin cos C B B C ∴=，
()sin 0B C -=∴,
0,0B C ππ<<<<，
B C ππ∴-<-<，
0B C ∴-=，
即B C =，
所以三角形的形状为等腰三角形， 故选：A 【点睛】
本题主要考查了解三角形的相关问题，考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.
13．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，满足2cos b c A =，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．锐角三角形
【答案】C 【分析】
利用余弦定理表示出cos A ,代入已知等式变形后得到a c =,即可结论. 【详解】
222cos 2b c a A bc +-=
,222
2cos b c a b c A b
+-∴=⋅=,即2222b b c a =+-,
整理得:()()0c a c a +-=,即a c =,则ABC 为等腰三角形. 故选：C. 【点睛】
本题考查了余弦定理以及等腰三角形的判定,熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题. 14．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形
【答案】A 【分析】
利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状. 【详解】
cos a b C =，
由正弦定理得sin sin cos A B C =，即()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，
0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =，
0B π<<，所以，2
B π
=
，因此，ABC 是直角三角形.
故选：A. 【点睛】
本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
15．在ABC 中，a ，b 是A ∠，B 所对的边，已知 a cosB bcos A =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
【答案】B 【分析】
由正弦定理得sin sin A cosB Bcos A =，化简得in 0()s A B -=,即得解. 【详解】
由正弦定理得sin sin A cosB Bcos A =， 所以sin sin 0A cosB cos A B -=， 所以in 0()s A B -=, 因为,(0,)A B π∈, 所以0,A B A B -=∴=. 所以三角形是等腰三角形. 故选：B 【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，考查差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16．在ΔABC 中,2
sin 2A =(,,2c b a b c c
-分别为角,,A B C 的对应边),则ΔABC 的形状为 A ．正三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
【答案】B 【解析】
由题可得2
1sin
22A cosA -==1222c b b c c -=-，所以b cosA c
=. 由此可知，该三角形是直角三角形，所以角C 为直角.
本题选择B 选项.
17．在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
【答案】D 【分析】
根据cos cos a A b B =，利用正弦定理将边转化为角得到sin cos sin cos A A B B =，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解. 【详解】
因为cos cos a A b B =，
由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =， 所以sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-， 即A B =或2
A B π
+=
所以ABC 一定是等腰三角形或直角三角形， 故选：D 【点睛】
本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.
18．∴ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若c b ＝1，∴B ＝6
π
，则∴ABC 的形状为（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
【解析】
试题分析：在ABC ∆中，
由正弦定理可得
sin sin 6sin 1
2
c B
C b
π
==
=
，因为0C π<<，所以3
C π
=或
23π，所以2A π=或6
π
，所以ABC ∆的形状一定为等腰三角形或直角三角形，故选D ． 考点：正弦定理．
19．在ABC 中，2cos 0a c B -=则此三角形的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
【答案】A 【分析】
已知等式利用正弦定理化简，将sin sin()A B C =+代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到
sin()0B C -=，确定出B C =，即可得出三角形的形状.
【详解】
解：由正弦定理sin 2sin cos 0A C B -=，又因为A B C π++=， 所以sin sin()A B C =+．
即sin()2sin cos B C C B +=，用两角和的正弦公式展开左边，得：sin cos cos sin 2sin cos B C B C C B +=， 整理得sin cos sin cos 0B C C B -=， 所以sin()0B C -=，
又因为B 和C ∠是三角形的内角， 所以0,B C B C -==，此三角形为等腰三角形．
故选：A.
本题主要考查利用正余弦定理和三角恒等变换来判断三角形的形状，属于中档题. 20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若(
)222
tan 2sin a c b A ac B +-=，则
ABC 的
形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
【答案】A 【分析】
由余弦定理得222
cos 2a c b B ac
+-=，代入化简得tan tan A B =，故可得答案.
【详解】
由余弦定理得222cos 2a c b B ac
+-=，所以()
222
tan 2sin a c b A ac B +-=，
所以tan tan A B =，得A B =，故ABC 是等腰三角形． 故选：A 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，考查同角三角函数的基本关系，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题. 21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()cos cos a A B c +=，则ABC 的形状一定为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得； 【详解】
解：因为()cos cos a A B c +=，
所以()()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A A B C A B A B A B +==+=+， 整理得()cos sin sin 0A A B -=，即cos 0A =或sin sin 0A B -=，则2
A π
=或A B =，
故ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 【点睛】
本题考查正弦定理及两角和的正弦公式的应用，属于基础题.
二、多选题
22．对于三角形ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则三角形ABC 是钝角三角形 B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin B
C ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的三角形ABC 有两个
D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 【答案】ABD 【分析】
对于A ，先利用正弦定理转化为边之间的关系，再利用余弦定理可判断三角形的角的大小；对于B ，由三角
形中大角对大边，再结合正弦定理判断；对于C ，利用余弦定理求解即可；对于D ，利用三角函数恒等变换公式判断 【详解】
对于A ，因为sin 2
A ＋sin 2
B ＜sin 2
C ，所以由正弦定理得2
2
2
a b c +<，所以222
cos 02a b c C ab
+-=<，所以C
为钝角，所以三角形ABC 是钝角三角形，所以A 正确；
对于B ，因为A ＞B ，所以a b >，所以由正弦定理得sin A ＞sin B ∴所以B 正确；
对于C ，由余弦定理得，2
2
2
1
2cos 641002810842
b a
c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以b =，所以符合条件的三角形ABC 有一个，所以C 错误； 对于D ，因为tan tan tan()1tan tan B C
B C B C
++=
-，
所以tan tan tan()(1tan tan )B C B C B C +=+- 因为tan()tan()tan B C A A π+=-=-，
所以tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan tan B C B C B C A B C A +=+-=-， 所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以D 正确， 故选：ABD
23．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A b
B a
=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
【答案】D 【分析】
在ABC 中，根据
cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A B
B A
=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解. 【详解】
在ABC 中，因为
cos cos A b
B a
=， 由正弦定理得
cos sin cos sin A B
B A
=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-， 解得A B =或2
A B π
+=
.
故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】
本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
24．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且02
C <<π
，4b =，
则以下说法正确的是（ ） A ．3
C π
=
B ．若72
c =
，则1cos 7B =
C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC
是等边三角形
D ．若ABC 的面积是4 【答案】AC 【分析】
对于A 2sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；
对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得A B C ==； 对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】
2sin c A =
2sin sin A C A =，
因为sin 0A ≠
，故sin C =
因为(0,
)2
C π
∈，则3
C π
=
，故A 正确；
若72
c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =
，则4sin sin 72
b B C
c ===
， 因为(0,)B π∈
，则1
cos 7
B ===±，故B 错误； 若sin 2cos sin A B
C =，根据正弦定理可得2cos a c B =，
2sin c A =
，即sin a A =
sin 2cos A c B =
，所以sin A B ， 因为23A B C ππ+=-=
，则23
A B π=
-
，故2sin()3B B π
-，
1
sin 2B B B +=
，即1sin 2B B =，
解得tan B =3
B π
=
，则3
A π
=
，
即3
A B C π
===
，所以ABC 是等边三角形，故C 正确； 若ABC
的面积是
1
sin 2
ab C =2a =， 由余弦定理可得222
1
2cos 416224122
c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯
=
，即c =
设三角形的外接圆半径是R ，
由正弦定理可得
24
sin c R C =
==，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】
本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．
25．已知∴ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若2cos c a B =，则ABC 一定是等腰三角形 B ．若(
)()22
2
2sin()sin()a b
A B a
b A B +-=-+，则ABC 是等腰或直角三角形
C ．若22tan tan a A b B
=，则ABC 一定是等腰三角形
D ．若2b a c =+，且2cos28cos 50B B -+=，则ABC 是等边三角形 【答案】ABD 【分析】
A ．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；
B ．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；
C ．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；
D ．根据条件先求解出B ，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出,A C 的值，从而判断出结果. 【详解】
A ．因为2cos c a
B =，所以()sin 2sin cos sin
C A B A B ==+，
所以sin cos sin cos A B B A =，所以tan tan A B =，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故正确； B ．因为(
)()22
2
2sin()sin()a b
A B a
b A B +-=-+，所以
()()()()2
222sin cos sin cos sin cos sin cos a
b A B B A a b A B B A +-=-+，
所以(
)()()()2
2
2
22222sin cos sin cos a b
a
b B A a b a b A B ⎡⎤⎡⎤-++=+--⎣⎦⎣⎦
， 所以222sin cos 2sin cos a B A b A B =，所以222sin sin cos 2sin sin cos A B A B A B =， 所以sin 2sin 2B A =，所以2
A B π
+=
或A B =，
所以ABC 为等腰或直角三角形，故正确；
C ．因为22tan tan a A b B =，所以22sin cos sin cos a A B b B A
=，所以22sin cos sin cos a B A b A B =，
所以22sin sin cos sin sin cos A B A B A B =，所以sin 2sin 2B A =，所以2
A B π
+=或A B =，
所以ABC 为等腰或直角三角形，故错误；
D ．因为2cos28cos 50B B -+=，所以24cos 8cos 30B B -+=，所以1cos 2
B =
或3
cos 2B =（舍），所以
3
B π
=
，
又因为2b a c =+，所以2sin sin sin B A C =+且23A C π+=
，所以2sin sin 3A A π⎛⎫
+-=
⎪⎝⎭
所以
3sin 2A A +=1
cos 12
A A +=，所以sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3A π=，
所以A B C ==，所以ABC 为等边三角形，故正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查利用正、余弦定理判断三角形形状，主要考查学生的转化与计算能力，难度一般.利用正、余弦定理判断三角形形状时，一定要注意隐含条件“A B C π++=”.
26．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是（ ）． A ．若A B >，则sin sin A B >
B ．若4a =，5b =，6c =，则AB
C 为钝角三角形 C ．若5a =，10b =，π
4
A =
，则符合条件的三角形不存在 D ．若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC 为直角三角形 【答案】ACD 【分析】
利用正余弦定理逐一判断即可. 【详解】
若A B >，则a b >，所以由正弦定理可得sin sin A B >，故A 正确；
若4a =，5b =，6c =，则222c a b <+，所以角C 为锐角，即ABC 为锐角三角形，故B 错误；
若5a =，10b =，π4A =
，根据正弦定理可得sin 10sin 15b A B a ===>
所以符合条件的三角形不存在，即C 正确
若cos cos sin b C c B a A +=，则2sin cos sin cos sin B C C B A +=， 所以2sin sin A A =，所以sin 1A =，即2
A π
=，故D 正确
故选：ACD 【点睛】
本题主要考查的是正余弦定理，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
三、解答题
27．ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .设sin 2sin A C
a b
=
. （1）判断ABC 的形状；
（2）若3a =，2c =，B 的平分线交AC 于D ，求BCD △的面积.
【答案】（1）等腰三角形；（2）62
5
BCD
S
. 【分析】
（1）利用正弦定理化简
sin 2sin A C
a b
=得A B =，即得解； （
2）求出ABC
S =3
5
BCD
ABC S
S ，即得解.
【详解】
（1）由
sin 2sin A C a b =及正弦定理得
2sin cos sin sin sin A A
C
A B
， 即2sin cos sin sin cos cos sin B A C A B A B ，
所以sin cos sin cos =B A A B ，即tan tan A B = 所以A B =，所以ABC 为等腰三角形. （2）因为A B =且3a =，所以3b a ==.
由余弦定理得1cos
3B =
，所以sin 3
B
=
1
sin 2
ABC
S
ac B == 1sin 32212
sin 22
BCD ABD
B B
C B
D S BC
B S
AB
AB BD ，
所以362
5
5
BCD
ABC
S
S . 【点睛】
方法点睛：判断三角形的形状，常用的有两种方法：（1） 正弦定理余弦定理边化角；（2）正弦定理余弦定理角化边.
28．在∴sin A ，sin B ，sin C 成等差数列；∴sin A ，sin B ，sin C 成等比数列；∴2cos 2b C a =-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别
为a ，b ，c ，面积为S .若______，且)222
4S b c a =+-，试判断
ABC 的形状.注：如果选择多个
条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】
根据题设条件，利用三角形的面积公式和余弦定理，化简得222a b c bc =+-， 选∴，由正弦定理得2b a c =+，联立求得b c =，进而得到ABC 为等边三角形；
选∴，由正弦定理得2a bc =，联立求得()2
0b c -=，得到b c =，进而得到ABC 为等边三角形；
选∴，由2cos 2b C a =，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得cos B =，求得6B π=，
进而得到以ABC 为直角三角形. 【详解】
由题意知)222
4S b c a
=+-，可得2csin cos b A A =，所以tan A =，
又因为0A π<<，所以3
A π
=
，
由余弦定理可得222
222cos
3
a b c bc b c bc π
=+-=+-，
若选∴，由sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，得2sin sin sin B A C =+， 则由正弦定理得2b a c =+，则有()2
222b c b c bc -=+-，可得b c =，
又因为3
A π
=
，所以ABC 为等边三角形.
若选∴，由sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以2sin sin sin A B C =， 则由正弦定理得2a bc =，所以22bc b c bc =+-，即()2
0b c -=，可得b c =，
又因为3
A π
=
，所以ABC 为等边三角形.
若选∴，由2cos 2b C a =-，得2sin cos 2sin B C A C =，
即()2sin cos 2sin B C B C C =+，整理得(2cos sin 0B C =，
因为sin 0C ≠，所以cos B =
， 又因为()0,B π∈，所以6
B π
=，所以2
C π
=
，所以ABC 为直角三角形.
【点睛】
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.
29．在∴22cos b c a C +=；∴ABC 的面积为
)222
4
a b c --；∴3sin csinA a B =这三个条件中任选
一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题，是否存在ABC ，其内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c
，且a =，1c =，______？若三角形存在，求ABC 的周长；若三角形不存在，请说明理由.注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析
【分析】
选∴：22cos b c a C +=，利用正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C +=，结合
()sin sin B A C =+可得23A π=
，
利用sin A B =，即可求得6
B π=，由正弦定理即可求出边a 和c ，从而求得周长；选∴
：)
2221sin 24
ABC
a b c S
bc A --==，
利用余弦定理可得tan A =即可求得23A π=
，后同∴中的过程；选∴3sin csinA a B =，利用正弦定理得3ac ab =，即可求得13b =，
由a =
可求3
a =
13a b c +=<，所以三角形不存在.
【详解】
选∴：因为22cos b c a C +=，所以由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C +=， 即()2sin sin 2sin cos A C C A C ++=，
即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A C A C C A C ++=，整理得()2cos 1sin 0A C +=.
因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =-
.又()0,A π∈，所以23
A π
=.
又因为a =
，所以sin A B =，即1
sin 2
B =
. 由0,
3B π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
得:6
B π
=
，所以6
C π
=
.
由正弦定理sin sin sin a c b A C B
==，得
12sin sin sin 366
a b
πππ==
，解得a =1b =，所以ABC 的周
长为2+.
选∴
：因为)
2221sin 24
ABC
a b c S
bc A --==
，
所以由余弦定理得
)2cos 1
sin 24
bc A bc A =-
，即sin A A =，
所以tan A =()0,A π∈，所以23
A π
=
，下同选∴. 选∴：因为3sin csinA a B =，所以由正弦定理得3ac ab =，即133
c b =
=，
又因为a =，所以a =
a b c +=<，所以问题中的三角形不存在.
【点睛】
关键点点睛：选∴：三角形面积公式与已知条件结合可得)
2221sin 24
ABC
a b c S
bc A --==
，再利用
余弦定理即可求出sin A A =，即可求出23A π=
，选∴求出13b =，a =
1
3
a b c +=
<，问题中的三角形不存在. 30．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2
2
42cos cos cos a c ab C ac B bc A ++=++.（1）求b 的值；
（2）若满足cos cos a A b B =，c ＝3，求ABC 的面积.
【答案】（1）2b =；（2）
4
【分析】
（1）利用余弦定理以及已知条件可得24b =，即可得出结果；（2）利用正弦定理以及正弦二倍角公式可得
sin 2sin 2A B =，进一步得到22A B =或者22πA B +=，分两种情况讨论，利用余弦定理求角，利用三
角形面积公式求解即可得出结果. 【详解】
（1）由余弦定理可得2cos 2cos 2cos ab C ac B bc A ++ 222222222222a b c a c b b c a a b c =+-++-++-=++，
又()2
2
42cos cos cos a c ab C ac B bc A ++=++，
所以可得24b =. 由于0b >， 所以2b =.
（2）已知cos cos a A b B =，
由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =， 由正弦二倍角公式可得sin 2sin 2A B =， ∴2(02π)A ∈，
，2(02π)B ∈，， (0π)A B +∈，，22(02π)A B +∈，
， 所以22A B =或者22πA B +=， 当22A B =时，
A B =，
2a b ==，
2221
cos 28
a b c C ab +-==-，
sin 8
C =
，
1sin 2ABC S ab C ==
△； 当22πA B +=时，
π2A B +=
，π2
C =，
a ==
1
2
ABC S ab ==△.
综上：ABC 31．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且22(2)(2)a b c b c b c =-+-． （∴）求角A 的大小；
（∴）若2cos b c A =，试判断ABC 的形状． 【答案】（∴）60A =︒；（∴）等边三角形. 【分析】
（1）由已知三边关系，结合余弦定理即可求角A ；
（2）由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得sin()0A C -=，结合（1）的结论即可知ABC 的形状． 【详解】
（∴）∴2
2(2)(2)a b c b c b c =-+-，整理得222bc b c a =+-，
∴2221cos 22
b c a A bc +-==，
∴60A =︒．
（∴）由正弦定理，得sin 2sin cos B C A =，而()B A C π=-+，
∴sin()2sin cos sin cos cos sin A C C A A C A C +==+，即sin cos cos sin 0A C A C -=， ∴sin()0,A C A C -==，
∴60A B C ===︒，
∴ABC 为等边三角形．
【点睛】
本题考查了正余弦定理，根据三边关系应用余弦定理求角，由正弦定理的边角互化、两角和正弦公式判断三角形形状，属于基础题.
32．在∴ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2cos b a C =．
（1）判断∴ABC 的形状；
（2）若2b =，∴ABC 的面积为，BC 的中点为D ，求AD 的长．
【答案】（1）∴ABC 为等腰三角形；（2）2
【分析】
(1)由正弦定理化边为角，结合三角形内角和性质及两角差正弦公式可得()sin 0A C -=，即可判断∴ABC 的形状；(2)由等腰三角形、三角形面积公式可用参数a 表示sin C 、cos C ，根据同角三角函数关系求a ，由余弦定理即可求AD 的长
【详解】
（1）由正弦定理：2cos b a C =可化为sin 2sin cos B A C =，又()B A C π=-+
∴()sin 2sin cos A C A C +=，sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=
sin cos cos sin 0A C A C -=，即()sin 0A C -=
又0A π<<，0C π<<，有A C ππ-<-<
∴0A C -=，有A C =，即∴ABC 为等腰三角形
（2）由（1）知a c =，在∴ABC 中，取AC 的中点E ，连接BE ，则BE AC ⊥，即1cos C a
=
又∴ABC 的面积为1sin 2ab C =sin C a
= 根据22sin cos 1C C +=，得22
181a a += ∴3a =，1cos 3
C =
（解法一）在∴ABC 中，由余弦定理，得2931174222234AD =+-⨯⨯⨯=，AD = （解法二）在∴ABC 中，有()
12AD AB AC =+，所以
()22112cos 22AD AB AC AD AB AC AB AC A =+=++⋅⋅，== 【点睛】
本题考查正余弦定理以及三角形的面积公式，根据正弦定理及两角差正弦公式化简并判断三角形形状，结合三角形面积公式得到同角的正余弦值进而求参，最后由余弦定理得到对应线段长度，考查学生的运算求解能力．
33．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
tan tan a A b B
=. （1）证明：ABC ∆是等腰三角形；
（2）若::1::a b c x y =，且ABC ∆，求y 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2 【分析】
（1）对tan tan a A b B
=切化弦，再根据角度的范围，即可得到结论； （2）根据（1）中所求，可以求得x ，再根据面积公式，即可求得,sinC cosC ，再结合余弦定理，即可求得y .
【详解】
（1）由正弦定理及tan tan a A b B
=， 得sin sin cos sin sin cos A
A A B
B B
=，即cos cos A B =. 因为(),0,A B π∈，所以A B =，
所以ABC ∆是等腰三角形.
（2）由（1）知a b =，所以1x =.
因为1sin 26
ABC S ab C ab ∆==，
所以sin C =. 又()0,C π∈，
所以2cos 3C ==±. 若2cos 3C =，则222223
a b c ab +-=， 即22223y -=
，解得3
y =；
若2cos 3C =-，则222223
a b c ab +-=-，
即22223y -=-，解得3
y =.
所以y =y = 【点睛】
本题考查三角形形状的判断，以及余弦定理的应用，属综合基础题.
34．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin a c A C b c B -+=-. （1）求角A 的大小；
（2）若2cos a b C =，试判断ABC 的形状并给出证明.
【答案】（1）3
π；（2）ABC 为等边三角形，证明见解析. 【分析】
（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）由正弦定理边化角及诱导公式、两角和的正弦公式可得sin cos cos sin 0B C B C -=，即可得到B C =，从而得到三角形的形状；
【详解】
解：（1）()()()sin sin sin a c A C b c B -+=-，
∴由正弦定理得()()()a c a c b c b -+=-，
222122
b c a bc +-∴=，根据余弦定理知1cos 2A =.
又角A 为ABC 的内角，3A π
∴=.
（2）ABC 为等边三角形
2cos a b C =，∴由正弦定理得sin 2sin cos A B C =.
由三角形内角和公式得()A B C π=-+，故()sin sin A B C =+，
()sin 2sin cos B C B C ∴+=，整理得sin cos cos sin 0B C B C -=，
()sin 0B C -=∴，又(),B C ππ-∈-，B C ∴=.
又由（1）知3A π=
，ABC ∴为等边三角形. 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题.
四、填空题
35．，现有下列命题：∴已知(),2a λλ=，()3,2b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是43λ<-或0λ>；∴函数tan 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象的对称中心的坐标是(),048k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝
⎭；∴在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 若cos cos a b B A
=，则ABC 为等腰三角形；∴在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形；∴在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 若tan tan 1A B >，则tan tan tan 1A B C >；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.
【答案】∴∴∴
【分析】
∴中根据夹角要求列关系计算即可，∴中根据正切函数图像性质即得结果，∴∴∴应用正弦函数单调性，结合
解三角形即判断出结果.
【详解】
∴中，a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>且不共线，故2340a b λλ⋅=+>，即43λ<-
或0λ>，其中13λ=时a 与b 共线，故43λ<-或103
λ<<或13λ>，故错误； ∴中，函数tan 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，令242k x ππ-=，得48
k x ππ=+，故其图像的对称中心是(),048k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝
⎭，故正确； ∴中，cos cos a b B A
=，由正弦定理知，sin sin cos cos A B B A =，故sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，则ABC 中，有22A B =或222A B π+=，即A B =或2A B π+=
，故ABC 为等腰三角形或直角三
角形，故错误； ∴中，在ABC 中，0sin cos sin 2A B B π⎛⎫<<=- ⎪⎝⎭，故()0,A π∈，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 若02A π
<≤时，根据sin y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增可知2A B π<-，即2A B π+<，则C 为钝角，ABC 为钝角三角形；若2A ππ<<时，sin cos A B <即()sin sin 2A B ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，故2A B ππ-<-，即2A B π
>+，符合题意，此时ABC 为钝角三角形，故正确；
∴中，由tan tan 1A B >可知tan ,tan A B 同号，且ABC 中tan ,tan A B 同正，即,A B 都是锐角，又()tan tan tan tan 0tan tan 1
A B C A B A B +=-+=>-，故C 也是锐角，ABC 为锐角三角形，故由2A B π+>知022A B π
π>>->，得sin sin cos 02A B B π⎛⎫>-=> ⎪⎝⎭
，同理可知sin cos 0B C >>，sin cos 0C A >>，故sin sin sin cos cos cos A B C A B C >即tan tan tan 1A B C >，故正确.
故答案为：∴∴∴.
【点睛】
本题考查了向量的夹角的应用和三角函数与解三角形的综合应用，属于中档题.
向量夹角问题解题方法：若a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>且不共线；若a 与b 的夹角为钝角，则0a b ⋅<且不共线.排除共线的情况是易错点.
36．在ABC 中，已知2a =，cos cos cos a b c A B C
==，则ABC 的面积为______.
【分析】 由已知得cos cos b B c C =，再由正弦定理可得cos sin cos sin B B C C
=，整理变形可得C B =，进一步可说明ABC 是等边三角形，则面积可求.
【详解】 解：由已知cos cos b c B C =，即cos cos b B c C
=， 又由正弦定理
sin sin b B c C =， cos sin cos sin B B C C
∴=，即sin cos sin cos C B B C =， ()sin 0C B ∴-=，由于是在ABC 中，
C B ∴=，同理C A =，
所以ABC 是等边三角形，
122sin 6032ABC S ∴=⨯⨯⨯=
【点睛】
本题考查正弦定理，三角形面积公式的应用，考查学生计算能力，是中档题.
37．已知三角形ABC 的三边长为,,a b c 满足10,18,8a b ab c +===，则此三角形为______三角形.(填写形状)
【答案】直角
【分析】
通过计算得到222c a b =+，由此判断三角形ABC 为直角三角形.
【详解】
依题意()2
22222103664a b a b ab c +=+-=-==，
所以222c a b =+，故C 为直角.
所以三角形ABC 是直角三角形.
故答案为：直角
【点睛】
本小题主要考查三角形形状的判断.
38．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos sin a B b A c A +=，则ABC 的形状为_____________.
【答案】直角三角形
【分析】
利用正弦定理边角互化思想求得sin A 的值，可求得角A 的值，进而可判断出ABC 的形状.
【详解】 cos cos sin a B b A c A +=，由正弦定理得sin cos cos sin sin sin A B A B A C +=，。