2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课件：第1章 导数及其应用 1.7 1.7.2

A．46 m
B．46.5 m
C．87 m
D.47 m
解析：s＝36(3t＋2)dt＝32t2＋2t63
＝32×62＋12－32×32＋2×3＝46.5.
答案：B
2．物体做变速直线运动的速度为 v(t)，当 t＝0 时，物体所 在的位置为 s0，则在 t1 秒末时它所在的位置为( )
解析：依题意物体从 t＝0 到 t1 秒末走过的路程为
____a_________. 2．如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿 着与力F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a＜b)，那么变力F(x)
bF(x)dx 所做的功为W＝____a __________.
重点难点突破
解剖难点 探究提高
用定积分求变速直线运动的路程和位移时，首先要分清运 动过程中物体运动的变化情况，即找出 v(t)≥0 的时间段及 v(t) ＜0 的时间段，然后分别求积分；即求各段上的位移，而路程是 各段位移的绝对值之和．
B．32 m
C．1 m
1 D.2 m
解析：该质点从时刻 t＝0(s)到 t＝3(s)时质点运动的路程：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S＝201π
4－t2dt－3(2－t)dt＝1－
2
2t－12t232
＝1＋12＝32.
答案：B
5．已知一物体在力 F(x)＝28x，＋04≤，xx≤＞22，， (单位：N)的作
用下，沿与 F(x)相同的方向运动了 6 m，求力 F(x)所做的功．
∵t＝0 时，物体所在的位置为 s0， ∴在 t1 秒末时它所在的位置为 答案：B
故选 B.
3．一物体在变力 F(x)＝5－x2(x 的单位：m，F 的单位：N)
的作用下，沿着与 F(x)成 30°角的方向做直线运动，则从 x＝1
处运动到 x＝2 处时变力 F(x)所做的功为( )
23 A. 3 J
求变力所做的功，要根据物理学的实际意义，求出变力 F 的表达式，在求功之前要明确位移的起始位置与终止位置，再 根据变力做功公式 W＝bF(x)dx 即可求出变力所做的功.
a
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 变速直线运动的路程 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)
＝4t－t2，(速度的正方向与 x 轴正方向一致)． (1)求点 P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程
[名 师 点 拨] 解决变力做功注意以下两个方面： ①首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的 一步． ②根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．
如图，把一个带＋q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有 作用力，由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中 距离原点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为 F＝k·rq2(k 是常数)，当这个单位正电荷在电场中从 r＝a 处沿 r 轴移到 r＝b 处时，计算电场力 F 对它所做的功．
和位移； (2)点 P 从原点出发，经过时间 t 后返回原点时的 t 值． 【思路探索】 利用定积分求解．
【解】 (1)由 v(t)＝4t－t2≥0，得 0≤t≤4， ∴当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向移动， 当 t＞4 时，P 点向 x 轴负方向运动． ∴当 t＝6 时，点 P 离开原点的路程，
a
即可.
已知自由落体的运动速度 v＝gt，求在 时间区间[0，t]内物体下落的高度．
解：依题意，物体在时间区间[0，t]内下落的高度为
题型二 求变力做的功 设有一长 25 cm 的弹簧，若加以 100 N 的力，则弹
簧伸长到 30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量 成正比，求使弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 所做的功．
s1＝4(4t－t2)dt－6(4t－t2)dt
0
4
当t＝6时，点P的位移为s2＝6(4t－t2)dt＝0. 0
(2)由题意得t (4t－t2)dt＝0. 0
即2t2－t33＝0，得t＝0或t＝6. ∴点P从原点出发，又返回原点时t＝6.
[名 师 点 拨] 由于路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判 断速度在区间内是否恒为正，若符号不定，先求出使速度恒正 或恒负的区间，然后分别计算，求位移时直接利用定积分bv(t)dt
B． 3 J
C.433 J
D.2 3 J
解析：由已知条件可得，F(x)所做的功为 232(5－x2)dx＝433 1
J. 答案：C
4．一质点在直线上以速度 v＝1π· 4－t2，t∈[0，2] (m/s) 2－t，t∈2，3]
运动，从时刻 t＝0(s)到 t＝3(s)时质点运动的路程为( )
A．2 m
解：取 r 为积分变量，则 r∈[a，b]
电场力 F 对单位正电荷所做的功为
W＝abk·rq2dr＝kq－1r ba
＝kq1a－1b.
课堂基础达标
即学即练 稳操胜券
1．质点沿直线以 v＝3t＋2(t 的单位为 s，v 的单位 m/s)的速
度运动，则该质点在第 3 s 到第 6 s 间的路程为( )
解：W＝6F(x)dx＝28dx＋6(2x＋4)dx
0
0
2
＝16＋(36＋24)－(22＋4×2)＝64(J)． ∴力F(x)所做的功为64 J.
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第一章 导数及其应用
1.7 定积分的简单应用 1.7.2 定积分在物理中的应用
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用． 2．会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题．
‖知识梳理‖ 1．做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝bv(t)dt
【思路探索】 先根据拉长弹簧所用的力与其伸长的长度 成正比求拉力 F(x)的表达式，然后用积分求变力做功．
【解】 设 x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在 弹簧上的力(单位：N)．
由题意得 F(x)＝kx， 且当 x＝0.05 m 时，F(0.05)＝100 N， 即 0.05k＝100，∴k＝2 000. ∴F(x)＝2 000x. ∴将弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 时所做的功为