吉林省四校协作体高二数学下学期期中试题理新人教A版

吉林省四校协作体 高二下学期期中考试数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1.已知复数z ==z （ ） A. 14 B. 1
2
C. 1
D. 2
2．通过抛物线21
2
x y =
的核心,且斜率为1-的直线方程为（ ） A ．161610x y +-= B ．2210x y +-= C ．4410x y +-=
D ．8810x y +-=
3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）
A ． 双曲线
B 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线
4．若抛物线2
8y x =上一点P 到其核心的距离为9，则点P 的坐标为（ ）
A ． (7,
B 。

(14,
C 。

(7,±
D (7,-±
5．直线b x y +=与抛物线y x 22
=交于A 、B 两点（异于坐标原点O ），且OB OA ⊥，则b 的值为（ ）
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1 6．若19(0,2,
)8A ，5
(1,1,)8
B -，5(2,1,)8
C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a = ，则=z y x ::( )
A 2:3:(4)-
B 1:1:1
C －
2
1
:1:1 D 3:2:4 7．已知双曲线
22
1102
x y m m +=--的实轴在y 轴上且焦距为8，则双曲线的渐近线的方程为（ ）
A ．y =
B ．y x =
C ．3y x =±
D ．13y x =±
8．已知圆2
2
:(3)4O x y '-+=的圆心为O '，点()3,0A -，M 是圆上任意一点，
线段AM 的中垂线l 和直线O M '相交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为（ ）
A ．1822=+y x B.()01822
>=-x y x C.()01822>=-x y x D.18
2=+y x 9.设⎩⎨⎧∈--∈=],
2,1[,2],
1,1[,)(2x x x x x f ，则=⎰-21
)(dx x f （ ）
A .
6
7 B. 65 C. 54 D. 43
10.将函数x y sin =的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后,取得函数)6
sin(π
-=x y 的图象,则
ϕ等于
( )
A.6π
B.65π
C.67π
D.611π
11.若核心在x 轴上的椭圆
2212x y m +=的离心率为12，则m 等于（ ） A ．3 B. 83 C. 32 D. 2
3
12.设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，
的距离别离为1d 和2d ， 2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（如图所示）那么点P 的轨迹是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）
13. 写出92)1
(x
x +的二项展开式中系数最大的项 .
14. 从班委会5名成员当选出3名，别离担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任
文娱委员，则不同的选法共有 种。

（用数字作答）
15．若抛物线2
2y px =的核心与双曲线2
213
x y -=的右核心重合,则p 的值等于 . 16.若变量,x y 知足约束条件202300x y x y x -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则目标函数1z x y =++的最大值为 .
17．已知核心在x 轴上的双曲线的渐近线方程为y= ±
x 4
3
，则此双曲线的离心率为 . 18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 22
=的核心为F ，若M 是抛物线上的动点，则||
||
MO MF 的最大值为 .
三、解答题（本题共5小题，每题12分，共60分）
19．(12分)
要从两名同窗中挑出一名，代表班级参加射击竞赛，依照以往的成绩记录同窗甲击中目标的环数为X 1的散布列为
同窗乙击目标的环数X 2的散布列为
(1)请你评判两位同窗的射击水平(用数据作依据)；
(2)若是其它班参加选手成绩都在9环左右，本班应派哪一名选手参赛，若是其它班参赛选手的成绩都在7环左右呢？
20.（12分）
已知数列{a n }知足a 1=2
1，且前n 项和S n 知足：S n =n 2
a n ，求a 2,a 3,a 4,猜想{a n }的通项公式，并加以证明。

21．（12分）命题p ：关于x 的不等式2
240x ax ++>关于一切x R ∈恒成立，
命题q ：∀0],2,1[2
≥-∈a x x ，若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围．
22．（12分）已知直线:4()l x my m R =+∈与x 轴交于点P ，交抛物线
)0(22>=a ax y 于B A ,两点，点Q 是点P 关于坐标原点O
的对称点，记直线BQ AQ ,的斜率别离为21,k k . （Ⅰ）若P 为抛物线的核心，求a 的值，并确信抛物线的准线
与以AB 为直径的圆的位置关系； （Ⅱ）试证明：12k k +为定值.
23. （12分）
如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AA AB AD ==，且
11(01)PC CC λλ=<<．
（I ）求证：对任意01λ<<，总有AP BD ⊥； （II ）若1
3
λ=
，求二面角1P AB B --的余弦值； （III ）是不是存在λ，使得AP 在平面1B AC 上的射影平分1B AC ∠？若存在, 求出λ的值, 若不存在，说
明理由．
参考答案
13. T 6635126,126--==x T x 14. 36 16．4 17． 4
5 18.
3
32
21．解:设42)(2
++=ax x x g ，由于关于x 的不等式0422
>++ax x 关于一切R x ∈恒成立，因此函数)
(x g 的图象开口向上且与x 轴没有交点，故01642
<-=∆a ，∴22<<-a . 若q 为真命题，2
x a ≤恒成立，即1≤a .
由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 、q 一真一假.
①若p 真q 假，则⎩⎨⎧><<-1
2
2a a ∴21<<a ；
②若p 假q 真，则⎩
⎨⎧<-≤12a a 2
≥a 或 ∴2-≤a ；
综上可知，所求实数a 的取值范围是｛21|<<a a 或2-≤a ｝
1212121228()
(4)(4)
my y y y k k x x ++∴+=
++，代入()*得，120k k +=，故12k k +为定值. …(13分)
又取平面1
ABB 的法向量为(1,0,0)m =，且设二面角1P AB B --的大小为θ，
因此 7
2
cos =
⋅⋅=
n
m n m θ （９分）。