人教版九年级上册数学第二十一章：一元二次方程单元测试题(含解析)

人教版九年级上册数学第二十一章：一元二次方程单元测试题（含解析）一．选择题（共10小题）
1．关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．m≠1C．m≠﹣1D．m＞1
2．一元二次方程x2+5＝﹣4x的一次项的系数是（）
A．4B．﹣4C．1D．5
3．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．0
4．方程（x+1）2＝0的根是（）
A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根
5．方程x2+2x+1＝0的根是（）
A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根
6．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（）
A．x＝1﹣B．x＝C．x＝﹣1+D．x＝
7．方程x2＝4x的根是（）
A．x＝4B．x＝0C．x1＝0，x2＝4D．x1＝0，x2＝﹣4 8．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（）
A．1B．﹣4C．1或﹣4D．﹣1或3
9．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．则k的取值范围为（）
A．k＞﹣B．k＞4C．k＜﹣1D．k＜4
10．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）2＝182
C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
二．填空题（共8小题）
11．已知x＝﹣1是方程x2+ax+3﹣a＝0的一个根，则a的值是．
12．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是．13．已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．14．将一元二次方程x2﹣6x+10＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则b的值为．15．圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为．
16．我市计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2015年市政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2017年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为．
17．已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则＝．
18．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个根，则方程的另一个根是．三．解答题（共7小题）
19．解方程：
（1）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）
（2）2x2﹣x﹣3＝0．
20．是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2＝0和x2+2x+m＝0有且只有一个公共的实根？
如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．
21．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1＝0是一元二次方程，求m的值．
22．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围．
23．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求平均年增长率？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？
24．某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污．已知2016年投入资金1000万元，2018年投入资金1210万元．
（1）求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率；
（2）若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇2019年预计投入资金多少万元？
25．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
2019年春九年级上册数学《第二十一章一元二次方程》
单元测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．m≠1C．m≠﹣1D．m＞1
【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m ﹣1≠0，即可求得m的值．
【解答】解：根据一元二次方程的定义得：m﹣1≠0，即m≠1，
故选：B．
【点评】此题考查一元二次方程，一元二次方程必须满足三个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
（3）整式方程．
要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
当b＝0或c＝0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．
2．一元二次方程x2+5＝﹣4x的一次项的系数是（）
A．4B．﹣4C．1D．5
【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．
【解答】解：方程整理得：x2+4x+5＝0，
则一次项系数为4．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．0
【分析】把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【解答】解：把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a1＝1，a2＝﹣1，而a+1≠0，
所以a＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．方程（x+1）2＝0的根是（）
A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：由于（x+1）2＝0，
∴x+1＝0，
∴x1＝x2＝﹣1
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
5．方程x2+2x+1＝0的根是（）
A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根
【分析】由原方程得出（x+1）2＝0，开方即可得．
【解答】解：∵x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
则x+1＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及配方法解一元二次方程．
6．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（）
A．x＝1﹣B．x＝C．x＝﹣1+D．x＝
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．
【解答】解：∵△＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的两个实数根，
即x＝．
故选：D．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：
①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
7．方程x2＝4x的根是（）
A．x＝4B．x＝0C．x1＝0，x2＝4D．x1＝0，x2＝﹣4【分析】原式利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（）
A．1B．﹣4C．1或﹣4D．﹣1或3
【分析】在本题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把x+2y当成一个整体进行考虑．
【解答】解：设x+2y＝a，则原方程变形为a2+3a﹣4＝0，解得a＝﹣4或a＝1．故选C．【点评】此题主要是把x+2y当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用求根公式求解．
9．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．则k的取值范围为（）
A．k＞﹣B．k＞4C．k＜﹣1D．k＜4
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×1×k2＝4k+1＞0，
∴k＞﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
10．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）2＝182
C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
【分析】设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，根据该机械厂七月份及整个第三季度生产零件的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，
根据题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．已知x＝﹣1是方程x2+ax+3﹣a＝0的一个根，则a的值是2．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2+ax+3﹣a＝0得到关于a的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+ax+3﹣a＝0得：
1﹣a+3﹣a＝0，
解得：a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．
12．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是．【分析】直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围，再代入方程解方程即可．
【解答】解：由题意得：，
∴m＝1，
原方程变为：﹣x2+2＝0，
x＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关键．
13．已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是m≤且m≠0．【分析】由于关于x的一元二次方程有实数根，计算根的判别式，得关于m的不等式，求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，
则△＝1﹣4m≥0，且m≠0．
解得m≤且m≠0．
故答案为：m≤且m≠0．
【点评】本题考查了根的判别式、一次不等式的解法及一元二次方程的定义．题目难度不大，解题过程中容易忽略m≠0条件而出错．
14．将一元二次方程x2﹣6x+10＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则b的值为﹣1．
【分析】利用配方法得到（x﹣3）2＝﹣1，从而得到b的值．
【解答】解：x2﹣6x+10＝0，
x2﹣6x＝﹣10，
x2﹣6x+9＝﹣1，
（x﹣3）2＝﹣1，
所以b的值为﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
15．圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为x（x﹣1）＝110．
【分析】设这个小组有x人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每个人要送x﹣1张贺卡，所以全组共送x（x﹣1）张，又知全组共送贺卡110张，由送贺卡数相等为等量关系，列出方程即可．
【解答】解：设这个小组有x人，则每人应送出x﹣1张贺卡，由题意得：
x（x﹣1）＝110，
故答案为：x（x﹣1）＝110．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，关键在于找出等量关系，列出方程．
16．我市计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2015年市政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2017年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为20%．
【分析】设每年投资的增长率为x，根据2015年及2017年市政府投资的钱数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每年投资的增长率为x，
根据题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则＝3．
【分析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2＝3，x1x2＝1，然后将变形，再将x1+x2＝3，x1x2＝1代入即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，
根据根与系数的关系有：x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，关键是熟练运用．
18．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个根，则方程的另一个根是x＝3．【分析】设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得a的值，即可求得方程的另一根．
【解答】解：
设方程的另一根为a，
∵x＝2是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个根，
∴2a＝6，解得a＝3，
即方程的另一个根是x＝3，
故答案为：x＝3．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于﹣
、两根之积等于是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
19．解方程：
（1）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）
（2）2x2﹣x﹣3＝0．
【分析】（1）先移项得到2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
所以x1＝3，x2＝；
（2）（2x﹣3）（x+1）＝0，
2x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20．是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2＝0和x2+2x+m＝0有且只有一个公共的实根？
如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．
【分析】设两方程的公共根为a，然后将两方程相减，消去二次项，求出公共根和m的值．【解答】解：假设存在符合条件的实数m，且设这两个方程的公共实数根为a，则
①﹣②，得
a（m﹣2）+（2﹣m）＝0
（m﹣2）（a﹣1）＝0
∴m＝2 或a＝1．
当m＝2时，已知两个方程是同一个方程，且没有实数根，故m＝2舍去；
当a＝1时，代入②得m＝﹣3，
把m＝﹣3代入已知方程，求出公共根为x＝1．
故实数m＝﹣3，两方程的公共根为x＝1．
【点评】本题考查的是两个一元二次方程的公共根的问题，一般情况是将两方程相减求出公共根，再求出其中的字母系数．
21．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1＝0是一元二次方程，求m的值．
【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，据此即可求解．
【解答】解：根据题意得，|m﹣1|＝2，且m+1≠0，
解得：m＝3，
答：m的值为3．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．
22．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出△＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x的值，结合方程有一个根小于0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，即（x﹣2）[x﹣（k+1）]＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一个根小于0，
∴k+1＜0，
∴k＜﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出一元二次方程的根．23．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求平均年增长率？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？
【分析】（1）设平均年增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）由求出的年增长率确定出所求即可．
【解答】解：（1）设平均年增长率为x，
根据题意得：1500（1+x）2＝2160，
整理得：（1+x）2＝1.44，
开方得：1+x＝±1.2，
解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去），
则平均年增长率为20%；
（2）根据题意得：2160×（1+20%）＝2592（万元），
则2018年盈利2592万元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
24．某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污．已知2016年投入资金1000万元，
2018年投入资金1210万元．
（1）求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率；
（2）若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇2019年预计投入资金多少万元？
【分析】（1）设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x，根据该镇2016年及2018年投入的资金金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2019年投入资金金额＝2018年投入资金金额×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x，
根据题意得：1000（1+x）2＝1210，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．
答：该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为10%．
（2）1210×（1+10%）＝1331（万元）．
答：该镇2019年预计投入资金1331万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
25．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
【分析】根据题意先判断出参加的人数在30人以上，设共有x名同学参加了研学游活动，再根据等量关系：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数＝3150，列出方程，然后求解即可得出答案．
【解答】解：∵100×30＝3000＜3150，
∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．
设共有x名同学参加了研学游活动，由题意得：
x[100﹣2（x﹣30）]＝3150，
解得x1＝35，x2＝45，
当x＝35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）＝90＞80，符合题意；
当x＝45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）＝70＜80，不符合题意，应舍去．
答：共有35名同学参加了研学游活动．
【点评】此题考查一元二次方程的应用；得到人均付费是解决本题的易错点，得到总费用的等量关系是解决本题的关键．
人教版九年级数学上：第21章一元二次方程综合培优试题（含答案）
一．选择题
1．若一元二次方程x 2﹣5x+4=0的两个实数根分别是a 、b ，则一次函数y=abx+a+b 的图象一定不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2.用配方法解一元二次方程x 2﹣4x=5时，此方程可变形为（ ）
A ．（x+2）2=1
B ．（x ﹣2）2=1
C ．（x+2）2=9
D ．（x ﹣2）2=9
3.用配方法解一元二次方程4x 2-4x=1,变形正确的是( )
(A)（x-）2=0
(B)（x-）2=
(C)(x-1)2=
(D)(2x-1)2=0
4．一个等腰三角形的三边长分别为m ，n ，3，且m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣8x+t ﹣1=0的两根，则t 的值为（ ）
A ．16
B ．18
C ．16或17
D ．18或19
5.长春市企业退休人员王大爷2011年的工资是每月2100元，连续两年增长后，2013年大
王大爷的工资是每月2541元，若设这两年平均每年的增长率为x ，根据题意可列方程（ ）
A ． ()254112100=+x
B ． ()2100125412=-x C. ()2541121002=+x
D ． ()2100125412=-x
6.关于x 的方程(2-a)x 2+5x-3=0有实数解,则整数a 的最大值是( )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
7．下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3（x ﹣9）2﹣（x+1）2=1③x 2++5=0；④x 2﹣2+5x 3﹣6=0；⑤3x 2=3（x ﹣2）2；⑥12x ﹣10=0是一元二次方程的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8.关于x 的方程()01452=---x x a 有实数根，则a 满足（ ）
A ． a ≥1
B ． a ＞1且a ≠5
C ． a ≥1且a ≠5
D ． a ≠5
二．填空题
9.方程x(x+4)=8x+12的一般形式是 ,一次项为 .
10．某年一月我国南方发生禽流感的养鸡场100家，后来经过二、三月份的传染共有264家被感染，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出方程是 ．
11.关于x 的一元二次方程012=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
12.请给出c 的一个值,当c= 时,方程x 2
-3x+c=0无实数根.
13．（x ﹣4）2=18，则x= ．
三．解答题
14.用适当方法解方程.
（1）1222+=-x x x
（2）()()()83211=++-+x x x
（3）522=-x x
（4）()()3332-=-x x x
15．“万州古红桔”原名“万县红桔”，古称丹桔（以下简称为红桔），种植距今至少已有一千多年的历史，“玫瑰香橙”（源自意大利西西里岛塔罗科血橙，以下简称香橙）现已是万州柑橘发展的主推品种之一．某水果店老板在2017年11月份用15200元购进了400千克红桔和600千克香橙，已知香橙的每千克进价比红桔的每千克进价2倍还多4元．
（1）求11月份这两种水果的进价分别为每千克多少元？
（2）时下正值柑橘销售旺季，水果店老板决定在12月份继续购进这两种水果，但进入12月份，由于柑橘的大量上市，红桔和香橙的进价都有大幅下滑，红桔每千克的进价在11月
份的基础上下降了m%，香橙每千克的进价在11月份的基础上下降了m%，由于红桔和“玫瑰香橙”都深受库区人民欢迎，实际水果店老板在12月份购进的红桔数量比11月份增加了m%，香橙购进的数量比11月份增加了2m%，结果12月份所购进的这两种柑橘的总价与
11月份所购进的这两种柑橘的总价相同，求m 的值．
16.已知关于x 的方程()()01222
=-++-m x m x . 求证：（1）方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.
17. 已知关于x 的方程x 2-5x-m 2-2m-7=0.
(1)若此方程的一个根为-1,求m 的值;
(2)求证:无论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
答案
一．选择题
1． D ．
2. D
3. B.
4． C ．
5. C
6. D.
7． A ．
8. A
二．填空题
9. x 2-4x-12=0 -4x
10． 100（1+x ）+100（1+x ）2=264．
11. k ＜4
1且0≠k ； 12. 3(答案不唯一)
13． 10或﹣2．
三．解答题
14.（1）52,5221-=+=x x
（2）1,321=-=x x
（3）61,6121-=+=x x
（4）3
2,321==x x 15． 解：（1）设11月份红桔的进价为每千克x 元，香橙的进价为每千克y 元，依题意有
，
解得．
答：11月份红桔的进价为每千克8元，香橙的进价为每千克20元；
（2）依题意有
8（1﹣m%）×400（1+m%）+20（1﹣m%）×600（1+2m%）=15200，
解得m 1=0（舍去），m 2=49.6．
故m 的值为49.6．
16. （1）证明：∵△=（m+2） 2 -4（2m-1）=（m-2） 2 +4，
∴在实数范围内，m 无论取何值，（m-2） 2 +4＞0，即△＞0，
∴关于x 的方程x 2 -（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得
1 2 -1×（m+2）+（2m-1）=0，
解得，m=2，
则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为
；
该直角三角形的周长为1+3+ =4+ ； ②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1+3+ =4+ ．
17.
(1)解:把x=-1代入x 2-5x-m 2-2m-7=0,
得1+5-m2-2m-7=0,
解得m1=m2=-1,
所以m的值为-1.
(2)证明:Δ=b2-4ac=(-5)2-4(-m2-2m-7)=4(m+1)2+49. 因为4(m+1)2≥0,
所以4(m+1)2+49>0,
即Δ>0,
所以无论m取何实数,方程都有两个不相等的实数根.
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元测试题（含答案）
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．下列方程中，是一元二次方程的有( )
①x 2＝0； ②ax 2＋bx ＋c ＝0； ③3x 2＝x ； ④2x (x ＋4)－2x 2＝0；
⑤(x 2－1)2＝9； ⑥1x 2＋1x
－1＝0. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
2．将一元二次方程x 2－4x ＋3＝0配方可得( )
A ．(x －2)2＝7
B ．(x －2)2＝1
C ．(x ＋2)2＝1
D ．(x ＋2)2＝2
3．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有一个解为x ＝－1，则另一个解为( )
A ．1
B ．－3
C ．3
D ．4
4．已知方程kx 2＋4x ＋4＝0有实数根，则k 的取值范围是( )
A ．k ≤1
B ．k ≥－1
C ．k ≤1且k ≠0
D ．k ＜－1
5．若一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2－13x ＋36＝0的根，则这个三角形的周长为( )
A ．13
B ．15
C ．18
D ．13或18
6．小红按某种规律写出4个方程：①x 2＋x ＋2＝0；②x 2＋2x ＋3＝0；③x 2＋3x ＋4＝0；④x 2＋4x ＋5＝0.按此规律，第五个方程的两个根为( )
A ．－2，3
B ．2，－3
C ．－2，－3
D ．2，3
7．若关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋p ＝0(p ≠0)的两个不相等的实数根分别为a 和b ，
且a 2－ab ＋b 2＝18，则a b ＋b a
的值是( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－5
8．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年利润的年平均增长率为x ，则可列方程为( )
A ．300(1＋x )＝507
B ．300(1＋x )2＝507
C ．300(1＋x )＋300(1＋x )2＝507
D ．300＋300(1＋x )＋300(1＋x )2＝507
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．把方程(2x ＋1)(x －2)＝5－3x 整理成一般形式得____________，其中一次项系数为______．
10．若(m ＋1)x |m －1|＋5x －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为________．
11．关于x 的方程kx 2－4x －4＝0有两个不相等的实数根，则k 的最小整数值为________．
12．关于x 的一元二次方程x 2＋(a 2－2a )x ＋a －1＝0的两个实数根互为相反数，则a 的值为________．
13．为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x 米，根据题意，可列方程为________________．
14．小明发明了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b )进入其中时，会得到一个新的实数：a 2＋b －1，例如把(3，－2)放入其中，就会得到32＋(－2)－1＝6.现将实数对(m ，－2m )放入
其中，得到实数2，则m ＝________．
三、解答题(共44分)
15．(9分)用适当的方法解下列方程：
(1)12
(x ＋1)2－6＝0；
(2)x 2＋25x ＋2＝0；
(3)2x (2－x )＝3(x －2)．
16．(8分)已知关于x 的一元二次方程(x －3)(x －2)＝p (p ＋1)．
(1)求证：无论p 取何值，此方程总有两个实数根；
(2)若原方程的两个根分别为x 1，x 2，且满足x 12＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1，求p 的值．
17．(8分)如图21，在直角墙角AOB (OA ⊥OB ，且OA ，OB 长度不限)中，要砌20 m 长的墙(即AC ＋BC ＝20 m)，与直角墙角AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC 的
面积为96 m2.
(1)求该地面矩形的长；
(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖，单价分别为50元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，则用哪一种规格的地板砖费用较少？
图21
18．(8分)某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元/件的价格销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销量，决定降价销售，根据市场调查发现，该T恤的单价每降低1元/件，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元/件，设第二个月单价降低x元/件．
(1)填表(不需要化简)：
(2)
19．(11分)如图22所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点Q 从点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动，点P从点B开始沿BC边以2 cm/s的速
度向点C移动，如果点Q，P分别从点A，B同时出发，当一动点运动到终点时，另一动点也随之停止运动．
(1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?
(2)几秒后，PQ的长度等于210 cm?
(3)在(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？试说明理由．
图22
答案
1．A 2．B
3．C [解析] 设方程的另一个解为x 1.根据题意，得－1＋x 1＝2，解得x 1＝3.
4．A [解析] 当k ＝0时，方程为一元一次方程4x ＋4＝0，有唯一实数根；当k ≠0时，方程是一元二次方程．∵方程有实数根，∴根的判别式b 2－4ac ＝16－16k ≥0，即k ≤1且k ≠0.综上所述k 的取值范围是k ≤1.
5．A
6．C [解析] 根据小红写出的4个方程，发现其规律是第n 个方程是x 2＋nx ＋(n ＋1)＝0，所以第五个方程是x 2＋5x ＋6＝0，即(x ＋2)(x ＋3)＝0，则x ＋2＝0或x ＋3＝0，∴x 1＝－2，x 2＝－3.
7．D [解析] ∵a ，b 为方程x 2－3x ＋p ＝0(p ≠0)的两个不相等的实数根， ∴a ＋b ＝3，ab ＝p .
∵a 2－ab ＋b 2＝(a ＋b )2－3ab ＝32－3p ＝18，
∴p ＝－3.
当p ＝－3时，b 2－4ac ＝(－3)2－4p ＝9＋12＝21＞0，∴p ＝－3符合题意．
∴a b ＋b a ＝（a ＋b ）2－2ab ab ＝（a ＋b ）2
ab －2＝32－3
－2＝－5. 故选D.
8．B 9.2x 2－7＝0 0 10．3
11．1 [解析] ∵关于x 的方程kx 2－4x －4＝0有两个不相等的实数根，∴k ≠0且b 2－4ac ＞0，即k ≠0且16＋16k ＞0，解得k ＞－1且k ≠0，∴k 的最小整数值为1.
12．0 [解析] ∵方程x 2＋(a 2－2a )x ＋a －1＝0的两个实数根互为相反数， ∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.
当a ＝2时，方程为x 2＋1＝0，该方程无实数根，舍去，∴a ＝0. 13．x (x ＋40)＝1200
14．3或－1 [解析] 把实数对(m ，－2m )代入a 2＋b －1＝2中，得m 2－2m －1＝2. 移项，得m 2－2m －3＝0.
因式分解，得(m －3)(m ＋1)＝0. 解得m 1＝3，m 2＝－1.
15．解：(1)整理，得(x ＋1)2＝12，
开平方，得x ＋1＝±2 3，
所以x 1＝－1＋2 3，x 2＝－1－2 3. (2)因为a ＝1，b ＝2 5，c ＝2， 所以b 2－4ac ＝12>0，
代入公式，得x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－2 5±2 3
2＝－5±3，
所以原方程的解为x 1＝－5＋ 3，x 2＝－5－ 3.
(3)移项，得3(x －2)＋2x (x －2)＝0， 即(3＋2x )(x －2)＝0，
所以x －2＝0或2x ＋3＝0，所以x 1＝2，x 2＝－3
2
.
16．解：(1)证明：原方程可变形为x 2－5x ＋6－p 2－p ＝0.
∵b 2－4ac ＝(－5)2－4(6－p 2－p )＝25－24＋4p 2＋4p ＝4p 2＋4p ＋1＝(2p ＋1)2≥0， ∴无论p 取何值，此方程总有两个实数根． (2)∵原方程的两个根分别为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝6－p 2－p . 又∵x 12＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝3p 2＋1， ∴52－3(6－p 2－p )＝3p 2＋1， ∴25－18＋3p 2＋3p ＝3p 2＋1， ∴3p ＝－6，
∴p ＝－2.
17．解：(1)设AC ＝x m ，则BC ＝(20－x )m. 由题意，得x (20－x )＝96， 即x 2－20x ＋96＝0， ∴(x －12)(x －8)＝0，
解得x ＝12或x ＝8.
当AC ＝12 m 时，BC ＝8 m ，AC 为矩形的长，此时矩形的长为12 m. 当AC ＝8 m 时，BC ＝12 m ，BC 为矩形的长，此时矩形的长为12 m. 答：该地面矩形的长为12 m.
(2)①若选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖，则 120.8×8
0.8
＝15×10＝150(块)， 150×50＝7500(元)；
②若选用规格为1.00×1.00(单位：m)的地板砖，则 121×8
1
＝96(块)， 96×80＝7680(元)． ∵7500＜7680，
∴选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖费用较少．
18．[解析] (1)第二个月的单价＝第一个月的单价－降低的价格，销售量＝200＋10×降低的单价；清仓时的销售量＝800－第一个月的销售量－第二个月的销售量．
(2)等量关系为总售价－总进价＝9000元．把相关数值代入计算即可． 解：(1)填表如下．
即x 2－20x ＋100＝0，解得x 1＝x 2＝10. 当x ＝10时，80－x ＝80－10＝70.
答：第二个月的单价应为70元/件．
[点评] 本题考查一元二次方程的应用．用列表格的方法得到第二个月的单价和销售量。