高中物理竞赛—静电场之欧阳法创编

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真空中的静
电场
基本要求
一、理解电场强度和电
势这两个基本概念
和它们之间的联
系。

二、掌握反映静电场
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性质的两个基本
定理——高斯定
理和环流定理的
重要意义及其应
用。

三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。

内容提要
一、真空中的库仑定律
库仑定律的适用
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条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速）。

二、电场和电场强度
电场电荷能够产生电场。

电场是一种客观存在的物质形态。

电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力；2. 在电场中移
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动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电场具有能量。

电场强度的定义式
点电荷场强公式
场强叠加原理电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加（矢量和）。

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几种常见带电体的场强
1、电荷线密度为λ
的无限长均匀带电
直线外一点的场强
2、电荷面密度为σ
的无限大均匀带电
平面外一点的场强方向垂直于带电平面。

3、带电Q、半径为R的均匀带电导体
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球面或导体球的场强分布
r<R 时， E =0
r>R
时，
0204r E r Q
πε= 4、带电Q 、体密度为ρ的均匀带电球体场强分布
r<R
时，r E 304R Q
πε=
r>R
时，
0204r E r Q
πε=
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三、电通量高斯定理
电场线（电力线）画法1. 电场线上某点的切线方向和该点场强方向一致；2. 通过垂直于E的单位面积的电场线的条数等于该点E的大小。

电场线的性质 1. 两条电场线不能相交；2. 电场线起自正电荷（或无穷远
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处），止于负电荷（或无穷远处），电场线有头有尾，不是闭合曲线。

电场强度通量⎰⎰⋅=s e d ΦS
E
电场强度通量也可形象地说成是通过该面积S 的电场线的条数。

高斯定理真空中静电场内，通过任意
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闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/0倍。

高斯定理是描写静电场基本性质的基本定理，它反映了电场与形成电场的场源（电荷）之间的关系，说明静电场是有源场。

四、静电场的保守性
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法创编 2021.03.09 环路定理
静电力做功的特点电场力做的功只取决于被移动电荷的起点和终点的位置，与移动的路径无关。

静电场的环路定理0=⋅⎰l E d
上式说明静电场力所做的功与路径无关，也说明静电场是保守力场。

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环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。

环路定理要求电场线不能闭合，说明静电场是无旋场。

五、电势能、电势和电势差
保守力做功和势能增量的关系A a b
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法创编 2021.03.09 =(W b W a )
q 0在电场中a 、b 两点电势能之差等于把q 0自a 点移至b 点过程中电场力所做的功。

电势能选标准点（势能零点），且取W 标=0，q 0在电场中某点a 的电势能为 即q 0自a 移到 “标准点”的过程中电场力
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做的功。

电势能应属于q0和产生电场的源电荷系统共有。

电势差a、b两点的电势差即把单位正电荷自a b过程中电场力做的功。

电势电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“标准点”过程中电场力做的功。

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点电荷电势公式r q
U 04πε=
电势叠加原理电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产生的电势的叠加（代数和）。

六、场强和电势的关系 电势梯度
等势面电势相等的点组成的面。

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等势面和电场线的关系①等势面与电场线处处垂直；②电场线从高电势处指向低电势处；③等势面密处场强大。

场强和电势梯度的微分关系
U grad -=E 或 U -∇=E
解题方法与例题分析
一、求场强的方法
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在普通物理学中，求解静电场的场强的基本方法通常有以下三种：1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强；2. 由高斯定理求场强，这种方法只能求解一些典型的对称性分布的带电体的场强；3. 已知或求出电势分布U 后，再由U grad -=E 求场
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强。

熟练掌握求解静电场场强的这三种方法是学好电磁学的关键。

1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强
原则上说，用点电荷场强公式和场强叠加原理可以求任何带电体所产生的场强。

带电体可以分为
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连续和非连续带电体，非连续带电体（如电偶极子）的场强的求解方法较简单，本书主要介绍连续带电体的场强的求解方法——积分法。

用积分方法求任意带电体的场强的基本思想是把带电体看作电荷元的集合（电荷元可以是线元、面
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元或体元）。

在电场中某点的场强为各电荷元在该点产生的场强的矢量和。

积分法解题的主要步骤如下：
①将带电体分成无数的电荷元，每一电荷元可视为点电荷，任一电荷元在空间某点场强为
②由场强的叠加
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法创编 2021.03.09 原理，带电体在该点产生的场强
选择适当的坐标系，把矢量积分⎰=E E d 化为分量积分式，如取直角坐标系，则E x =⎰d E x ，E y =⎰d E y ，E z =⎰d E z 。

③根据积分式中各变量之间的关系，找出统一变量，由选定的坐标系和带电体
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的形状确定积分限，注意积分要遍及整个带电体。

④进行积分求得
E x、E y 、E z，再求
出E。

在某些情况下，可把电荷连续分布的带电体看作由许多微小宽度的带电直线（或圆环）或者具有微小厚度的圆盘（或
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球壳）所组成。

如无限大均匀的带电直圆柱体可看作无限多圆盘所组成，这时可以取带电圆盘为电荷元，以便求出无限大带电圆柱体轴线上一点的场强。

这样取电荷元的好处是可以把二重积分或三重积分化为单重积分来做，使运算简化。

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2. 由高斯定理求场强
用高斯定理求场强必须要根据电场的对称性，选择适当的高斯面使场强E能提到积分号外。

用高斯定理求场强的步骤大体如下：
①分析给定问题中电场的对称性，如电场强度分别具有球
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对称性、平面对称性（无限大均匀带电的平板或平面）以及轴对称性（无限长均匀带电的圆柱体、圆柱面或直线等）时，能用高斯定理求解；
②选择适当的高斯面，使场强E能提到积分号外面。

如电场具有球对称性时，高斯面选与带电球同
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心的球面；电场具有轴对称性时，高斯面取同轴的柱面；电场具有平面对称性时，高斯面取轴垂直于平面并于平面对称的柱面；
③求出高斯面所包围的净电荷q，代入高斯定理的表示式求出场强的大小。

由场强的对称性确定场强
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的方向。

3. 求电势分布U 后，由U -∇=E 求场强
因为电势是标量，已知电荷分布用积分求电势比用积分求场强更为方便，所以对不能用高斯定理求场强的情况，先求电势的函数式，再用上述关系求电场强度往往是比较方便的。

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例1长l厘米的直导线AB均匀地分布着线密度为λ的电荷。

求：
（1）在导线的延长线上与导线一端B 相距R处P点的场强；
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解（1）如图8—1（a）所示，取A点为坐标原点，向右为x 轴正方向。

直导线上任一dx线元到A点距离为x，其电场强度为而各段在P处产生场强方向相同（沿x轴正方向），故总场强为
方向沿x轴正方向。

（2）若以导线
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AB 中心为坐标原点，如图8—1（b ）所示。

dx 线元在Q 点产生的电场为
)
(41
220R x dx dE '+=λπε（方向如图所示）
由于对称性，其叠加场强沿y 正方向，水平方向相互抵消。

在Q 点的场强为 方向沿y 轴正方向。

当导线l 为无限长
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法创编 2021.03.09 时，由上式可求得场强为)2/(0R E '=πελ。

例2 一带电细线弯成半径为R 的半圆形，其电荷线密度为λ=λ0sin θ，式中θ为半径R 与x 轴所成的夹
角，λ 0为一常数，如图8—2所示，试求环心O 处的电场强度。

解 在θ处取电荷元，其电量为 图8—2 y
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它在O 点处产生的场强为
在x 、y 轴上的两个分量
θ
cos dE dE x -=， θsin dE dE y -=
所以
j i E y x E E +=j R λ008ε-=
例3利用带电量为Q 、半径为R 的均匀带电圆环在其轴线上任一点的场强公式
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32204x R Qx
E +=πε推导一半径为R 、电荷面密度为σ的均匀带电圆盘在其轴线上任一点的场强，并进一步推导电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面的场强。

解 设盘心O 点处为原点，x 轴沿轴线方向，如图8—3所示，
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法创编 2021.03.09 在任意半径r 处取一宽为dr 的圆环，其电量 ()232
204x r xdq
dE +=πε
当 R →∞时，即为“无限大”带电平面
例4如图8—4所示，一厚为a 的无限大带电平板，电荷体密度= kx (0≤x ≤图8—3
p dE R r dr O
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法创编 2021.03.09 a )， k 为一正值常数。

求：
（1）板外两侧任一点 M 1、M 2的电场强度大小；
（2）板内任一点M
的电场强度；
（3）场强最小的点在何处。

解 （1）在x 处取厚为dx 的平板，此平板带电量
图8—4
x
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电荷面密度为
dx S dq ρσ==
则 02εσ=dE 02ερdx =02εkxdx =
（2）板内任一点M 左侧产生的场强方向沿x 轴正向
M 右侧产生的场强方向沿x 轴负向
所以
()0
2
20244εεx a k kx E --=()
2
2024a x k -=ε
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法创编 2021.03.09 （3）E = 0 时场强最小，即0222=-a x
例5如图8—5所示，圆锥体底面半径为R ，高为H ，均匀带电，电荷体密度为ρ，求顶点A 处的场强。

解 在离顶点A 为x 处选厚为dx 的薄圆盘，此圆盘半径为r 。

由图知
A 图8—5
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即 x H R r =
此薄圆盘的带电量 dx r dV dq 2ρπρ==
电荷面密度 σ=电量/
面积=dx r dx r ρπρπ=22
利用例3均匀带电圆盘在轴线上任一点的场强结果
可得此薄圆盘在A 点的场强
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法创编 2021.03.09 此题也可以在柱面坐标系中用三重积分来计算。

例6半径为R 、长为τ的均匀带电圆柱体，电荷体密度为0ρ，求圆柱体轴线上
O 点的场强。

设O 点离圆柱体近端的距离为b ，如图8—6所示。

解 用积分法求解这
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题目时，如取点电荷为积分元，则要用三重积分。

但是我们取圆盘为积分元，用圆盘在轴线上一点产生的场强的公式，只要计算定积分就可以求得圆柱体轴线上一点的场强。

如图8—6取坐标，距O点的距离y 处，一厚度为dy的圆
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法创编 2021.03.09 盘在O 点产生的场强的大小
dE =
02εσ=dE ]1[22y R y +- 方向与Y 轴相反，式中σ是厚度为dy 的圆盘上的电荷面密度，σ和圆柱体的电荷密度0ρ的关系
=σ220R dy
R ππρ=dy 0ρ
所以有
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2021.03.09 dE
=⎰=dE ⎰+b b dy
τερ
02]1[2
2y R y +-
=
⎰+-τερb b dy 002⎰++τ
ερb
b
y R ydy 2002
=02ερ
[-
τ+++22)(b R τ22b R +] 例7如图8—7
（a ）所示，在XY 平面内有与Y 轴平行、
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位于x= a/2和x= a/2处的两条无限长平行的均匀带电细线，电荷密度分别为λ和λ，求Z 轴上任一点的电场强度。

图8—7 X
Y Z λ
-o 2a
-2a
λ（a ）
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解过Z轴上任一点(0，0，z)分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图8—7（b）所示，按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为式中正负号分别表示场强方向沿径向朝外和朝里，如图所示，
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法创编 2021.03.09 按场强叠加原理，该处合场强的大小为 方向如图所示或用矢量表示
例8 真空中有一高h =20cm 、底面半径R
中点上置一q =10-6C 的点电荷，求通过该圆锥体侧面的电场强度通量。

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图
8—8
解 以顶点与底面圆心的中点为球心，22/2)(h R r +=为半径做一球面。

可以看出，通过圆锥侧面的电通量等于通过整个球面的电通量减去通过以圆锥底面为底的球冠
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面的电通量。

整个球面的电通量为
通过球冠面的电通量 式中S 为球冠面面积 S =2r (r h/2)，S 0为整球面积。

通过圆锥侧面的电通量
二、求电势的方法
在普通物理学范围内，求解静电场电
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势的基本方法通常有以下两种：1. 用点电荷电势公式和电势叠加原理求场强；2. 已知或求出场强分布E 后，再由U P =⎰∞⋅P d l E 求电势。

熟练掌握求解静电场电势的这两种方法是对学好电磁学大有裨益的。

1. 用点电荷电势
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公式和电势叠加原理
求场强
把带电体看为由许多电荷元组成的，带电体在电场中某点产生的电势为各电荷元在该点产是的点势dU的叠加，即
U=⎰dU
用积分求电势的步骤和用积分求场强相同，只是U =⎰dU是
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一个标量积分，不用取分量式。

2. 已知或求出场强分布E后，再由U P=⎰∞p Edr，求电势
对有限大小的带电体，通常选无限远为电势的零点，所以有
U P=⎰∞p Edr
用上式求电势时
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应注意：
①选择适当的路径，因为上述积分与路径无关，我们取积分路径时，总是设法选取使积分计算比较简便的路径；
②对于在积分路径上不同区域内场强的函数形式不同的情况，积分必须分段进行。

如从r到R范围
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