〖汇总3套试卷〗珠海市2019年九年级上学期数学期末检测试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 都在格点上，点E 在AB 的延长线上，以A 为圆心，AE 为半径画弧，交AD 的延长线于点F ，且弧EF 经过点C ，则扇形AEF 的面积为（ ）
A ．5π
B ．58π
C ．54π
D ．5π 【答案】B
【分析】连接AC ，根据网格的特点求出r=AC 的长度，再得到扇形的圆心角度数，根据扇形面积公式即可求解.
【详解】连接AC ，则r=AC=22251=+
扇形的圆心角度数为∠BAD=45°，
∴扇形AEF 的面积=()2455360
π⨯⨯=58
π 故选B.
【点睛】
此题主要考查扇形面积求解，解题的关键是熟知勾股定理及扇形面积公式.
2．在一个不透明的袋中装有50个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有（ ）
A ．10个
B ．20个
C ．30个
D ．40个 【答案】A
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【详解】设袋中有红球x 个，由题意得
0.250
x = 解得x ＝10，
故选：A ．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
3．如图所示，二次函数22y x x k =-++的图像与x 轴的一个交点坐标为(3,0)，则关于x 的一元二次方程220x x k -++=的解为（ ）
A ．123,2x x ==-
B ．123,1x x ==-
C ．121,1x x ==-
D ．123,3x x ==-
【答案】B 【分析】先确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性确定图象与x 轴的另一个交点，再根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可．
【详解】解：∵二次函数2
2y x x k =-++的对称轴是直线1x =，图象与x 轴的一个交点坐标为(3,0)， ∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴一元二次方程220x x k -++=的解为123,1x x ==-．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与一元二次方程的关系，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
4．下列函数，当0x >时，y 随着x 的增大而减小的是（ ）
A ．21y x =+
B ．6y x =-
C ．23y x =+
D ．22y x x =-- 【答案】D
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出当x ＞0时，y 随x 的增大如何变化，从而可以解答本题．
【详解】在y ＝2x ＋1中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故选项A 不符合题意； 在6y x
=-中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故选项B 不符合题意； 在2
3y x =+中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故选项C 不符合题意；
在y ＝−x 2−2x ＝−（x ＋1）2＋1中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，故选项D 符合题意；
故选：D ．
本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，可以判断出当x＞0时，y随x的增大如何变化．
5．下列说法正确的个数是（）
①相等的弦所对的弧相等；②相等的弦所对的圆心角相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆周角相等；⑤圆周角越大所对的弧越长；⑥等弧所对的圆心角相等；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据圆的相关知识和性质对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】解：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；故①错误；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；故②错误；
在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧；故③错误；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；故④错误；
在同圆或等圆中，圆周角越大所对的弧越长；故⑤错误；
等弧所对的圆心角相等；故⑥正确；
∴说法正确的有1个；
故选：A.
【点睛】
本题考查了弧，弦，圆心角，圆周角定理，要求学生对基本的概念定理有透彻的理解，解题的关键是熟练掌握所学性质定理.
6．图中信息是小明和小华射箭的成绩，两人都射了10箭，则射箭成绩的方差较大的是（）
A．小明B．小华C．两人一样D．无法确定
【答案】B
【分析】根据图中的信息找出波动性小的即可．
【详解】解：根据图中的信息可知，小明的成绩波动性小，
则这两人中成绩稳定的是小明；
故射箭成绩的方差较大的是小华，
故选：B．
本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，AB AD =2，那么下列条件中能判断DE ∥BC 的是（ ）
A ．12AE EC =
B ．2E
C AC = C ．12DE BC =
D ．2AC AE
= 【答案】D
【分析】只要证明AC AB AE AD
=，即可解决问题． 【详解】解:A.
12AE EC = ，可得AE ：AC=1：1，与已知2AB AD =不成比例，故不能判定 B. 2EC AC =，可得AC ：AE=1：1，与已知2AB AD
=不成比例，故不能判定； C 选项与已知的2AB AD
=，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定； 12DE BC = D. 2AC AB AE AD
==，可得DE//BC ， 故选D.
【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，一段抛物线y=﹣x 2+4（﹣2≤x≤2）为C 1，与x 轴交于A 0，A 1两点，顶点为D 1；将C 1绕点A 1旋转180°得到C 2，顶点为D 2；C 1与C 2组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），与线段D 1D 2交于点P 3（x 3，y 3），设x 1，x 2，x 3均为正数，t=x 1+x 2+x 3，则t 的取值范围是（ ）
A ．6＜t≤8
B ．6≤t≤8
C ．10＜t≤12
D ．10≤t≤12
【答案】D
【解析】首先证明x1+x2=8，由2≤x3≤4，推出10≤x1+x2+x3≤12即可解决问题.
【详解】翻折后的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣8x+12，
∵设x1，x2，x3均为正数，
∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，
根据对称性可知：x1+x2=8，
∵2≤x3≤4，
∴10≤x1+x2+x3≤12，
即10≤t≤12，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活应用二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键.
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=1．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）
A．（﹣912
55
，）B．（﹣
129
55
，）C．（﹣
1612
55
，）D．（﹣
1216
55
，）
【答案】A
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1三边关系，再利用勾股定理得出答案．【详解】过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，
由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，
∠1=∠2=∠1，
则△A1OM∽△OC1N，
∵OA=5，OC=1，
∴OA1=5，A1M=1，
∴OM=4，
∴设NO=1x，则NC1=4x，OC1=1，
则（1x ）2+（4x ）2=9，
解得：x=±35（负数舍去）， 则NO=95，NC 1=125， 故点C 的对应点C 1的坐标为：（-
95
，125）． 故选A ．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A 1OM ∽△OC 1N 是解题关键．
10．如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD ＝60°，BP ＝2，CD ＝1，则△ABC 的边长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B 【分析】根据等边三角形性质求出AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，推出∠BAP ＝∠DPC ，即可证得△ABP ∽△PCD ，据此解答即可，．
【详解】∵△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，
∴∠BAP+∠APB ＝180°﹣60°＝120°，
∵∠APD ＝60°，
∴∠APB+∠DPC ＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAP ＝∠DPC ，
即∠B ＝∠C ，∠BAP ＝∠DPC ，
∴△ABP ∽△PCD ；
∴=，B A PC P CD
B ∵BP ＝2，CD ＝1， ∴
221=-，AB AB ∴AB ＝1，
∴△ABC 的边长为1．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力.
11．如图，在△ABC中，点D，E 分别在边AB，AC 上，且
1
3
AE AD
AB AC
==，则S△ADE：S四边形BCED
的值为（）
A．1：3B．1：3 C．1：8 D．1：9
【答案】C
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而求得S△ADE：S四边形BCED 的值．
【详解】∵
1
3
AE AD
AB AC
==，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE:S△ABC＝1:9，
∴S△ADE:S四边形BCED＝1:8，
故选C.
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
12．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度是( )
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】B
【分析】过点O作OM⊥DE于点M,连接OD，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”和勾股定理进行计算，即可求出答案.
【详解】过点O 作OM ⊥DE 于点M,连接OD.
∴DE=DE ，
∵DE=8cm ，
∴DM=4cm ，
在Rt △ODM 中，∵OD=OC=5cm ， ∴
∴直尺的宽度为3cm.
故答案选B.
【点睛】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，灵活运用这些定理是解答本题的关键.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．在一个不透(明的袋子中装有除了颜色外其余均相同的8个小球，其中红球3个，黑球5个，若再放入m 个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于
45
，则m 的值为__________． 【答案】1 【分析】由概率=所求情况数与总情况数之比，根据随机摸出一个球是黑球的概率等于
45可得方程，继而求得答案． 【详解】根据题意得：
5485m m +=+， 解得：7m =．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．关于x 的方程1(2)02x x +=的根为______．
【答案】x 1=0,x 2=1-4
【分析】直接由因式分解法方程，即可得到答案． 【详解】解：∵1
(2)02x x +=，
∴0x =或1202
x +
=， ∴10x =，214x =-； 故答案为：10x =，214
x =-
． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解方程．
15．抛物线2(-1)3y x =+的顶点坐标是______.
【答案】 (1，3)
【分析】根据顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）即可求出顶点坐标.
【详解】解：由顶点式可知：2
(-1)3y x =+的顶点坐标为：(1，3).
故答案为(1，3).
【点睛】
此题考查的是求顶点坐标，掌握顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）是解决此题的关键. 16．如图，在以A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC 中，将B 角折起，使点B 落在AC 边上的点D （不与点A ，C 重合）处，折痕是EF ．
如图1，当CD ＝12AC 时，tan α1＝34
； 如图2，当CD ＝
13
AC 时，tan α2＝512； 如图3，当CD ＝14AC 时，tan α3＝724； ……
依此类推，当CD ＝
17AC （n 为正整数）时，tan αn ＝_____． 【答案】1384
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，2(21)12
n +-，2(21)+12
n +中的中间一个． 当()
n 112n 1CD AC tan αn 2n n 1--==+时，， 将613n 7tan α84==
代入得，
故答案为：
1384
【点睛】 本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
17．已知方程22210x kx k +-+=的两实数根的平方和为
294
，则k 的值为____． 【答案】3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得出12x x +和12x x 的值，然后将平方和变形为12x x +和12x x 的形式，代入便可求得k 的值．
【详解】∵22210x kx k +-+=，设方程的两个解为12x x 、 则122k x x +=-，12212
k x x -+= ∵两实根的平方和为294，即()()2212x x +=294 ∴()()()2222121212292122422k k x x x x x x -+⎛⎫=+=+-=-- ⎪⎝⎭
解得：k=3或k=－11
∵当k=－11时，一元二次方程的△＜0，不符，需要舍去
故答案为：3
【点睛】
本题考查根与系数的关系，注意在最后求解出2个值后，有一个值不符需要舍去．
18．关于x 的方程260x x k ++=没有实数根，则k 的取值范围为____________
【答案】9k >
【分析】根据题意利用根的判别式进行分析计算，即可求出k 的取值范围.
【详解】解：∵关于x 的方程260x x k ++=没有实数根，
∴2246413640b ac k k ∆=-=-⨯⨯=-<，
解得9k >.
故答案为：9k >.
【点睛】
本题考查根的判别式相关，熟练掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中，当∆<0时，方程没有实数根是解答此题的关键．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：
类别家庭藏书m本学生人数
A 0≤m≤2520
B 26≤m≤50 a
C 51≤m≤7550
D m≥7666
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为，a＝；
（2）随机抽取一位学生进行调查，刚好抽到A类学生的概率是；
（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书不少于76本的人数．
【答案】（1）200，64；（2）0.1；（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人．
【分析】（1）根据类别C的人数和所占的百分比即可求出样本容量，用样本容量减去A,C,D所对应的人数即可求出a的值；
（2）用类别A所对应的人数除以样本容量即可求出抽到A类学生的概率；
（3）用2000乘以藏书不少于76本的概率即可得出答案.
【详解】（1）调查的样本容量为50÷25%＝200（人），
a＝200﹣20﹣50﹣66＝64（人），
故答案为200，64；
（2）刚好抽到A类学生的概率是20÷200＝0.1，
故答案为0.1；
（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数：2000×66
200
＝660（人）．
答：全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人．
【点睛】
本题主要考查随机事件的概率，用样本估计总体等，能够对统计表和扇形统计图结合是解题的关键. 20．已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x=
3
2
时，y=______．
【答案】（1）12y x =；（2）－8 【分析】（1）设
(0)k
y k x =≠，将x=2，y=1代入求解即可；
（2）将x=3
2
-代入反比例函数解析式求出y 值.
【详解】解：（1）设(0).k
y k x
=≠
∵当x=2时，y=1． ∴62k
=
． ∴12.k =． ∴12y x
=
． （2）将x=32-代入12y x
=得：122
12()8
332
y ==⨯-=-- 所以8y =-. 【点睛】
本题考查了反比例函数的解析式，熟练掌握求反比例函数解析式的方法是解题关键.
21．如图1，已知直线12l l //，线段AB 在直线1l 上，1BC l ⊥于点C ，且AB BC =，P 是线段BC 上异于两端点的一点，过点P 的直线分别交2l 、1l 于点D 、E （点A 、E 位于点B 的两侧），满足BP BE =，连接AP 、CE ．
（1）求证：ABP CBE ∆≅∆；
（2）连结AD 、BD ，BD 与AP 相交于点F ，如图2， ①当
2BC
BP
=时，求证：AP BD ⊥； ②当
(1)BC
n n BP
=>时，设PBE ∆的面积为S ，PAD ∆的面积为1S ，PCE ∆的面积为2S ，求12S S 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1
2
1S n S =+ 【分析】（1）根据平行和垂直得出∠ABP=∠CBE ，再根据SAS 证明即可；
（2）①延长AP 交CE 于点H ，求出AP ⊥CE ，证出△CPD ∽△BPE ，推出DP=PE ，求出平行四边形BDCE ，
推出CE ∥BD 即可；②分别用S 表示出△PAD 和△PCE 的面积，代入求出即可． 【详解】（1）∵1BC l ⊥， ∴ABP CBE ∠=∠， 在ABP ∆和CBE ∆中，
AB BC ABP CBE BP BE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴()ABP CBE SAS ∆≅∆； （2）①延长AP 交CE 于点H ，
∴ABP CBE ∆≅∆， ∴∠APB=∠CEB ，
∴90PAB AFE ECB AEH ∠+∠=∠+∠=︒， ∴AP CE ⊥， ∵
2BC
BP
=，即P 为BC 的中点，12l l //， ∴CPD ∆∽BPE ∆, ∴
1DP CP
PE BP
==, ∴DP PE =,
∴四边形BDCE 是平行四边形， ∴//CE BD ， ∵AP CE ⊥， ∴AP BD ⊥; ②∵
BC
n BP
=， ∴•BC n BP =， ∴(1)CP n BP =-， ∵//CD BE , ∴CPD ∆∽BPE ∆，
∴
1PD PC
n PE PB
==-， 设△PBE 的面积S △PBE =S ，则△PCE 的面积S △PCE 满足PCE PBE S PC
==n-1S PB
△△，即S 2=（n-1）S ， 即2(1)S n S =-， ∵PAB BCE S S nS ∆∆==， ∴(1)PAE S n S ∆=+，
∵
PAD PAE S PD
==n-1S PE
△△， ∴S 1=（n-1）•S △PAE ，即S 1=（n+1）（n-1）•S ，,
∴12(1)(1)1(1)S n n S
n S n S
+-==+-． 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度．
22．镇江某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，则平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量增加10千克，若专卖店销售这种特产想要平均每天获利2240元，且销量尽可能大，则每千克特产应定价多少元？ 【答案】54
【解析】设定价为x 元，利用销售量×每千克的利润=2240元列出方程求解即可. 【详解】设定价为x 元.根据题意可得，
()()4010010602240x x ⎡⎤-+-=⎣⎦
解之得：154x =，256x = ∵销售量尽可能大 ∴x=54
答：每千克特产应定价54元. 【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程．
23．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB ，tan ∠ABC=2，点B 的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A 、B 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE最大．
①求点P的坐标和PE的最大值．
②在直线PD上是否存在点M，使点M在以AB为直径的圆上；若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①
9
=
4
PE
最大值
，P
121
,
24
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
② M（
1
2
-，635
+
）或（
1
2
-，635
-
）
【解析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①根据A（﹣2，6），B（1，0），求得AB的解析式为：y=﹣2x+2，设P（a，﹣a2﹣3a+4），则E（a，
﹣2a+2），利用PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣(a+1
2
)2+
9
4
，根据二次函数的图像与性质即求解；
②根据点M在以AB为直径的圆上，得到∠AMB=90°，即AM2+BM2=AB2
1
-m
2
M
⎛⎫
⎪
⎝⎭
设，，求出2
AM，2
BM，
AB2故可列出方程求解.
【详解】解：（1）∵B（1，0）∴OB=1，
∵OC=2OB=2，
∴BC=3 ,C（﹣2，0）
Rt△ABC中，tan∠ABC=2，
∴AC
BC
=2，
∴AC=6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：
426 10
b c
b c
--+=
⎧
⎨
-++=
⎩
，
解得：
3 {
4
b
c
=-
=
，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4； （2）①∵A （﹣2，6），B （1，0）， 易得AB 的解析式为：y=﹣2x+2，
设P （a ，﹣a 2﹣3a+4），则E （a ，﹣2a+2）， ∴PE=﹣a 2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣a 2﹣a+2=﹣(a+12
)2+94 ∴当a=1
-2
时，PE 最大值=
94
,此时P(1-2,21
4)
②∵M 在直线PD 上，且P(1-2,
21
4
)， 1-m 2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
设，
∴()2
22
3AM m 62⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
223
BM ()2
=+2m
AB 2=32+62=45，
∵点M 在以AB 为直径的圆上 此时∠AMB=90°， ∴AM 2+BM 2=AB 2，
∴()2
23m 62⎛⎫+- ⎪⎝⎭
+23()2+2m =45
解得：16m 2
+=
,2 m =
∴M （12-
，62+）或（12-，62
-） 【点睛】
此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想的应用． 24．解方程：（x ﹣2）（x ﹣1）＝3x ﹣6 【答案】x ＝2或x ＝1
【分析】将等式右边进行提取公因数3，然后移项利用因式分解法求解可得. 【详解】解：∵（x ﹣2）（x ﹣1）﹣3（x ﹣2）＝0， ∴（x ﹣2）（x ﹣1）＝0， 则x ﹣2＝0或x ﹣1＝0， 解得x ＝2或x ＝1．
故答案为：x ＝2或x ＝1. 【点睛】
本题考查了因式分解法. 主要有提公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法.
25．如图所示，∠DBC ＝90°，∠C ＝45°，AC ＝2，△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△DBE ，连接AE ． （1）求证：△ABC ≌△ABE ； （2）连接AD ，求AD 的长．
【答案】（1）见解析；（2）2.
【分析】（1）根据旋转的性质得到∠DBE ＝∠ABC ，∠EBC ＝60°，BE ＝BC ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接AD ，根据旋转的性质得到DE ＝AC ，∠BED ＝∠C ，DE ＝AC ＝2，根据全等三角形的性质得到∠BEA ＝∠C ，AE ＝AC ＝2，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△DBE ， ∴∠DBE ＝∠ABC ，∠EBC ＝60°，BE ＝BC ， ∵∠DBC ＝90°， ∴∠DBE ＝∠ABC ＝30°， ∴∠ABE ＝30°，
在△ABC 与△ABE 中，=30?BC BE
ABC ABE BA BA =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△ABE （SAS ）； （2）解：连接AD ，
∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△DBE ， ∴DE ＝AC ，∠BED ＝∠C ，DE ＝AC ＝2， ∵△ABC ≌△ABE ，
∴∠BEA ＝∠C ，AE ＝AC ＝2， ∵∠C ＝45°，
∴∠BED ＝∠BEA ＝∠C ＝45°， ∴∠AED ＝90°，DE ＝AE ，
∴AD＝2AE＝22．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
26．如图，在⊙O中，点D是⊙O上的一点，点C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A＝∠BDC．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝2时，求MN的长．
【答案】（1）见解析；（2）MN＝2.
【解析】（1）如图，连接OD．欲证明直线CD是⊙O的切线，只需求得∠ODC＝90°即可；
（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM＝∠BDC+∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，根据勾股定理可求得MN的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠A+∠ABD＝90°，
又∵OD＝OB，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠A＝∠BDC；
∴∠CDB+∠ODB＝90°，即∠ODC＝90°．
∵OD是圆O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM＝∠ACM，
又∵∠A＝∠BDC，
∴∠A+∠ACM＝∠BDC+∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，
∵∠ADB ＝90°，DM ＝2， ∴DN ＝DM ＝2，
∴MN ＝22DM DN +＝22．
【点睛】
本题主要考查切线的性质、圆周角定理、角平分线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径是解本题的关键．
27．如图1 ，已知平行四边形ABCD ，DE 是ADC ∠的角平分线，交BC 于点E ．
（1）求证： CD CE =．
（2）如图2所示，点P 是平行四边形ABCD 的边BC 所在直线上一点，若BE CE =，且3AE =，
4DE = ，求APD ∆的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）6
【分析】（1）根据角平分线的定义结合两直线平行，内错角相等可得CDE CED ∠=∠，然后利用等角对等边证明即可；
（2）先证得ABE ∆为等腰三角形，设BAE BEA α∠=∠=，CED CDE β∠=∠=，利用三角形内角和定理以及平行线性质定理证得90AED ∠=︒，再利用同底等高的两个三角形面积相等即可求得答案． 【详解】（1）DE 平分ADC ∠，
ADE CDE ∴∠=∠，
又
四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴，
ADE CED =∠∴∠， CDE CED ∴∠=∠， CD CE ∴=；
（2）
CE CD =，BE CE =，
BE CD AB ==∴， ABE ∴∆为等腰三角形，
∴设BAE BEA α∠=∠=，CED CDE β∠=∠=，
1802ABE a ∠=︒-∴，1802DCE β∠=︒-，
又180ABE DCE ∠+∠=︒，
180********αβ︒-+︒-=︒∴， 90αβ∴+=︒，
90AED ∴∠=︒，
即AED ∆为直角三角形， 四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴，
∴11
34622
APD
AED
S
S
AE ED ==
=⨯⨯=． 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，等角对等边的性质，同底等高的两个三角形面积相等，证得AED ∆为直角三角形是正确解答(2)的关键．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若OA=2，则四边形CODE 的周长为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】C 【分析】首先由CE ∥BD ，DE ∥AC ，可证得四边形CODE 是平行四边形，又由四边形ABCD 是矩形，根据矩形的性质，易得OC ＝OD ＝2，即可判定四边形CODE 是菱形，继而求得答案．
【详解】解：∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，
∴四边形CODE 是平行四边形，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC ＝BD ，OA ＝OC=2，OB ＝OD ，
∴OD ＝OC ＝2，
∴四边形CODE 是菱形，
∴四边形CODE 的周长为：4OC ＝4×2＝1．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE 是菱形是解此题的关键．
2．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，以点B 为圆心的圆与AD 、DC 相切，与AB 、CB 的延长线分别相交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A 32π
B 3π+
C 32π
D ．232π
【答案】A
【详解】解：设AD 与圆的切点为G ，连接BG ，
∴BG ⊥AD ，
∵∠A=60°，BG ⊥AD ，
∴∠ABG=30°，在直角△ABG 中，BG=3AB=3×2=3，AG=1， ∴圆B 的半径为3，
∴S △ABG =1132⨯⨯=3， 在菱形ABCD 中，
∵∠A=60°，则∠ABC=120°，
∴∠EBF=120°，
∴S 阴影=2（S △ABG ﹣S 扇形ABG ）+S 扇形FBE =23303120(3)2()2360360
ππ⨯⨯-+=32π+． 故选A ．
考点：1．扇形面积的计算；2．菱形的性质；3．切线的性质；4．综合题．
324x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是
A ．x ≤12
B ．x ≥12
C ．x ≤2
D ．x ≥2
【答案】A
【分析】根据二次根式被开方数为非负数即可求解.
【详解】依题意得2-4x≥0
解得x≤
12
故选A.
【点睛】
此题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数.
4．用配方法解方程2640x x +-=，下列变形正确的是（ ）
A ．2(3)5x +=
B ．2(3)5x +=-
C ．2(3)13x -=-
D ．2(3)13x += 【答案】D
【解析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可.
【详解】解：原方程等式两边同时加上一次项系数一半的平方得，2226343x x ++-=，整理后得， ()2313x +=，故选择D.
【点睛】
本题考查了配方法的概念.
5．在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ） A ．24
B ．36
C ．40
D ．90 【答案】D
【分析】设袋中有黑球x 个，根据概率的定义列出方程即可求解.
【详解】设袋中有黑球x 个，由题意得：60x x
+=0.6，解得：x=90， 经检验，x=90是分式方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有90个．故选D ．
【点睛】
此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意设出未知数列方程求解.
6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆，三个切点分别为D 、E 、F ，若BF ＝2，AF ＝3，则△ABC 的面积是( )
A ．6
B ．7
C ．32
D ．12
【答案】A 【解析】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD 是正方形，进而利用勾股定理得出答案．
【详解】连接DO ，EO ，
∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，
∴OE ⊥AC ，OD ⊥BC ，CD=CE ，BD=BF=3，AF=AE=4
又∵∠C=90°，
∴四边形OECD 是矩形，
又∵EO=DO ，
∴矩形OECD 是正方形，
设EO=x ，
则EC=CD=x ，
在Rt △ABC 中
BC 2+AC 2=AB 2
故（x+2）2+（x+3）2=52，
解得：x=1，
∴BC=3，AC=4，
∴S △ABC =12
×3×4=6， 故选A ．
【点睛】
此题主要考查了三角形内切圆与内心，得出四边形OECF 是正方形是解题关键．
7．若抛物线22(21)y x m x m =+-+与坐标轴有一个交点，则m 的取值范围是（ ）
A ．14m >
B ．14m <
C ．14m ≥
D ．14
m = 【答案】A
【分析】根据抛物线y=x 2+（2m-1）x+m 2与坐标轴有一个交点，可知抛物线只与y 轴有一个交点，抛物线与x 轴没有交点，据此可解．
【详解】解：∵抛物线y=x 2+（2m-1）x+m 2与坐标轴有一个交点，
抛物线开口向上，m 2≥0，
∴抛物线与x 轴没有交点，与y 轴有1个交点，
∴（2m-1）2-4m 2＜0 解得14
m > 故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是掌握判别式和抛物线与x 轴交点的关系． 8．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，连接AD ，若∠BAC ＝26°，则∠ADE 的度数为（ ）
A ．13°
B ．19°
C ．26°
D ．29°
【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得AC ＝CD ，∠CDE ＝∠BAC ，再判断出△ACD 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CDA ＝45°，根据∠ADE ＝∠CDA ﹣∠CDE ，即可求解.
【详解】∵Rt △ABC 绕其直角顶点C 按顺时针方向旋转90°后得到Rt △DEC ，
∴AC ＝CD ，∠CDE ＝∠BAC ＝26°，
∴△ACD 是等腰直角三角形，
∴∠CDA ＝45°，
∴∠ADE ＝∠CDA ﹣∠CDE ＝45°﹣26°＝19°．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质定理，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键,
9．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），当x=1时，函数y 有最大值，设（x 1，y 1），（x 2，y 2）是这个函数图象上的两点，且1＜x 1＜x 2，那么（ ）
A ．a ＞0，y 1＞y 2
B ．a ＞0，y 1＜y 2
C ．a ＜0，y 1＞y 2
D ．a ＜0，y 1＜y 2
【答案】C
【解析】由当x =2时，函数y 有最大值，根据抛物线的性质得a ＜0，抛物线的对称轴为直线x =2，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，所以由2＜x 2＜x 2得到y 2＞y 2．
【详解】∵当x =2时，函数y 有最大值，∴a ＜0，抛物线的对称轴为直线x =2．
∵2＜x 2＜x 2，∴y 2＞y 2．
故选C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
10．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是（ ）
A ．0c <
B ．240b ac -<
C ．0a b c -+<
D ．图象的对称轴是直线3x =
【答案】D
【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0. A 选项错误；
函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac -＞0，B 选项错误；
观察图象可知x ＝－1时y=a －b ＋c ＞0，所以a －b ＋c ＞0，C 选项错误；
根据图象与x 轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，15
2x +=，
x ＝3即为函数对称轴，D 选项正确；
故选D
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.
11．如图，已知AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．75°
【答案】C
【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACD ＝70°，由平行线的性质可求解．
【详解】∵AD ＝CD ，∠1＝40°，
∴∠ACD ＝70°，
∵AB ∥CD ，
∴∠2＝∠ACD ＝70°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．
12．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图1．则旋转的牌是（
）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：观察发现，只有是中心对称图形，
∴旋转的牌是．
故选A．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图所示的55
⨯的方格纸中，如果想作格点ABC与OAB相似（相似比不能为1），则C点坐标为___________.
【答案】（5，2）或（4，4）．
【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．
【详解】解：根据题意得：OA=1，OB=2，AB=5，
∴当AB与AC对应时，有AB OA
AC AB
=或者
AB OB
AC AB
=，
∴AC=5
2
或AC=5，
∵C在格点上，
∴AC=5
2
（不合题意），则AC=5，如图：。