山东省潍坊市寿光圣都中学2019-2020学年高一下学期诊断性检测数学试卷

数学
第I卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.角θ的顶点在坐标原点，始边在x轴正半轴上，且终边过点P(－3，4)，则tanθ＝
A.4
3
B.－
4
3
C.
3
4
D.
－
3
4
2.向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且向量a与b 的夹角为
6
π
，则a·b＝
A.3
B.－3
C.5－3
D.4
3.一个扇形的圆心角为150°，面积为
5
3
π
，则该扇形半径为
A.4
B.1
C.2
D.2
4.已知A，B为锐角，cosA＝
3
5
，cosB＝
5
13
，则cos(A＋B)＝
A.
56
65
B.－
56
65
C.－
33
65
D.
33
65
5.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，E是CD边上一点，且DE＝2EC，则AE＝
A.a＋
1
3
b B.a＋
2
3
b C.
1
3
a＋b D.
2
3
a十b
6.若
cos2
sin)
(
4
α
π
α-
＝－
2
2
，则cosα＋sinα＝
A.2
B.1
C.
1
2
D.－
1
2
7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央。

出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。

问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺。

将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)。

试问水深是多少尺?
A.11
B.12
C.13
D.14
8.已知x 0是函数f(x)＝sin.x ＋2cosx 的最大值点，则sinx 0＝ 521525D.15
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

9.下列结论中正确的是
A.120°＝23
π B.若α是第三象限角，则cos α<0 C.若角α的终边过点P(3k ，4k)(k ≠0)，则sin α＝
45 D.cos 4α－sin 4α＝cos2α
10.已知|a |＝1，b ＝(3，4)，则以下结论正确的是
A.若a //b ，则|a ＋b |＝6
B.若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a －b |
C.若a //b ，则a ＝(35，45
)D.|a －b |的最小值为4 11.若m 2＋4π)在x ∈[0，2
π]上有解，则m 的取值可能为 2＋212.将函数f(x)＝sin(x ＋
6π)的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将图象向右平移
4π个单位，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是 A.x ＝512
π是函数g(x)图象的一条对称轴 B.(－712
π，0)是函数g(x)图象的一个对称中心 C.g(x)在[－12π，512
π]上单调递增
D.若|f(x 1)－f(x 2)|＝2，则|x 1－x 2|的最小值为2π 第
II 卷(非选择题共90分)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.sin 53
π＝ 。

14.已知{a ，b }是平面向量的一组基底，实数x ，y 满足3a ＋4b ＝(x －1)a ＋(2－y)b ，则x ＋y ＝ 。

15.如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G ，沿着斜面向上的摩擦力F 1，垂直斜面向上的弹力F 2。

已知|F 1|＝80N ，则G 的大小为 N ，F 2的大小为 N 。

16.sin50°(13)＝ 。

四、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)
已知非零向量a 与b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝t a ＋3b 。

(1)若230OA OB OC +-=，求t 的值；
(2)若A 、B 、C 三点共线，求t 的值。

18.(12分)
已知sin α＝－35
，且α是第 象限角。

从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：
(1)求cosα，tanα的值；
(2)化简求值：()()
3()()sin sin cos 2022(0tan )2020coa πααπαπαπα---++。

19.(12分)
向量a ＝(－2，4)，b ＝(x ，－2)。

(1)若a //(a ＋b )，求b ；
(2)若a ⊥(12a －b )，求a 与b 所成夹角的余弦值。

20.(12分)
函数f(x)＝33sin ωxcos ωx －3cos 2ωx ＋32
，且函数f(x)的最小正周期为π。

(1)求ω及函数f(x)对称中心；
(2)在给出的坐标系中用五点法做出函数y ＝f(x)在x ∈[0，π]上的图像，并求f(x)在[0，2
]上的最大值及取最大值时x 的值。

21.(12分)
如图所示，△ABC 中，AB ＝a ，AC ＝b ，D 为AB 中点，E 为CD 上一点，且DC ＝3EC ，AE 的延长线与BC 的交点为F 。

(1)用向量a ，b 表示AE ；
(2)用向量a ，b 表示AF ，并求出AE ：EF 和BF ：FC 的值。

22.(12分)
函数f(x)＝3sin(ωx ＋3
π)(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为f(x)的图象与x 轴的交点，且△ABC 为等边三角形。

将函数f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，再向右平移
23π个单位，得到函数y ＝g(x)的图象。

(1)求函数g(x)的解析式；
(2)若不等式msin 2x －3mg(π－2x)≤m ＋3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围。