2019中考冲刺讲义：第2讲依据特征作图—动态几何(含答案)

C
矩形ABCD 的内部，连接AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设
AD
n AE
． （1）当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示AD
AB
的值；
（2）若AD=4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．
G
F
E D
C
B A
3. 如图，已知平行四边形ABCD 中，AB=3，AD=2，∠A=60°，点E 为AB 中点，过点E 作l ⊥AB ，垂足为
点E ，点M 是直线l 上的一点．
（1）若平面内存在点N ，使得以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有______个． （2）连接MA ，MD ，若∠AMD 不小于60°，且设符合题意的点M 在直线l 上可移动的距离为t ，求t 的范围．
4. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB=4，∠C=90°．点D 在线段AC 上，AD=2CD ，点E ，F 在△ABC 的
边上，且满足
△DAF 与△DEF 全等，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，求线段AG 的长．
1. （1）四边形ABCD 为平行四边形，证明略；
（2）①作图略；②
1
2
AP PB =时，B′P⊥AB ． 2. （1）
AD
AB
=
（2）n 的值为16或8+．
3. （1）5；
（2）0≤t 4. 线段AG 的长为
8
3
，23+或4．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C. D.
2．在2018﹣2019赛季英超足球联赛中，截止到3月12号止，蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场，其它场次全部保持不败．共取得了74个积分暂列积分榜第一位．已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设曼城队一共胜了x 场，则可列方程为（ ） A ．3x+（30﹣x ）＝74 B ．x+3 （30﹣x ）＝74 C ．3x+（26﹣x ）＝74
D ．x+3 （26﹣x ）＝74
3．如图，⨀O 是△ABC 的外接圆，直径AD ＝4，∠ABC ＝∠DAC ，则AC 的长为（ ）
A ．
B ．2
C ．4
D ．2
4．已知a 是方程x 2
﹣3x ﹣2＝0的根，则代数式﹣2a 2
+6a+2019的值为（ ） A ．2014
B ．2015
C ．2016
D ．2017
5．如图，正六边形的中心为原点O ，点A 的坐标为(0，4)，顶点E(-1，
)，顶点B(1，
)，设直线AE
与y 轴的夹角∠EAO 为α，现将这个六边形绕中心O 旋转，则当α取最大角时，它的正切值为( )
A. B.1 C. D.
6．已知函数：①y ＝x ；②y ＝1
x
（x ＜0）；③y ＝﹣x+3；④y ＝x 2+x （x≥0），其中，y 随x 的增大而增大的函数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．已知抛物线2(0)y ax bx c a b =++>> 与x 轴最多有一个交点.现有以下四个结论：①24b ac ≥ ；②该抛物线的对称轴在y 轴的左侧；③关于x 的方程210ax bx c +++=有实数根；④0a b c -+≥ .其中正确结论的个数为（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．已知反比例函数3
(k y k x -=为常数),当0x <时，y 随x 的增大而减小，k 的取值范围是（） A ．k <0
B ．k 0
C ．k <3
D ．k >3
9．如图，□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=26,BD=18,AB=x,那么x 的取值范围是 （ ）
A ．4< m <13
B ．4< m <22
C ．9< m <13
D ．4< m <9
10．菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于（ ） A ．3.5 B ．4
C ．7
D ．14
11．如图抛物线
交轴于
和点，交轴负半轴于点，且
.有下列结论：①
；②
；③
.其中，正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
12．如图,菱形ABCD 的对角线AC=6.BD=8,AE ⊥BC 于点E,AE 的长是（ ）
A ．
B ．
C ．
48
5
D ．
245
二、填空题
13．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n 的正
方形图案，则其中完整的圆共有__个．
14．不等式1﹣x≥2的解集是_____．
15．计算：|﹣5|．
16．若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则m+n﹣mn＝_____．
17．关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是_____________．18．已知三角形两边的长分别为5、2，第三边长为奇数，则第三边的长为_____．
三、解答题
19．某学校准备购买A、B两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A、B两种型号篮球的情况：
(1)求A、B两种型号的篮球的销售单价；
(2)若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，且A种型号的篮球数量小于B 种型号的篮球，问A种型号的篮球采购多少个？
20．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处于灯塔P的距离.
21．如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，弦AC的弦心距为5.
（1）尺规作图：作出∠BOC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E.（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦AC的长.
22．如图是云梯升降车示意图，其点A 位置固定，AC 可伸缩且可绕点A 转动，已知点A 距离地面BD 的高度AH 为3.4米．当AC 长度为9米，张角∠HAC 为119°时，求云梯升降车最高点C 距离地面的高度．（结果保留一位小数）参考数据：sin29°≈0.49，cos29°≈0.88，tan29°≈0.55
23．某单位要印刷“市民文明出行，遵守交通安全”的宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收150元的制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印刷费，不收制版费．设在同一家印刷厂一次印制数量为x 份(x 为正整数)． (1)根据题意，填写下表：
(2)在印刷品数量大于800份的情况下选哪家印刷厂印制省钱？
24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 边上一点，且AD ＝BD ，⊙O 是△ACD 的外接圆 （1）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （2）若AB ＝10，BC ＝16，求⊙O 的半径．
25．计算:2
2
12cos302-⎛⎫-︒-
⎪⎝⎭
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．n2+（n﹣1）2
14．x≥3
15．2
16．7
17．0
18．
三、解答题
19．(1)A种型号的篮球的销售单价为26元/个，B种型号的篮球的销售单价为68元/个；(2)A种型号的篮球采购9个．
【解析】
【分析】
（1）设A种型号的篮球的销售单价为x元/个，B种型号的篮球的销售单价为y元/个，根据总价=单价×数量结合甲、乙两校购买篮球所花费用及购买数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个A种型号的篮球，则购买（20-m）个B种型号的篮球，根据A种型号的篮球数量小于B 种型号的篮球及购买总费用不多于1000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可求出结论．
【详解】
(1)设A种型号的篮球的销售单价为x元/个，B种型号的篮球的销售单价为y元/个，
根据题意得：
38622 54402 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
26
68 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：A种型号的篮球的销售单价为26元/个，B种型号的篮球的销售单价为68元/个．(2)设购买m个A种型号的篮球，则购买(20﹣m)个B种型号的篮球，
根据题意得：
20
2668(20)1000 m m
m m
<-
⎧
⎨
+-
⎩…
，
解得：60
7
≤m＜10．
又∵m为整数，
∴m＝9．
答：A种型号的篮球采购9个．【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
20． 【解析】 【分析】
过点P 作PC ⊥AB ，则在Rt △APC 中易得PC 的长，再在直角△BPC 中求出PB ． 【详解】
作PC ⊥AB 于C 点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45° AP=80（海里）． 在Rt △APC 中，cos ∠APC=
PC
PA
，
∴PC=PA•cos∠． 在Rt △PCB 中，cos ∠BPC=
PC
PB
，
∴PB ＝
45PC cos BPC cos ∠︒
＝＝．
答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是 【点睛】
解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 21．(1)详见解析；（2）16
3
【解析】 【分析】
（1）根据角平分线的一般作法作图；以O 为圆心，任意长为半径画弧交OB ，OC 于两点，再分别以两交点
为圆心，大于
1
2
两交点距离的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点O 与该交点，交圆于点E ，OE 即为所求.（2）设OE 与BC 相交于点F ，作OD ⊥AC,交AC 于点D ，设⊙O 的半径为x ，则OC OE x ==，
3CD OF x ==-，利用勾股定理222OD CD OC +=,求得半径长，证四边形ODCF 为矩形，求出CD;即
可求得AC.
（1）OE 为所求：
（2）设OE 与BC 相交于点F ，作OD ⊥AC,交AC 于点D
∵OB=OC,OE 平分∠BOC ∴OE ⊥BC ∴EF=3
∵90ACB ODC OFC ︒∠=∠=∠= ∴四边形ODCF 为矩形 ∴CD=OF 设⊙O 的半径为x 则OC OE x == ∴3CD OF x ==- ∵222OD CD OC += ∴2
2
2
5(3)x x +-= 解得173x =
8
3CD ∴=
OD AC ⊥
1623
AC CD ∴==
【点睛】
考核知识点：利用垂径定理求解，圆周角定理. 22．云梯升降车最高点C 距离地面的高度为7.8m ．
【分析】
作CE ⊥BD 于E ，AF ⊥CE 于F ，如图，易得四边形AHEF 为矩形，则EF=AH=3.4m ，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=29°，则在Rt △ACF 中利用正弦可计算出CF ，然后计算CF+EF 即可． 【详解】
作CE ⊥BD 于E ，AF ⊥CE 于F ，如图， 易得四边形AHEF 为矩形， ∴EF=AH=3.4m ，∠HAF=90°，
∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=119°-90°=29°， 在Rt △ACF 中，∵sin ∠CAF=
CF
AC
， ∴CF=9sin29°=9×0.49=4.41， ∴CE=CF+EF=4.41+3.4≈7.8(m)，
答：云梯升降车最高点C 距离地面的高度为7.8m ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题)，然后利用勾股定理和三角函数的定义进行计算．
23．(1)160，25，170，50，x+150，2.5x ；(2)当800x >时，有0y <，选择甲印刷厂更合算． 【解析】 【分析】
（1）根据两家印刷厂的收费标准分别计算即可；（2）设在甲印刷制收费1y 元，在乙印刷厂印制收费2y 元，
1y 与2y 的差为y 元．可得出y 关于x 的解析式，先求出两家印刷厂收费相等时x 的值，再根据一次函数
的性质解答即可. 【详解】 填表如下：
(2)设在甲印刷制收费1y 元，在乙印刷厂印制收费2y 元，1y 与2y 的差为y 元． 则()150 2.5y x x =+-，即 1.5150y x =-+．
当0y =时，即 1.51500x -+=，得100x =．
∴当100x =时，选择这两家印刷厂一样合算两家印刷厂．
∵ 1.50-<，
∴y 随x 的增大而减小．
∴当800x >时，有0y <，选择甲印刷厂更合算．
【点睛】
本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.
24．（1）详见解析；（2）
12524 【解析】
【分析】
（1）连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接DE ，根据各边的关系，利用等量代换求出∠E ＝∠BAD ，再根据直径所对应的的圆周角等于90°，所以∠E+∠DAE ＝90°，等量代换∠BAD+∠DAE ＝90°，即可证出.(2) 过A 作AF ⊥BC 于F ，利用相似三角形求出BD 的长度，然后利用等腰三角形的三线合一性质求出BF 的长度，再根据勾股定理求出AF 的长，最后利用三角函数，根据比值关系求出AE 的长，即可知道⊙O 的半径.
【详解】
（1）证明：连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接DE ，
∵AB ＝AC ，AD ＝BD ，
∴∠B ＝∠BAD ，∠B ＝∠C ，
∴∠C ＝∠E ，
∴∠E ＝∠BAD ，
∵AE 是⊙O 的直径，
∴∠ADE ＝90°，
∴∠E+∠DAE ＝90°，
∴∠BAD+∠DAE ＝90°，
即∠BAE ＝90°，
∴直线AB 是⊙O 的切线；
（2）解：过A 作AF ⊥BC 于F ，
∵∠B ＝∠BAD ，∠B ＝∠C ，
∴∠BAD ＝∠C ，
∵∠B ＝∠B ，
∴△BAD ∽△BCA ， ∴BD BA =BA BC
∴BD ＝2
BA BC ＝254， ∴AD ＝BD ＝254
，
∵AB ＝AC ，AF ⊥BC ，
∴BF ＝
12BC ＝8，
∴AF ＝6，
∵∠E ＝∠C ＝∠B ，
∴sinE ＝sinB ， ∴
AF AB =AD AE
， ∴AE ＝12512
， ∴⊙O 的半径为12512÷2=12524
． 即⊙O 的半径为12524
【点睛】
本题考查切线的判定和圆半径的求解，本题要熟练掌握等腰三角形的性质、同弧所对的圆周角相等、相似三角形成比例、勾股定理等知识点.
25．【解析】
【分析】
根据负指数幂运算法则、锐角三角函数值、二次根式化简即可求出答案.
【详解】
221()2cos302
--︒-
422=+-
2=【点睛】 本题主要考查了实数混合运算，熟知负指数幂运算法则、锐角三角函数值、二次根式化简是解题关键.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．一次函数y 1＝kx+b 与y 2＝x+a 的图象如图所示，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③当x ＜3时，y 1＜y 2；④当y 1＞0且y 2＞0时，﹣a ＜x ＜4．其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）过原点O ，与x 轴另一交点为A ，顶点为B ，若△AOB 为等边三角形，则b 的值为（ ）
A. B.﹣ C.﹣ D.﹣3．如图，已知△A 1B 1C 1的顶点C 1与平面直角坐标系的原点O 重合，顶点A 1、B 1分别位于x 轴与y 轴上，且C 1A 1＝1，∠C 1A 1B 1＝60°，将△A 1B 1C 1沿着x 轴做翻转运动，依次可得到△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3等等，则C 2019的坐标为（ ）
A.（，0）
B.（0）
C.（40352，
D.（0）
4．如图，菱形ABCD 的边长为5cm ，AB 边上的高DE ＝3cm ，垂直于AB 的直线l 从点A 出发，以1cm/s 的速度向右移动到点C 停止若直线l 的移动时间为x （s ），直线l 扫过菱形ABCD 的面积为y （cm 2），则下列能反映y 关于x 函数关系的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
5．2018年安徽省生产总值首次突破3万亿元大关，工业增加直增速创近1年新高居全国第四位、中部第一位（数据来源：安微信息网）．其中数据3万亿用科学记数法表示正确的是（）
A．3×104B．3×108C．3×1012D．3×1013
6．如图，圆上有两点A，B，连结AB，分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧相交于点
==
EF AB
，，则该圆的半径长是( )
，，交于AB点E，交AB于点F，若16
C D CD
A.10
B.6
C.5
D.4
7．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针方向旋转60°到OD，则PD的长为（）
C D．
A B．
2
8．如图，在∆ABC中，AC=BC，过C作CD//AB．若AD平分∠CAB，则下列说法错误的是（）
A ．BC=CD
B ．BO ：OC=AB ：BC
C ．△CDO ≌△BAO
D ．::AOC CDO S S AB BC ∆∆=
9．如图，点D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，BE 与CD 相交于点O ，现有四个条件：①AB ＝AC ；②OB ＝OC ；③∠ABE ＝∠ACD ；④BE ＝CD ，选择其中2个条件作为题设，余下2个条件作为结论，所有命题中，真命题的个数为（ ）
A ．.3
B ．.4
C ．.5
D ．、6
10．对于反比例函数6y x
=-，当10x -<…时，y 的取值范围是（ ） A ．6y … B ．60y -≤<
C ．06y <…
D ．6y <-
11．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E ，F 为BD 所在直线上的两点，若，∠EAF=135°，则下列结论正确的是( )
A ．DE 1=
B ．1tan AFO 3∠=
C ．AF =
D ．四边形AFC
E 的面积为94
12．某机构调查了某小区部分居民当天行走的步数（单位：千步），并将数据整理绘制成如下不完整的频数直方图和扇形统计图．
根据统计图，得出下面四个结论：
①此次一共调查了200位小区居民；
②行走步数为8～12千步的人数超过调查总人数的一半；
③行走步数为4～8千步的人数为50人；
④扇形图中，表示行走步数为12～16千步的扇形圆心角是72°．
其中正确的结论有（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
二、填空题
13．已知关于x的不等式2x+m＞3的解如图所示，则m的值为_____．
14．若关于x的方程（a+3）x|a|-1﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为________．
15．计算的结果等于______.
33的结果等于______________.
16．计算)
17．A班学生参加“垃圾分类知识”竞赛，已知竞赛得分都是整数，竞赛成绩的频数分布直方图，如图所示，那么成绩高于60分的学生占A班参赛人数的百分率为__．
18．因式分解：=_______．
三、解答题
19．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点F为AC的中点，连接FD并延长到点E，使FD ＝DE，连接BF，CE和BE．
（1）求证：BE＝FC；
（2）判断并证明四边形BECF的形状；
（3）为△ABC添加一个条件，则四边形BECF是矩形（填空即可，不必说明理由）
20．（1）解不等式组：31122(6)5
x x x x -⎧+>⎪⎨⎪--≥⎩，并求其整数解． （2）先化简，再求代数式（
2124a a a ++-）÷12a a -+
的值，其中011|4|2tan 60()3
a -=-+-+． 21．（1）方法形成
如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，点H 是BC 的中点，连结AH 并延长交DC 的延长线于M ，则有CM ＝AB ．请说明理由；
（2）方法迁移
如图②，在四边形ABCD 中，点H 是BC 的中点，E 是AD 上的点，且△ABE 和△DEC 都是等腰直角三角形，∠BAE ＝∠EDC ＝90°．请探究AH 与DH 之间的关系，并说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将Rt △DEC 绕点E 旋转到图③的位置，请判断（2）中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明．
22．某中学为了丰富同学们的课外活动生活，开设了“第二课堂”．课堂设置了十几个动项目，根据（1）班学生报名参加的项目，绘制成如下的不完整的条形统计图和扇形统计图．
结合图中信息，回答下列问题
（1）这个班学生人数有 人；
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中其它项目所对的圆心角为 ；
（3）喜欢羽毛球的有3名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学参加学校的羽毛球队，用列表或树状图求出所抽取的2名同学，恰好2人都是男同学的概率．
23．如图，Rt ACB ∆中，ACB=90∠︒，O 为AB 上一点，O 经过点A ，与AC 相交于点E ，与AB 交
于点F ，连接EF .
(I).如图，若B=30∠︒，AE=2，求AF 的长.
(II)如图，DA 平分CAB ∠，交CB 于点D ，O 经过点D . ①求证：BC 为O 的切线；
②若AE=3，CD=2，求AF 的长.
24．如图，OA 、OB 是⊙O 的半径，OA ⊥OB ，C 为OB 延长线上一点，CD 切⊙O 于点D ，E 为AD 与OC 的交点，连接OD ．已知CE ＝5，求线段CD 的长．
25．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，点D 与点B 在AC 同侧，DAC BAC ∠>∠，且DA DC =，过点B 作//BE DA 交DC 于点,E M 为AB 的中点，连接,MD ME .
（1）如图1，当90ADC ∠=时，线段MD 与ME 的数量关系是 ；
（2）如图2，当ADC 60∠=时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当ADC α∠=时，求ME MD
的值.
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．5
14．3
15．4x5
16．4
-
17．5%．
18．
三、解答题
19．（1）详见解析；（2）四边形BECF是矩形，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到BD=CD，根据启动建设性的性质即可得到结论；（2）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（3）根据等边三角形的性质得到
11
BD CD BC,DF DE AC
22
====，于是得到结论．
【详解】
（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，
∵FD＝DE，∠BDE＝∠CDF，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴BE＝CF；
（2）解：四边形BECF是平行四边形，
理由：∵BD＝CD，ED＝FD，
∴四边形BECF是平行四边形；
（3）当AB＝BC时，四边形BECF是矩形，
∵AB＝BC＝AC，
∴BD＝CD＝1
2
BC，DF＝DE＝
1
2
AC，
∴BC＝EF，
∴四边形BECF是矩形．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
20．（1）﹣1，0，1，2；（2）
65
． 【解析】
【分析】 （1）先分别解两不等式得到x<3和x≥﹣1，，再利用大小小大中间找确定不等式组的解集，然后在x 的取值范围内找出所有整数即可．
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a 的值代入进行计算即可．
【详解】
（1）31122(6)5,
x x x x -⎧+>⎪⎨⎪--≥⎩①② 由不等式①，得x ＜3，
由不等式②，得x≥﹣1，
故原不等式组的解集是﹣1≤x＜3，它的整数解是：﹣1，0，1，2；
（2）211,242
a a a a a -⎛⎫+÷ ⎪+-+⎝⎭ ()()()
212,221a a a a a a -++=⋅+-- 2211,21
a a a a -+=⋅-- ()211,21
a a a -=⋅-- 1,2
a a -=-
当011|4|2tan 60()
4373a -=-+=+=时， 原式＝715.726
-=- 【点睛】
考查不等式以及分式的混合运算，掌握分式混合运算的法则是解题的关键.
21．（1）见解析；（2）AH ⊥DH ，AH ＝DH ，理由见解析；（3）成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由AB ∥CD 知∠BAH=∠CMH ，∠B=∠BCM ，结合BH=HC 证△ABH ≌△MCH ，从而得出答案；
（2）延长AH 交DC 的延长线于F ，证△ABH ≌△FCH 得AB=CF ，AH=HF ，由等腰直角三角形知AB=AE=CF ，CD=DE ，从而得AD=DF ，据此即可得出AH ⊥DH ，AH=DH ；
（3）作CF ∥AB 交AH 的延长线于F ，设旋转角度为α，则∠AED=∠DCF=180°-α，由（1）（2）得知AH=HF ，AB=AE=CF ，CD=DE ，据此可证△AED ≌△FCD 得AD=DF ，∠ADE=∠FDC ，∠ADF=90°，从而得出答案．
【详解】
（1）∵AB∥CD，
∴∠BAH＝∠CMH，∠B＝∠BCM，
∵H是BC的中点，
∴BH＝HC，
∴△ABH≌△MCH（AAS），
∴AB＝CM．
（2）如图②，延长AH交DC的延长线于F，
∵∠BAE＝∠EDC＝90°，
∴∠BAE+∠EDC＝180°，
∴AB∥DF，BH＝HE，
由（1）得△ABH≌△FCH（AAS）
∴AB＝CF，AH＝HF，
由等腰Rt△ABE和等腰Rt△DEC得：AB＝AE＝CF，CD＝DE，
∴AD＝DF，
∴AH⊥DH，AH＝DH．
（3）如图③过点C作CF∥AB交AH的延长线于F，
连接AD和DF．
设旋转角度为α，则∠AED＝∠DCF＝180°﹣α，
由（1）（2）得：AH＝HF，AB＝AE＝CF，CD＝DE，
∴△AED≌△FCD（SSS），
∴AD＝DF，∠ADE＝∠FDC，
∴∠ADF＝90°，
∴AH⊥DH，AH＝DH．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的
判定与性质及平行线的性质等知识点．
22．（1）50；（2）答案见解析，108°；（3）
1 10
.
【解析】
【分析】
（1）根据篮球的人数与占比即可求出这个班的人数；（2）求出羽毛球的人数及对应的圆心角即可；
（3）根据题意画出树状图，即可用概率公式进行求解. 【详解】
解：（1）这个班学生人数有
20
40%
＝50（人），
故答案为：50；
（2）羽毛球的人数有50﹣20﹣10﹣15＝5人，补图如下：
其它项目所对的圆心角为：360°×15
50
＝108°；
故答案为：108°；
（3）根据题意画树状图如下：
共有20种等情况数，恰好2人都是男同学的有2种，
则恰好2人都是男同学的概率是2
20
＝
1
10
．
【点睛】
此题主要考查概率与统计，解题的关键是根据题意求出总人数，再根据题意画出树状图求概率. 23．(Ⅰ)AF=4；(Ⅱ)①详见解析；②AF=5.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由AF为⊙O的直径可得∠AEF=90°，根据三角形内角和可求出∠BAC=60°，即可求出∠AFE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AF的长即可；(Ⅱ)①连接OD，根据角平分线的定义可得
CAD=DAB
∠∠，由等腰三角形的性质可得DAB=ODA
∠∠，即可证明OD//AC，根据平行线的性质即可得结论；②设OD与EF交于点H，可证明四边形CDHE是矩形，可得EH=CD=2，根据垂径定理可求出EF 的长，利用勾股定理求出AF的长即可.
【详解】
（Ⅰ）∵AF 为⊙O 的直径，
∴ AEF=90∠︒.
∵ACB=90∠︒，B=30∠︒，
∴ BAC=60∠︒，
∴ AFE=30∠︒，
∴AF=2AE=4.
（Ⅱ）①连接OD.
∵DA 平分CAB ∠，
CAD=DAB ∴∠∠，
∵OA=OD ，
∴ DAB=ODA ∠∠，
∴ CAD=ODA ∠∠，
∴ OD//AC ，
∵∠C=90°，
∴ ODB=C=90∠∠︒，
即CB OD ⊥，
∴BC 为⊙O 的切线.
②设OD 与EF 交于点H ，
∵AEF=C=ODC=90∠∠∠︒，
∴四边形CDHE 为矩形.
∴EH=CD=2，OHE=90∠︒.
∴ OD EF ⊥.
∴EF=2EH=4.
∴ .
【点睛】
本题考查圆周角定理的推论、切线的判定及垂径定理，直径所对的圆周角等于90°；经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，熟练掌握相关定理和性质是解题关键.
24．5
【解析】
【分析】
根据切线的性质，以及直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，即可证明∠ADC=∠AEO ，从而得到∠DEC=∠ADC ，根据三角形中，等角对等边即可证明△CDE 是等腰三角形，即CD=CE ．
【详解】
解：∵CD 切⊙O 于点D ，
∴∠ODC ＝90°；
又∵OA ⊥OC ，即∠AOC ＝90°，
∴∠A+∠AEO ＝90°，∠ADO+∠ADC ＝90°；
∵OA ＝OD ，
∴∠A ＝∠ADO ，
∴∠ADC ＝∠AEO ；
又∵∠AEO ＝∠DEC ，
∴∠DEC ＝∠ADC ，
∴CD ＝CE ，
∵CE ＝5，
∴CD ＝5．
【点睛】
此题考查切线的性质，解题关键在于掌握其性质.
25．(1) MD ME =;(2)见解析：（3）tan
2α. 【解析】
【分析】
（1）首先延长EM 交AD 于F ，由BE ∥DA ，得出∠FAM=∠EBM ，AM=BM ，∠AMF=∠BME ，得出△AMF ≌△BME ，进而得出AF=BE ，MF=ME ，又由DA=DC ，∠ADC=90°，得出∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，再根据∠ACB=90°，得出∠ECB=∠EBC=45°，得出CE=BE=AF ，DF=DE ，得出DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC ，∠MDE=45°，即可得出MD=ME.
（2）首先延长EM 交AD 于F ，由BE ∥DA ，得出∠FAM=∠EBM ，AM=BM ，∠AMF=∠BME ，得出△AMF ≌△BME ，进而得出AF=BE ，MF=ME ，又由DA=DC ，∠ADC=60°，得出∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，再根据∠ACB=90°，得出∠ECB=∠EBC=30°，得出CE=BE=AF ，DF=DE ，得出DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC ，∠MDE=30°，
在Rt △MDE 中，即可得出MD =
（3）首先延长EM 交AD 于F ，由BE ∥DA ，得出∠FAM=∠EBM ，AM=BM ，∠AMF=∠BME ，得出△AMF ≌△BME ，进而得出AF=BE ，MF=ME ，再延长BE 交AC 于点N ，得出∠BNC=∠DAC ，又由DA=DC ，得出∠DCA=∠DAC=∠BNC ，∠ACB=90°，得出∠ECB=∠EBC ，CE=BE=AF ，DF=DE ，从而得出DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC ，在Rt
△MDE 中，即可得出
ME MD
的值. 【详解】 （1）MD ME =．如图，延长EM 交AD 于F ，
//BE DA FAM EBM ∴∠=∠，，
AM BM AMF BME =∠=∠，，AMF BME ∴∆∆≌
AF BE MF ME ∴==，
90DA DC ADC =∠=︒，，
9045BED ADC ACD ∴∠=∠=︒∠=︒，，
9045ACB ECB ∠=︒∴∠=︒，，
45EBC BED ECB ECB ∴∠=∠∠=︒=∠﹣，
CE BE AF CE ∴=∴=，，
DA DC DF DE =∴=，，
DM EF DM ∴⊥，平分45ADC MDE ∠∴∠=︒，，
MD ME ∴=，
故答案为：MD ME =；
（2）MD =，理由：
如图，延长EM 交AD 于F ，
//BE DA FAM EBM ∴∠=∠，
AM BM AMF BME =∠=∠，，
AMF BME AF BE MF ME ∴∆∆∴==≌，，，
60DA DC ADC =∠=︒，，
6060BED ADC ACD ∴∠=∠=︒∠=︒，，
9030ACB ECB ∠=︒∴∠=︒，，
30EBC BED ECB ECB ∴∠=∠∠=︒=∠﹣，
CE BE AF CE ∴=∴=，，
DA DC DF DE =∴=，，
DM EF DM ∴⊥，平分ADC ∠，
30MDE ∴∠=︒，
在Rt MDE ∆中，ME tan MDE MD ∠==，
MD ∴=．
（3）如图，延长EM 交AD 于F ，
//BE DA FAM EBM ∴∠=∠，，
AM BM AMF BME =∠=∠，，
AMF BME ∴∆∆≌，
AF BE MF ME ∴==，，
延长BE 交AC 于点,N BNC DAC ∴∠=∠，
DA DC DCA DAC =∴∠=∠，，
BNC DCA ∴∠=∠，
90ACB ECB EBC ∠=︒∴∠=∠，，
CE BE AF CE DF DE ∴=∴=∴=，，，
DM EF DM ∴⊥，平分ADC ∠，
2
ADC MDE αα∠=∴∠=，， 在Rt MDE ∆中， tan tan 2
ME MDE MD α=∠=． 【点睛】
此题考查了平行的性质，等角互换，三角函数的问题，熟练运用，即可解题.。