湖南省株洲市明阳学校高二数学理联考试题含解析

湖南省株洲市明阳学校高二数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 各项均为正数的等比数列的前n项和为S n，若S n=2,S3n=14,则S4n等于（）
（A）80（B）30 (C)26 (D)16
参考答案：
B
2. 若坐标原点到抛物线的准线的距离为2，则（）
A．8 B．±8 C. D．
参考答案：
D
因，故由题设可得，所以，应选答案D。

3. 与函数y＝|x|为同一函数的是( )
参考答案：
B
略
4. 将标号为1，2，3的3个不同小球，随机放入5个不同的盒子A，B，C，D，E中，恰有两个小球放入同一个盒子的概率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】先求得基本事件的总数为，然后计算出恰有两个小球放入同一个盒子包含的基本事件个数，根据古典概型概率计算公式计算出所求的概率.
【详解】解：将标号为1，2，3的3个不同小球，随机放入5个不同的盒子A，B，C，D，E中，
基本事件总数，
恰有两个小球放入同一个盒子包含的基本事件个数，
∴恰有两个小球放入同一个盒子的概率．
故选：B．
【点睛】本小题主要考查分步计算原理，考查古典概型概率计算，属于基础题.
5. 如左图已知异面线段, 线段中点的为,且,则异面线段所在直线所成的角为
（）
A B C.
D.
参考答案：
D
6. 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为
且；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是( )
A. 乙有四场比赛获得第三名
B. 每场比赛第一名得分为
C. 甲可能有一场比赛获得第二名
D. 丙可能有一场比赛获得第一名
参考答案：
A
【分析】
先计算总分，推断出，再根据正整数把计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案.
【详解】由题可知,且都是正整数
当时，甲最多可以得到24分，不符合题意
当时，，不满足
推断出，
最后得出结论:
甲5个项目得第一,1个项目得第三
乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三
丙5个项目得第二,1个项目得第三,
所以A选项是正确的.
【点睛】本题考查了逻辑推理,通过大小关系首先确定的值是解题的关键,意在考查学生的逻辑推断能力.
7. 由直线y＝2x及曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积为()
A．2 B．9－2 C. D.
参考答案：
D
注意到直线y＝2x与曲线y＝3－x2的交点A，B的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结
选D.8. 已知不等式组表示的平面区域的面积等于3，则a的值为（）
A．﹣1 B．C．2 D．
参考答案：
D
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的区域，利用的平面区域的面积等于3，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
∵ax﹣y+2=0过定点A（0，2），
∴ax﹣y+2≥0表示直线ax﹣y+2=0的下方，
∴a＞0，则由图象可知C（2，0），
由，解得，
即B（2，2+2a），
则△ABC的面积S=，
故a=，
故选：D．
9. 已知三点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1），则过点A的直线l与线段BC有公共点时（公共
点包含公共点），直线l的斜率k l的取值范围是（）
A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
参考答案：
B
【考点】直线的斜率．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；直线与圆．
【分析】求出直线AC的斜率k AC=1，直线AB的斜率k AB=﹣1，作出图象，数形结合能求出直线l的斜率k l的取值范围．
【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴，交x轴于D（2，0），
∵三点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1），
直线AC的斜率k AC==1，
直线AB的斜率k AB==﹣1，
∴结合图象，得：
直线l的斜率k l的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
故选：B．【点评】本题考查直线的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率公式和数形结合思想的合理运用．
10. 已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线离心率=( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若x，y满足不等式，则z=2x+y
的最小值为．
参考答案：
﹣4
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A （﹣1，﹣2），
由z=2x+y ，得y=﹣2x+z ，
由图可知，当直线y=﹣2x+z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为﹣4． 故答案为：﹣4．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 12. 命题：“若
，则
”是
▲ 命题（填真、假）.
参考答案：
假 略
13. 已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A -BCD 的外接球，BC =3，，点E 在线段BD 上，且BD =3BE ，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取
值范围是__.
参考答案：
【分析】
设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，可得R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．
【详解】如图，
设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ， 连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，
则
，AO 1
在Rt △OO 1D 中，R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2， ∵BD ＝3BE ，∴DE ＝2
在△DEO 1中，O 1E
∴
过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，
此时截面圆的半径为，最小面积为2π．
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． 故答案为：[2π，4π]
【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时
取最值，属于中档题．
14. 若直线
与曲线 （为参数）没有公共点，则实数的取
值范围是____________． 参考答案：
或
曲线的普通方程是
，圆心
到直线
的距离
，令
，得或．
15. 已知圆
：
+
=1，圆
与圆
关于直线
对称，则圆
的方程
为
．
参考答案：
16.
函数
在
时有极值
，那么
的值分别为
参考答案：
略
17. 已知中心在原点且焦点在x 轴的双曲线C ，过点P (2，)且离心率为2，则双曲线C 的标准方程
为____________．
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 若两抛物线
和
的一个交点P 的切线互相垂直，求证抛物线
过定点Q ，并求点Q 的坐标。

参考答案： 解：设
又
①
②
所以过点。

略
19. 如图，在底面是矩形的四棱锥P ﹣ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=2，BC=2，E 是PD 的中点． （1）求证：平面PDC⊥平面PAD ；
（2）求二面角E ﹣AC ﹣D 所成平面角的余弦值．
参考答案：
【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定． 【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）根据PA⊥平面ABCD ，得到PA⊥CD，结合AD⊥CD 可得CD⊥平面PAD ，因为CD 是平面PDC 内的直线，所以平面PDC⊥平面PAD ；
（2）取AD 中点O ，过O 作OF⊥AC 于F ，连接EO 、EF ，利用线面垂直的判定与性质，可证出∠EFO 就
是二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角．在Rt△EOF 中，分别算出OF 和EF 的长，可得∠EFO 的余弦值，即为所求二面角的平面角的余弦值．
【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，∴PA⊥CD
∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线，∴CD⊥平面PAD ∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD；
（2）取AD中点O，连接EO，
∵△PAD中，EO是中位线，∴EO∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，∴EO⊥AC
过O作OF⊥AC于F，连接EF，则
∵EO、OF是平面OEF内的相交直线，
∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC
∴∠EFO就是二面角E﹣AC﹣D的平面角
由PA=2，得EO=1，
在Rt△ADC中，设AC边上的高为h，则AD×DC=AC×h，得h=∵O是AD的中点，∴OF=×=
∵EO=1，∴Rt△EOF中，EF==
∴cos∠EFO==【点评】本题给出特殊的四棱锥，叫我们证明面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了平面与平面所成角的求法和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
20. 已知椭圆E：(a>)的离心率e=．
(1)求椭圆E的方程；
(2)斜率k=1的直线交椭圆于A、B，交y轴于T(0，t)，
当弦|AB|=，求t的值。

参考答案：
(1)由e==得：a=2 则椭圆方程为；
(2)设直线为y=x+t，代入椭圆方程得：
化简得：，∴，
∴|AB|=，解得，则t=±1
21. 已知是奇函数
（Ⅰ）求的值，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，判断在上的单调性，并给出证明.
参考答案：
解:（Ⅰ）是奇函数,
,即
则，即，--------------------3分
当时，，所以---------------4分
定义域为：-------------------------6分
（Ⅱ）在上任取，并且，则
---------8分
又
，又，-----10分
所以，所以在上是单调递减函数-----12分
略
22. 椭圆一个焦点为，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程式．
（Ⅱ）定点，为椭圆上的动点，求的最大值；并求出取最大值时点的坐标求．
（Ⅲ）定直线，为椭圆上的动点，证明点到的距离与到定直线的距离的比值为常数，并求出此常数值．
参考答案：见解析
解：（Ⅰ）根据题意得，，
∴，，，
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）设点坐标为，则，
，
∵，
∴当时，取得最大值．
∴最大值为，此时点坐标为．
（Ⅲ）设点，则，
点到的距离为：，
，
到直线的距离为，
∵，
故到的距离与到定直线的距离之比为常数．。