江苏省盐城市2020届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析

江苏省盐城市2020届高三上学期期中考试
数学试题
2019．11
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{
}
2
10x x -=，B ＝[0，+∞)，则A I B ＝ ． 答案：{1}
考点：集合的交集运算
解析：∵集合A ＝{
}
2
10x x -=，∴集合A ＝{﹣1，1} ∵B ＝[0，+∞)，∴A I B ＝{1}．
2．已知角α的始边为x 轴的正半轴，点P （12）是其终边上一点，则cos α的值为 ． 答案：
1
3
考点：三角函数的定义 解析：cos 1
3
18α=
=+． 3．“m ＞1”是“m ＞2”的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）． 答案：必要不充分
考点：充分条件、必要条件以及充要条件的判断
解析：∵“m ＞2”能推出“m ＞1”，但是“m ＞1”推不出“m ＞2” ∴“m ＞1”是“m ＞2”的必要不充分条件．
4．若向量a r ＝(l ，m )，b r ＝(3，2)，a r ∥b r
，则实数m 的值为 ．
答案：
23
考点：平行（共线）向量坐标运算
解析：∵量a r ＝(l ，m )，b r ＝(3，2)，a r ∥b r
，
∴1×2﹣3m ＝0，求得m ＝23
． 5．函数21log y x =
-+的定义域为 ．
答案：[2，+∞) 考点：函数的定义域 解析：∵21log 0x -+≥
∴2log 1x ≥，解得x ≥2，故函数21log y x =-+[2，+∞)．
6．若函数()y f x =为奇函数，当x ＞0时，2()log (1)f x x =+，则(7)f -的值为 ． 答案：﹣3
考点：奇函数的性质
解析：∵函数()y f x =为奇函数， ∴2(7)(7)log 83f f -=-=-=-．
7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，且公差d ≠0，则1
a d
的值为 ． 答案：72
-
考点：等差数列及其前n 项和
解析：∵n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且35S S =， ∴450a a +=，即1270a d +=，故172
a d =-． 8．若sin(π＋α)＝﹣4
5
，则cos2α的值为 ． 答案：725
-
考点：诱导公式，倍角公式
解析：∵sin(π＋α)＝﹣
45，∴4sin 5
α= ∴cos2α2
24712sin 12()525
α=-=-⨯=-．
9．若函数()sin 3f x x x =-的图象关于直线x ＝a 对称，则a 的最小值是 ． 答案：
6
π
考点：三角函数的图像与性质
解析：()sin 32sin()3
f x x x x π
==-
，其对称轴为56
x k π
π=
+，当k ＝﹣1时，a 最小为
6
π． 10．若函数221, 0
(), 0
x ax x a x f x e x ⎧++-<⎪=⎨≥⎪⎩在(﹣1，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围
是 ．
答案：[0，1]
考点：函数的单调性 解析：由题意得：
1
a
a e
≤
⎧
⎨
-≤
⎩
或
2
1
2
1
a
a
a e
>
⎧
⎪
⎪
-≤-
⎨
⎪
⎪-≤
⎩
解得a＝0或0＜a≤1，即0≤a≤1，
故实数a的取值范围是[0，1]．
11．若数列{}n a满足121
a a
==，
3
a＝2，则数列{}1
n n
a a
+
g是等比数列，则数列{}n a的前19项和的值为．
答案：1534
考点：等比数列的定义及前n项和
解析：由题意知
12
1
a a=，
23
2
a a=，则数列{}1
n n
a a
+
g是以1为首项，2为公比的等比数列，
则1
1
2n
n n
a a-
+
=
g，
12
2n
n n
a a
++
=，
则22
n
n
a
a
+=，故
10
13519
21
1023
21
a a a a
-
++++==
-
L，
9
24618
21
511
21
a a a a
-
++++==
-
L，
∴
12319
10235111534
a a a a
++++=+=
L．
12．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，
2
AD AB
3
=
u u u r u u u r
，
1
AE AC
3
=
u u u r u u u r
，DM ME
=
u u u u r u u u r
，BN NC
=
u u u r u u u r
，若MN⊥BC，则cosA的值为．
6
考点：平面向量数量积
解析：
1111
MN DB EC AB AC
2263
=+=+
u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，BC AC AB
=-
u u u r u u u r u u u r
，因为MN⊥BC，所以MN BC0
⋅=
u u u u r u u u r
，即
11
(AB AC)(AC AB)0
63
+⋅-=
u u u r u u u r u u u r u u u r
，
化简得：22
111
AB AC AB AC0
636
-+-⋅=
u u u r u u u r u u u r u u u r
，又AB3AC2，
计算得AB AC ⋅u u u r u u u r ＝1，则cosA ＝AB AC 6
32AB AC
⋅=
=⨯⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r 13．在△ABC 中，AC ＝1，AB 2，D 为BC 的中点，∠CAD ＝2∠BAD ，则BC 的长为 ． 5考点：解三角形（面积法与余弦定理）
解析：因为D 为BC 的中点，所以S △ACD ＝S △ABD ， 故
11
AC AD sin CAD AB AD sin BAD 22
∠=∠， 因为sin ∠CAD ＝sin2∠BAD ＝2sin ∠BADcos ∠BAD ，AC ＝1，AB 2代入上式，
得cos ∠BAD ＝
22，∵0＜∠BAD ＜π，故∠BAD ＝4π，∠BAC ＝34
π
， 222
BC AC AB 2AC ABcos BAC 12212()52
=
+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-
=． 14．设函数32
()23f x x x a =--，若对任意的实数a ，总存在0x ∈[0，2]，使得0()f x m ≥，
则实数m 的取值范围是 ． 答案：(-∞，
5
2
] 考点：函数与不等式（讨论最值解决恒成立、存在性问题） 解析：令3
2
()23g x x x a =--，()6(1)g x x x '=-， 故()g x 在[0，1]单调递减，在[1，2]单调递增， 求得(0)g a =-，(1)1g a =--，(2)4g a =-，
当32
a <
时，32
()23f x x x a =--的最大值为4a -， 故4a m -≥恒成立，35
422
m ≤-=；
当32
a ≥时，32
()23f x x x a =--的最大值为1a +，
故1a m +≥恒成立，35
122
m ≤+=．
综上所述，对任意的实数a ，总存在0x ∈[0，2]，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值
范围是52
m ≤
，即(-∞，5
2]．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
若函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，0＜ϕ＜2
π
)的图象经过点(03)，且相邻的两个零点差的绝对值为6．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，当x ∈[﹣1，5]时，求()g x 的值域．
解：(1) ()f x Q 相邻的两个零点差的绝对值为6， 记()2sin()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+><<的周期为T ，则
62
T
=, 又2T π
ω
=
，6
π
ω∴=
. ...............................................................................2分
()2sin()(0)62
f x x ππ
ϕϕ∴=+<<;
()f x Q 的图象经过点3)， (0)2sin 3(0)2
f π
ϕϕ∴==<<
，3
π
ϕ∴=
， ..................................................4分
∴函数()f x 的解析式为()2sin()63
f x x ππ
=+..................................................6分
(2) Q 将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数g()x 的图象, 由(1)得，()2sin(
)63
f x x π
π
=+，
∴函数g()x 的解析式为g()2sin[(3)]2sin()6366
x x x ππππ
=-+=-；.............10分
当[1,5]x ∈-时，
2,6
633x π
π
ππ⎡⎤
-
∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin()[3,2]66
x ππ-∈-. 综上，当[1,5]x ∈-时，g()x 的值域为[3,2]-...................................14分
16．（本题满分14分）
设p ：“R x ∀∈，sin 2x a ≤+”；q ：“2
()f x x x a =--在区间[﹣1，1]上有零点”． （1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）若p ∨q 为真命题，且p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．
解：(1) Q p为真命题，则max
2(sin)
a x
+≥,1
a
∴≥-；........................... 4分
(2) Q""
p q
∨为真命题，""
p q
∧为假命题,
则,p q一真一假......................................6分
若q为真命题，则2
a x x
=-在[1,1]
x∈-在有解，
又2,[1,1]
y x x x
=-∈-的值域为
1
,2
4
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
，
1
2
4
a
∴-≤≤...........................8分
①p真q假,
1
,
1
2
4
a
a a
≥-
⎧
⎪
⎨
<->
⎪⎩或
则
1
21.
4
a a
>-≤<-
或..............................10分
②p假q真,
1
,
1
2
4
a
a
<-
⎧
⎪
⎨
-≤≤
⎪⎩
则a无解......................................12分
综上，实数a的取值范围是
1
[1,)(2,)
4
--+∞
U................................14分
17．（本题满分14分）
如图所示是某社区公园的平面图，ABCD为矩形，AB＝200米，BC＝100米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD内修建5条道路AE，DE，EF，BF，CF，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF垂直平分边AD，且线段EF的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．
解：（法一）设((0,))
2
ADE
π
θθ
∠=∈，过E作EH AD
⊥于H，
EF
Q垂直平分AD，
1
50
2
DH BC
∴==(米)，
50
cos
DE
θ
∴=(米)，50tan
EHθ
=(米)，
又EF
Q的中点是矩形ABCD的中心，
2002200100tan
EF EHθ
∴=-=-(米)，
记这5条路总长度为()
fθ(米)，
则
50
()4200100tan((0,))
cos2
f
π
θθθ
θ
=⋅+-∈，..................................6分
即2sin ()200100((0,))cos 2
f θπ
θθθ-=+⋅∈，
2
(2sin )cos (2sin )(cos )()100cos f θθθθθθ
''
---'∴=⋅，.................................8分 化简得2
2sin 1()100cos f θθθ
-'=⋅，由()0f θ'=，可得6π
θ=，.........................10分 θ
(0,)6
π
6
π ()62
ππ
， '()f θ -
0 +
()f θ
↘
2001003+
↗
由上表可知，当6πθ=时，()f θ取最小值22()200100200100363
f π-
=+=+(米) ..................13分
答：5条道路的总长度的最小值为2001003+(米)............................14分 （法二）过E 作EH AD ⊥于H ，设EH x =(米)( 0100x <<)
因EF 垂直平分AD ，故1
502
AH BC =
=(米)， 又EF Q 的中点是矩形ABCD 的中心，2002EF x ∴=-(米)；
在Rt AEH ∆中，22500AE x +米)，
由对称性可得，22500AE DE CF BF x ====+(米)； 记这5条路总长度为()f x (米)，
2()425002002,(0100)f x x x x ∴=+-<<................................6分
2
22
2
225002500)
'()25002500x x f x x
x
++∴=
=
++...............................8分
令'()0,f x =解得50
33x =负值舍)..............................10分 x
50
(0,
3)3
503
3
503
(
100)3
，
'()f x -
0 +
()f x
↘
2001003+
↗
由上表可知，当503
x =
时，()f x 取最小值2001003+............................13分 答：5条道路的总长度的最小值为2001003+米............................14分
（法三）同方法二得到2()425002002,(0100)f x x x x =++-<<，以下可用判别式法. 18．（本题满分16分）
如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，点D 为△ABC 内一点，满足BD ＝CD ＝2，且
AB AC 5DB DC 0⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
．
（1）求
sin ABC
sin BCD
∠∠的值；
（2）求边BC 的长．
解：（1）设BC a =，AC b =，AB c =，
由50AB AC DB DC ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
，
所以54cos 522cos 0A D ⋅+⋅⋅=，即cos cos A D =-，............................2分 又,A D 为三角形的内角，所以sin sin A D =，..............................4分
在ABC ∆中，
sin sin a b A ABC =∠，所以4
sin sin a A ABC =∠，.......................6分 同理2
sin sin a D BCD
=∠，.................................8分 所以42sin sin ABC BCD =∠∠，sin 2sin ABC
BCD
∠∴
=∠................................10分 （2）在ABC ∆中，2222222
5441cos 225440
b c a a a A bc +-+--===⋅⋅，......................12分
同理2
8cos 8
a D -=，.................................14分
由（1）可得22
418408
a a --=-，解得362BC a ==................................16分
19．（本题满分16分）
在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一
次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a ，b ，c 经过第n 次拓展后所得数列的项数记为P n ，所有项的和记为n S ．
（1）求P 1，P 2，P 3；
（2）若P n ≥2019，求n 的最小值；
（3）是否存在实数a ，b ，c 使得数列{}n S 为等比数列，若存在，求a ，b ，c 满足的条件；若不存在，请说明理由．
解：（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数1325P =+=； 经第2次拓展后的项数2549P =+=；
经第3次拓展后的项数39817P =+=...............................3分 （2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第n 次拓展后的项数为n P ，则经第1n +次拓展后增加的项数为1n P -， 所以1(1)21n n n n P P P P +=+-=-，..............................5分 所以11222(1)n n n P P P +-=-=-， 由（1）知114P -=，所以1
11422n n n P -+-=⋅=，121n n P +∴=+，.....................7分
由1
2
12019n n P +=+≥，即122018n +≥，解得10n ≥，
所以n 的最小值为10.................................8分
（3）设第n 次拓展后数列的各项为123,,,,,,m a a a a a c L ， 所以123n m S a a a a a c =++++++L ，
因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以11112223()()()()n m m S a a a a a a a a a a a c c +=+++++++++++++L ，
即11223332n m S a a a a c +=+++++L ，所以13()n n S S a c +=-+，........................12分 得1232S a b c =++，25155S a b c =++，3144514S a b c =++， 因为数列{}n S 为等比数列，所以
3
212
S S S S =，可得0a c +=，.............................14分 则12323S a b c b =++=，由10S ≠得0b ≠， 反之，当0a c +=且0b ≠时，13n n S S +=，0n S ≠，
1
3n n
S S +=，所以数列{}n S 为等比数列， 综上，,,a b c 满足的条件为0a c +=且0b ≠..........................16分 20．（本题满分16分）
设函数()(1)x
f x e x x a =---，a 为常数．
（1）当a ＝0时，求函数()f x 的图象在点P(0，(0)f )处的切线方程；
（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，①当a Z ∈时，求a 的最小值；②当a ＝1时，求12x x +的值．
解：（1）当0a =时，()(1)x
f x e x x =--，(0)1f =-，()1x
f x xe '=-，(0)1f '=-， 故所求切线的方程为1(0)y x +=--，即10x y ++=......................2分 （2）①()1x
f x xe '=-，令()()1x
g x f x xe '==-，则()(1)x
g x x e '=+， 当1x <-时()10x g x xe =-<恒成立，故()g x 在(,1)-∞-上递减， 令()0g x '>得1x >-，故()g x 在(1,)-+∞上递增，又11
()102
2
g e =
<，(1)10g e =->，()g x 的图象在[1,)-+∞上连续不间断，所以存在唯一实数01
(,1)2
x ∈使
得0()0g x =，...............4分
故0x x <时()0f x '<，0x x >时()0f x '>，所以()f x 在0(,)x -∞上递减，在0(,)x +∞上递增，
∴min 0()()f x f x =000(1)x
e x x a =---，由0()0g x =得0
1x e
x =
，
高考资源网（ ） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！
∴min 00
1()1()f x a x x =--+，........................6分 因为函数()f x 有两个不同的零点1x ,2x ，所以min ()0f x <，得0011()a x x >-+
， 由01(,1)2
x ∈易得00131()(,1)2x x -+∈--，故整数1a ≥-, 当1a =-时，(0)(1)0f f ==，满足题意，
故整数a 的最小值为1-.（也可以用零点存在性定理给出证明）................10分
注：由0(0,1)x ∈得00
11()(,1)x x -+∈-∞-，不能得到1a ≥-. ②法一：当1a =时，()(1)1x f x e x x =---，由12()()f x f x =得11111x x e x +=-，22211
x x e x +=-， 两式相乘得121212121212(1)(1)(1)(1)2()(1)(1)(1)(1)
x x x x x x x x e x x x x +++--++==----， 得1212122()1(1)(1)
x x x x e x x ++=+--（※）.......................12分 不妨设12x x <，由(1)20f =-<及()f x 的单调性可知121x x <<，..........14分
故12(1)(1)0x x --<，
当120x x +=时（※）式成立；
当120x x +>时（※）式左边大于1，右边小于1，（※）式不成立；
当120x x +<时（※）式左边小于1，右边大于1，（※）式不成立；
综上，120x x +=...............16分
法二：当1a =时，()(1)1x
f x e x x =---，
不妨设12x x <，由(1)20f =-<及()f x 的单调性可知121x x <<，.............12分 由1()0f x =得111(1)10x e x x ---=， ∴11
1111111111(1)1()(1)110x x x x x e x x f x e x x x e e -------=--+-=+-==，.............14分
故函数()f x 有两个不同的零点1x ,1x -，又由()f x 的单调性可知()f x 有且仅有两个不同的零点1x ,2x ，
∴21x x =-，∴120x x +=..............................16分。