数学七年级上册 期末试卷(基础篇)(Word版 含解析)

数学七年级上册期末试卷（基础篇）（Word版含解析）
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O
（1）如图①，若∠AOB=155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数.
（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论.
（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由.
【答案】（1）解：∵
而
同理：
∴
∴
（2）解：∠AOD与∠BOC的大小关系为：∠AOB与∠DOC存在的数量关系为：
（3）解：仍然成立.
理由如下：∵
又∵
∴
【解析】【分析】（1）先计算出
再根据
（2）根据(1)中得出的度数直接写出结论即可.（3）根据
即可得到利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°．
2．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝________；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．
【答案】（1）25°
（2）解：∠BOC=65°，OC平分∠MOB
∠MOB=2∠BOC=130°
∠BON=∠MOB-∠MON=130°-90°=40°
∠CON=∠COB-∠BON=65°-40°=25°
（3）解：∠NOC= ∠AOM ∠AOM=4∠NOC ∠BOC=65°
∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-65°=115°
∠MON=90°
∠AOM+∠NOC=∠AOC-∠MON=115°-90°=25°
4∠NOC+∠NOC=25°
∠NOC=5°
∠NOB=∠NOC+∠BOC=70°
【解析】【解答】解：（1）∠MON=90，∠BOC=65°
∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°
【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数；（2）根据角平分线的性质，由∠BOC=65°，可以求得∠BOM的度数，然后由∠NOM-90°，可得∠BON的度
数，从而得解；（3）由∠BOC=65°，∠NOM=90°，∠NOC= ∠AOM，从而可求得∠NOC的度数，然后由∠BOC=65°，从而得解.
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（3，0），线段AB平移后对应的线段为CD，点C在x轴的负半轴上，B、C两点之间的距离为8．
（1）求点D的坐标；
（2）如图（1），求△ACD的面积；
（3）如图（2），∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，探求∠AMC的度数并证明你的结论．
【答案】（1）解：∵B（3，0），
∴OB＝3，
∵BC＝8，
∴OC＝5，
∴C（﹣5，0），
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴D（﹣2，﹣4）
（2）解：如图（1），连接OD，
∴S△ACD＝S△ACO+S△DCO﹣S△AOD＝﹣＝16
（3）解：∠M＝45°，理由是：
如图（2），连接AC，
∵AB∥CD，
∴∠DCB＝∠ABO，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB+∠DCB＝90°，
∵∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，
∴∠MCB＝，∠OAM＝，
∴∠MCB+∠OAM＝＝45°，
△ACO中，∠AOC＝∠ACO+∠OAC＝90°，
△ACM中，∠M+∠ACM+∠CAM＝180°，
∴∠M+∠MCB+∠ACO+∠OAC+∠OAM＝180°，
∴∠M＝180°﹣90°﹣45°＝45°．
【解析】【分析】（1）利用B的坐标，可得OB=3，从而求出OC=5，利用平移的性质了求出点D的坐标.
（2）如图（1），连接OD，由S△ACD=S△ACO+S△DCO+S△AOD，利用三角形的面积公式计算即得.
（3）连接AC，利用平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得∠OAB+∠DCB＝90°，
利用角平分线的定义可得∠MCB+∠OAM＝＝45°，根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠M的度数.
4．点在线段上， .
（1）如图1，，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动；
①在还未到达点时，求的值；
②当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值；
（2）若是直线上一点，且 .求的值.
【答案】（1）解：①AP=AC-PC，CQ=CB-QB，
∵BC=2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s，
∴QB=2PC，
∴CQ=2AC-2PC=2AP，
∴
②设运动秒
，
分两种情况
A: 在右侧，
，分别是，的中点
，，
∴
B: 在左侧，
，分别是，的中点
，，
∴
（2）解：∵BC=2AC.
设AC=x，则BC=2x，
∴AB=3x，
①当D在A点左侧时，
|AD-BD|=BD-AD=AB= CD，
∴CD=6x，
∴；
②当D在AC之间时，
|AD-BD|=BD-AD= CD，
∴2x+CD-x+CD= CD，
x=- CD（不成立），
③当D在BC之间时，
|AD-BD|=AD-BD= CD，
∴x+CD-2x+CD= CD，
CD= x，
∴；
|AD-BD|=BD-AD= CD，
∴2x-CD-x-CD= CD，
∴CD=
；
④当D在B的右侧时，
|AD-BD|=BD-AD= CD，
∴2x-CD-x-CD= CD，
CD=6x，
∴ .
综上所述，的值为或或或
【解析】【分析】（1）由线段的和差关系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；（2）设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x，D点分四种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②当D在AC之间时，③当D在BC之间时，④当D在B的右侧时求解即可.
5．已知：如图（1）∠AOB和∠COD共顶点O，OB和OD重合，OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB=α，∠COD=β．
（1）如图（2），若α=90°，β=30°，求∠MON；
（2）若将∠COD绕O逆时针旋转至图（3）的位置，求∠MON（用α、β表示）；
（3）如图（4），若α=2β，∠COD绕O逆时针旋转，转速为3°/秒，∠AOB绕O同时逆时针旋转，转速为1°/秒，（转到OC与OA共线时停止运动），且OE平分∠BOD，请判断∠COE与∠AOD的数量关系并说明理由．
【答案】（1）解：∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，α=90°，β=30°
∴∠MOB=∠AOB=45°
∠NOD=∠BOC=15°
∴∠MON=∠MOB+∠NOD=45°+15°=60°.
（2）解：设∠BOD=γ，∵∠MOD= = ，∠NOB= =
∴∠MON=∠MOD+∠NOB-∠DOB= + -γ=
（3）解：① 为定值，
设运动时间为t秒，则∠DOB=3t-t=2t，
∠DOE= ∠DOB=t，
∴∠COE=β+t，
∠AOD=α+2t，又∵α=2β，
∴∠AOD=2β+2t=2（β+t）．
∴
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，分别求出∠MOB和∠NOD，再根据∠MON=∠MOB+∠NOD，可求出∠MON的度数。

（2）设∠BOD=γ，利用角平分线的定义，分别表示出∠MOD和∠NOB，再利用∠MON=∠MOD+∠NOB-∠DOB，可求出结果。

（3）设运动时间为t秒，用含t的代数式分别表示出∠DOB、∠COE、∠AOD，再求出∠COE和∠AOD的比值。

6．已知直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F．
（1）如图1，若∠1=60°，求∠2，∠3的度数．
（2）若点P是平面内的一个动点，连结PE，PF，探索∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系．
①当点P在图（2）的位置时，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD请阅读下面的解答过程并填空（理由或数学式）
解：如图2，过点P作MN∥AB
则∠EPM=∠PEB（________）
∵AB∥CD（已知）MN∥AB（作图）
∴MN∥CD（________）
∴∠MPF=∠PFD （________）
∴________=∠PEB+∠PFD（等式的性质）
即：∠EPF=∠PEB+∠PFD
②拓展应用，当点P在图3的位置时，此时∠EPF=80°，∠PEB=156°，则∠PFD=________度．
③当点P在图4的位置时，请直接写出∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间关系________．【答案】（1）解：∵∠2=∠1，∠1=60°
∴∠2=60°，
∵AB∥CD
∴∠3=∠1=60°
（2）两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；∠EPM+∠MPF；124；∠EPF+∠PFD=∠PEB
【解析】【解答】（2）①如图2，过点P作MN∥AB，则∠EPM=∠PEB（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），MN∥AB，
∴MN∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠MPF=∠PFD（两直线平行，内错角相等）
∴∠EPM+∠MPF=∠PEB+∠PFD（等式的性质）
即∠EPF=∠PEB+∠PFD；
故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；∠EPM+∠MPF；
②过点P作PM∥AB，如图3所示：
则∠PEB+∠EPM=180°，∠MPF+∠PFD=180°，
∴∠PEB+∠EPM+∠MPF+∠PFD=180°+180°=360°，
即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°，
∴∠PFD=360°﹣80°﹣156°=124°；
故答案为：124；
③∠EPF+∠PFD=∠PEB．
故答案为：∠EPF+∠PFD=∠PEB．
【分析】（1）利用对顶角相等，可证∠1=∠2，可求出∠2的度数，再根据两直线平行，同位角相等，就可求出∠3的度数。

（2）① 利用两直线平行，内错角相等，可证∠EPM=∠PEB，再根据同平行于一条直线的两直线平行，可证得MN∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，可证得结论；②利用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可证∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°，代入计算可求出∩PFD的度数；③利用平行线的性质可证∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间关系。

7．点 O 是直线 AB上一点，∠COD 是直角，OE平分∠BOC．
（1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC 的度数；
②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）；
（2）将图1中的∠COD 绕点O按顺时针方向旋转至图2 所示位置．探究∠DOE 与∠AOC 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）解：①∵∠COD＝90°，∠DOE＝25°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣25°＝65°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝130°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°；
②∵∠COD＝90°，∠DOE＝α，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣α，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝180°﹣2α，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α
（2）解：∠DOE＝∠AOC，理由如下：
∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，
又∵OE平分∠BOC
∴∠COE＝∠BOC＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠AOC，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣∠AOC）＝∠AOC
【解析】【分析】（1）①由图可知∠COE=-∠DOE，而OE平分∠BOC，由角平分线的定义可得∠BOC=2∠COE，根据平角的意义可求得∠AOC的度数；
②结合①的结论可得∠BOC=2∠COE=2（-），所以∠AOC=-∠BOC，把∠BOC 代入计算即可求解；
（2）由互为余角的定义可得∠COE=-∠DOE，而OE平分∠BOC，由角平分线的定义可得∠BOC=2∠COE=2（-∠DOE），再由平角的意义可得∠AOC=-∠BOC，把∠BOC 代入计算即可求解。

8．如图1，是直线上的点，线段，点分别是线段的中点.
（1）求线段的长；
（2）若，点在直线上，，求线段的长；
（3）若，点在直线上，，请直接写出线段的长________ .（用含的式子表示）
【答案】（1）解：∵点分别是线段的中点，
∴，
∴
（2）解：由（1）知由，
当点在点左侧时，
，
当点在点右侧时，
；
∴OE的长为8cm或18cm.
（3）或或
【解析】【解答】解：（3）∵E为BC中点，
∴BE= ，
当点O在点A左边时，OE=16- +b，
当点O在线段AE上时，OE=16- -b，
当点O在线段BE上时，OE= -(16-b)=b+ -16，
当点O在B点右边时，OE=b+ -16，
故答案为：或或 .
【分析】（1）由中点的定义可得DC= AC，BE= BC，根据DE=DC+CE即可得答案；（2）由中点定义可求出BE的长，分别讨论点O在点A左边和右边两种情况，根据线段间的和差关系求出OE的长即可；（3）分别讨论点O在点A左边、线段AE上、线段BE上和点B 右边的情况，根据线段的和差关系即可得答案.
9．已知∠AOB=120°，∠COD=40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD(图中的角均大于0°且小于180°)
（1）如图1，求∠MON的度数；
（2）若OD与OB重合，OC从图2中的位置出发绕点O逆时针以每秒10°的速度旋转，同时OD从OB的位置出发绕点O顺时针以每秒5°的速度旋转，旋转时间为t秒
①当时，试确定∠BOM与∠AON的数量关系；
②当且时，若，则t=________.
【答案】（1）解：设
又 OM平分，ON平分
（2）解：①由题意将t分为以下两段：
当时，
此时有
当时，
此时有
综上，所求的与的数量关系为：
② 或或 .
【解析】【解答】（2）②根据图中的角均小于，需作以下几方面的讨论：
当OC恰好转到OA的位置时，；当OC与OD恰好转到共线的位置时，
，即；当OC与OD转到使OM与ON恰好共线的位置时，，即；当OC与OD恰好重合时，
，即，下面据此将t的取值范围逐一分段：
1）当时，
代入得：解得
2）当时，
代入得：解得（舍）
3）当时，
代入得：解得（舍）或
4）当时，
代入得：解得（舍）
5）当时，
代入得：解得
综上，所求的t的值为：或或 .
【分析】（1）设，则可得和，根据角平分线的定义得和，再根据即可得；（2）
①当时，由题意可得，可以发现当时，大于，因此需要将t分成和两段，分别计算，以保证其符合题意小于，从而确定在两段内和的数量关系；②根据图中的角均小于，首先要分OC是否转过OA；再分OC与OD是否转到共线的位置；然后分角平分线OM与ON是否共线，即是否大于；最后分OC与OD是否重合；计算各个情形的下和，代入
即可计算出t的值.
10．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系________；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
【答案】（1）∠A+∠C=90°；
（2）解：如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C；
（3）解：如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）可得∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则
∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α=90°，②
由①②联立方程组，解得α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
11．如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点(与点A不重合)，CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．
（1）求∠ECF的度数；
（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
（3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．
【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°－40°=140°
∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，∴∠ACP=2∠ECP，∠DCP=2∠PCF
∴∠ECF= ∠ACD=70°
（2）解：不变.数量关系为：∠APC=2∠AFC．
∵AB∥CD，∴∠AFC=∠DCF，∠APC=∠DCP
∵CF平分∠DCP，∴∠DCP=2∠DCF，∴∠APC=2∠AFC
（3）解：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD
当∠AEC=∠ACF时，则有∠ECD=∠ACF，∴∠ACE=∠DCF
∴∠PCD=∠ACD=70°
∴∠APC=∠PCD=70°
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质，得出∠ACD=120°，再根据CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP，即可得出∠ECF的度数；（2）根据平行线的性质得出∠APC=∠PCD，∠AFC=∠FCD，再根据CF平分∠PCD，即可得到∠PCD=2∠FCD进而得出∠APC=2∠AFC；（3）根据∠AEC=∠ECD，∠AEC=∠ACF，得出∠ECD=∠ACF，进而得到∠ACE=∠FCD，根据∠ECF=70°，∠ACD=140°，可求得∠APC的度数．
12．
（1）如图，已知C为线段AB上的一点，AC=60cm，M、N分别为AB、BC的中点.
①若BC=20cm，则MN=________cm；
②若BC=acm，则MN=________cm.
（2）如图，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC=60°，OM平分∠AOB，射线ON在∠BOC 内，且∠MON=30°，则ON平分∠BOC吗？并说明理由.
【答案】（1）30；30
（2）解：平分
理由：∵OM分别平分∠AOB，
∴∠BOM= ∠AOB
= （∠AOC+∠BOC）
=30°+ ∠BOC.
又∵∠BOM=∠MON+∠BON=30°+∠BON，
∴∠BON= ∠BOC.
∴ON平分∠BOC.
【解析】【解答】解：（1）①∵BC=20，N为BC中点，
∴BN= BC=10.
又∵M为AB中点，
∴MB= AB=40.
∴MN=MB-BN=40-10=30.
故答案为30；
②当BC=a时，AB=60+a，
BN= a，MB= AB=30+ a，
∴MN=MB-BN=30.
故答案为30；
【分析】（1）①由已知得到AB=80，根据线段中点求出MB和BN的值，计算MB-BN即可得结果；②分别用a表示出BN、MB，根据MN=MB-BN计算即可；（2）根据OM分别平分∠AOB，用∠BOC表示出∠BOM，再用∠BON表示出∠BOM，两个式子进行比较即可得出结论.
13．如图1，，点，分别在，上，射线绕点顺
时针旋转至便立即逆时针回转，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转.射线转动的速度是每秒度，射线转动的速度是每秒度.
（1）直接写出的大小为________；
（2）射线、转动后对应的射线分别为、，射线交直线于点，若射线比射线先转动秒，设射线转动的时间为秒，求为多少时，直线直线？
（3）如图2，若射线、同时转动秒，转动的两条射线交于点，作，点在上，请探究与的数量关系.
【答案】（1）60°
（2）解：设灯转动t秒，直线直线，
①当时，如图，
，
，
，
，
，
，
解得；
②当时，如图，
，，
，
，，解得，
综上所述，当秒或秒时直线；
（3）解：和关系不会变化，
理由：设射线AM转动时间为m秒，
作，，，
，，
，
，，
，而，
，
，
，
，
即，
和关系不变.
【解析】【解答】解：（1）∵
，
∴，
∴（两直线平行，内错角相等）
故结果为：；
【分析】(1)根据得到，再根据直线平行的性质即可得到答案；(2)设灯转动t秒，直线直线，分情况讨论重合前平行、重合后平行即可得到答案；(3)根据补角的性质表示出，再根据三角形内角和即可表示出，即可得到答案；
14．如图，直线，点E、F分别是AB、CD上的动点（点E在点F的右侧）；点M 为线段EF上的一点，点N为射线FD上的一点，连接MN；
（1）如图1，若，，则 ________；
（2）作的角平分线MQ，且，求与之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，连接EN，且EN恰好平分，；求的度数.
【答案】（1）60°
（2）解：如图，
∵，
∴∠EMQ=∠AEF，
∵，AB∥CD，
∴MQ∥CD，
∴∠NMQ=∠MNF，
∵MQ平分∠EMN，
∴∠EMQ=∠NMQ，
∴ = ；
（3）解：设∠ENM=x，则∠MNF=2x，
∴∠ENF=3x，
∵AB∥MQ，
∴∠BEN=∠ENF=3x，
∵EN平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠BEN=6x，
∵∠AEF=∠MNF=2x，∠AEF+∠BEF=180°，
∴2x+6x=180°，
解得x=22.5°，
∴，∠EFN=∠AEF=∠MNF=45°，
∴∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.
【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∵ ,
∴∠EFD=30°，
∵，
∴∠NMF=90°，
∴∠MNF=180°-∠NMF-∠EFD=60°，
故答案为：60°；
【分析】（1）根据AB∥CD得到∠BEF+∠EFD=180°，由求出∠EFD=30°，
根据得到∠NMF=90°，再利用三角形的内角和定理得到∠MNF=180°-∠NMF-
∠EFD=60°；（2）根据得到∠EMQ=∠AEF，由，AB∥CD推出MQ∥CD，证得∠NMQ=∠MNF，根据角平分线的性质得到∠EMQ=∠NMQ，即可得到 =
；（3）设∠ENM=x，则∠MNF=2x，根据AB∥MQ得到∠BEN=∠ENF=3x，由EN平分∠BEF，证得∠BEF=2∠BEN=6x，再根据∠AEF=∠MNF=2x，∠AEF+∠BEF=180°，列式求出x=22.5°，即可求出∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.
15．学习千万条，思考第一条。

请你用本学期所学知识探究以下问题：
（1）已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，并在
内部作射线．
①如图1，三角板的一边与射线重合，且，若以点为观察中心，
射线表示正北方向，求射线表示的方向；
②如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且
，求的度数.
（2）已知点不在同一条直线上，，平分，平分，用含的式子表示的大小.
【答案】（1）解：①∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，
∴射线OC表示的方向为北偏东60°
②∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴4∠NOC＝90°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON
＝180°﹣90°﹣45°
＝45°
（2）解：①如图1：
∵∠AOB＝α，∠BOC＝β
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB＝α，∠CON＝∠BON＝∠COB＝β，
∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝；
②如图2，
∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝；
③如图3，
∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝．…
∴∠MON为或或．
【解析】【分析】（1）①根据∠MOC=∠AOC-∠AOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向；②根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（2）分射线OC在∠AOB 内部和外部两种情况讨论即可．。