天津市梅江中学九年级数学下册：26.1.5用待定系数法求
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26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式
回顾：用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求 这个一次函数的解析式。
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,
因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），
所以
k+b=3
-2k+b=-12
解得 k=3，b=-6
一次函数的解析式为y=3x-6.
过程较繁杂，
应用
例3 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解： 设抛物线为y=a(x-20)2＋16
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
评价
通过利用条件中的顶 点和过原点选用顶点 式求解， 方法比较灵活
分析 ：已知一般三点，用 待定系数法设为一般式求 其解析式.
y
·5 ·C
·
·
·
·
··
-3 –2
–·1 o
B·
1
·
2
x
·
· A · ·-3
顶点式：y a(x h)2 k
例2 已知抛物线的顶点为 D(-1，-4)，又经过点 C(2，5)，求其解析式。
分析：设抛物线的解析式为
顶点式：y a(x 1)2 4 ，
·
–·1 o
B·
1
·
2
x
·
·
· ·-3
A -4
已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当时， 其图象如图所示。求抛物线的解析式，写出顶点 坐标。
y 2A
B 45x
-3
C
如图，在直角坐标系中，以点 A( 3, 0) 为圆心，以 2 3
为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、
E．
以水面所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系， 求该水渠横截面抛物线的解析式．
y
B
O
x
A
用待定系数法求二次函数的解析式
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c
由已知得：
a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
解方程得：a=2, b=-3, c=5 因此：所求二次函数是：
y=2x2-3x+5
应用
例3 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知 抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
可得方程组
评价 通过利用给定的条件
列出a、b、c的三元 一次方程组，求出a、 b、c的值，从而确定 函数的解析式．
解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c a-b+c=0 a+b+c=0 c=1
解得 a=-1, b=0, c=1
故所求的抛物线解析式为 y=－x2+1
课堂练习
1、一个二次函数，当自变量x 0时，函数值y 1， 当x 2与 1 时，y 0.求这个二次函数的解析式。
2 2、一个二次函数的图象经过（0，0），（1，1）， （1，9）三点，求这个二次函数的解析式。
·5 ··C
·
·
·
·
A ·· ·
-3 –2
–·1 o
B··
1
·
2
x
·
· · ·-3
充分利用条件 合理选用以上三式
例4 已知抛物线的顶点为 A(-1，-4)，又知它与x 轴 的两个交点B、C间的距离 为4，求其解析式。
分析：先求出B、C两点 的坐标，然后选用顶点 式或交点式求解。
y
·5
·
·
·
C
··
-3 –2
用待定系数法求二次函数的解析式
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是
求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的
坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出 a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数的解析式
例2 已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
课堂小结
求二次函数解析式的一般方法：
已知图象上三点或三对的对应值，
y
通常选择一般式。
已知图象的顶点坐标和图像上任意一点，
o
x 通常选择顶点式。
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，
一般式：
例1 求经过有三点 A（-2，-3），B（1，0）， C（2，5）的二次函数的解析式.
若抛物线
y 1 x2 bx c 3
经过C、B两点，求抛
物线的解析式，并判断点D是否在该抛物线上． y
E
B OA D
Cx
桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的 风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作 是一个经过Ａ、Ｃ、Ｂ三点的抛物线，以桥面的水 平线为Ｘ轴，经过抛物线的顶点Ｃ与Ｘ轴垂直的直 线为Ｙ轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面 的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、Ｃ Ｏ、ＢＥ等表示桥柱）ＣＯ＝１米，ＦＧ＝２米
1.求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。 2.求柱子ＡＤ的高度。
如图，现有一横截面是抛物线的水渠．一次，水渠管 理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的点，另一 端露出水面并靠在水渠内侧的点，发现标杆有1m浸没在 水中，露出水面部分的标杆与水面成30°的夹角（标杆 与水渠的横截面在同一平面内）．
再根据C点坐标求出a的值。
y
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B·
1
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x
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A · ·-3
-4
交点式：y a(x x1)( x x2 )
y
例3 已知抛物线与x轴的两个交 点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过 点C(2，5)，求其解析式。
分析：设抛物线的解析式为 交点式：y a( x 3)( x 1) ， 再根据C点坐标求出a的值。
回顾：用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求 这个一次函数的解析式。
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,
因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），
所以
k+b=3
-2k+b=-12
解得 k=3，b=-6
一次函数的解析式为y=3x-6.
过程较繁杂，
应用
例3 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解： 设抛物线为y=a(x-20)2＋16
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
评价
通过利用条件中的顶 点和过原点选用顶点 式求解， 方法比较灵活
分析 ：已知一般三点，用 待定系数法设为一般式求 其解析式.
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顶点式：y a(x h)2 k
例2 已知抛物线的顶点为 D(-1，-4)，又经过点 C(2，5)，求其解析式。
分析：设抛物线的解析式为
顶点式：y a(x 1)2 4 ，
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已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当时， 其图象如图所示。求抛物线的解析式，写出顶点 坐标。
y 2A
B 45x
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如图，在直角坐标系中，以点 A( 3, 0) 为圆心，以 2 3
为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、
E．
以水面所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系， 求该水渠横截面抛物线的解析式．
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用待定系数法求二次函数的解析式
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c
由已知得：
a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
解方程得：a=2, b=-3, c=5 因此：所求二次函数是：
y=2x2-3x+5
应用
例3 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知 抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
可得方程组
评价 通过利用给定的条件
列出a、b、c的三元 一次方程组，求出a、 b、c的值，从而确定 函数的解析式．
解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c a-b+c=0 a+b+c=0 c=1
解得 a=-1, b=0, c=1
故所求的抛物线解析式为 y=－x2+1
课堂练习
1、一个二次函数，当自变量x 0时，函数值y 1， 当x 2与 1 时，y 0.求这个二次函数的解析式。
2 2、一个二次函数的图象经过（0，0），（1，1）， （1，9）三点，求这个二次函数的解析式。
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充分利用条件 合理选用以上三式
例4 已知抛物线的顶点为 A(-1，-4)，又知它与x 轴 的两个交点B、C间的距离 为4，求其解析式。
分析：先求出B、C两点 的坐标，然后选用顶点 式或交点式求解。
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用待定系数法求二次函数的解析式
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是
求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的
坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出 a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数的解析式
例2 已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
课堂小结
求二次函数解析式的一般方法：
已知图象上三点或三对的对应值，
y
通常选择一般式。
已知图象的顶点坐标和图像上任意一点，
o
x 通常选择顶点式。
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，
一般式：
例1 求经过有三点 A（-2，-3），B（1，0）， C（2，5）的二次函数的解析式.
若抛物线
y 1 x2 bx c 3
经过C、B两点，求抛
物线的解析式，并判断点D是否在该抛物线上． y
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桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的 风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作 是一个经过Ａ、Ｃ、Ｂ三点的抛物线，以桥面的水 平线为Ｘ轴，经过抛物线的顶点Ｃ与Ｘ轴垂直的直 线为Ｙ轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面 的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、Ｃ Ｏ、ＢＥ等表示桥柱）ＣＯ＝１米，ＦＧ＝２米
1.求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。 2.求柱子ＡＤ的高度。
如图，现有一横截面是抛物线的水渠．一次，水渠管 理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的点，另一 端露出水面并靠在水渠内侧的点，发现标杆有1m浸没在 水中，露出水面部分的标杆与水面成30°的夹角（标杆 与水渠的横截面在同一平面内）．
再根据C点坐标求出a的值。
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交点式：y a(x x1)( x x2 )
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例3 已知抛物线与x轴的两个交 点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过 点C(2，5)，求其解析式。
分析：设抛物线的解析式为 交点式：y a( x 3)( x 1) ， 再根据C点坐标求出a的值。