四川省南充市2021届高考数学达标检测试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ） A ．0.02sin 360000y t = B ．0.03sin180000y t =
C ．0.02sin181800y t
=
D ．0.05sin 540000y t =
2．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）
A ．18
B ．24
C ．36
D ．72
3．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）
（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）
A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均
B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102
C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小
D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 4．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知向量()
1,3a =，b 是单位向量，若3a b -=，则,a b =（ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 6．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为
(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n
等于（ ）．
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24
7．已知数列{}n a
的通项公式是2
21sin 2n n a n π+⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55
C ．66
D ．78
8．已知函数1
,0()ln ,0x x
f x x x x
⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为
（ ） A ．1
(0,)e
B ．1(0,
)2e
C ．1(,
)2e
-∞ D ．11(
,)2e e
9．已知函数e 1()e 1
x x f x -=+，()
0.32a f =，()
0.3
0.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为
（ ） A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
10．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为
A ．0
B 6
C ．
33
D ．1
11．已知函数()[]f x x x =-，其中[]
x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数
D ．()f x 是增函数
12．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．3,1)-
B ．(3)-
C ．(3,1)--
D ．(1,3)-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()2sin f x x ωϕ=+（），对于任意x 都有(
+)()66f x f x π
π=-，则()6
f π
的值为
______________.
14．己知函数||()(21)x f x x =-，若关于x 的不等式2(22)(3)0f x x a f ax --+-对任意的[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______.
15．设函数(
)21722,04,0
k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩
，()43g x k x ⎛⎫
⎪⎝⎭＝-，其中0k >．若存在唯一的整数,x 使
得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是_____．
16．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数2()6cos 3sin 2f x x x =-. （1）求(
)12
f π
的值；
（2）若,3x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，求函数()f x 的单调递减区间. 18．我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST ）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.
（1）在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？ （2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.
19．（6分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为,n n S T ，且
1122b a ==，232254,11b S a T =+=.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求
112233
n n n
M a b a b a b a b
=++++；
（3）是否存在正整数m，使得1
m m
m m
S T
S T
+
+
+
恰好是数列{}n a或{}n b中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由.
20．（6分）如图，在三棱锥P ABC
-中，平面PAC⊥平面ABC，AB BC
=，PA PC
⊥.点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点.
（1）求证：PA⊥平面EBO.
（2）判断FG与平面EBO的位置关系，并证明.
21．（6分）数列{}n a的前n项和为n S，且22
n n
S a
=-.数列{}n b满足2
log
n n
b a
=，其前n项和为
n
T. （1）求数列{}n a与{}n b的通项公式；
（2）设
1
n n
n
c a
T
=+，求数列{}
n
c的前n项和
n
C.
22．（8分）2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中，居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识"的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图：
（1）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布()
,210
Nμ，μ近似为这1000
人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P （50.594Z <<）； （2）在（1）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： （i ）得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次： （ii ）每次赠送的随机话费和对应概率如下：
现有一位市民要参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列.
14.5=，若()2,Z
N μδ，则()0.6826P Z μδμδ-<<+=，
()220.9544P Z μδμδ-<<+=.
23．（8分）设数列{}n a 是等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，已知121,4T T ==, (1)求数列
{}n a 的首项和公比；
（2）求数列{}n T 的通项公式． 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
由基本音的谐波的定义可得12()f nf n *
=∈N ,利用12f T ωπ
=
=可得12()n n ωω*
=∈N ,即可判断选项. 【详解】
由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波, 由12f T ωπ
==,可知若12()f nf n *=∈N ,则必有12()n n ωω*
=∈N , 故选:C 【点睛】
本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力. 2．C 【解析】 【分析】
由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622
a a a a
S ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】
∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，
∴1634657
66636222
a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】
采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【详解】
A 正确，从图表二可知，
3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大 B 正确，从图表二可知，
4月份只有北京市居民消费价格指数低于102 C 正确，从图表一中可知，
只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D 错误，从图表一可知
上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 故选：D 【点睛】
本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题. 4．B 【解析】 【分析】
列出循环的每一步，进而可求得输出的n 值. 【详解】
根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =，
执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立． 继续进行循环，…，
当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =，
由于5a ≥不成立，执行下一次循环，
5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.
故选：B ． 【点睛】
本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 5．C 【解析】 【分析】
设(,)b x y =，根据题意求出,x y 的值，代入向量夹角公式，即可得答案； 【详解】
设(,)b x y =，
∴(1)a b x y -=-，
b 是单位向量，∴22
1x y +=
,
3a b -
=，∴22(1))3x y -+=，
联立方程解得：1,22
x y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩或1,0,x y =⎧⎨=⎩
当1,22
x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，13122cos ,212a b -+<>==⨯；∴,3a b π<>= 当1,0,
x y =⎧⎨
=⎩时，11cos ,212a b <>=
=⨯；∴,3a b π
<>= 综上所述：,3
a b π
<>=.
故选：C. 【点睛】
本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意b 的两种情况. 6．C 【解析】
从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.
7．D 【解析】 【分析】
先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.
【详解】
解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+==-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛
⎫=+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2
n a n =，
所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+
22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-
(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122
⨯=
（）
78= 故选：D 【点睛】
此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题. 8．B 【解析】 【分析】
根据分段函数，分当0x <，0x >，将问题转化为()
f x k x
=的零点问题，用数形结合的方法研究. 【详解】 当0x <时，()2
1f x k x
x
=
=
，令()()2312g ,'0x g x x x ==->，()g x 在()0x ∈-∞，是增函数，0k >时，
()
f x k x
=有一个零点， 当0x >时，()2
ln f x x
k x
x
=
=
，令()()23ln 12ln h ,x x x h x x x -'== 当(0,)x e ∈时，'()0h x ＞，∴()h x 在(0,)e 上单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，'()0h x ＜，∴()h x 在(,)e +∞上单调递减， 所以当x e =
时，()h x 取得最大值
12e
， 因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 所以当0x >时，()
f x k x
=有2个零点， 如图所示：
所以实数k 的取值范围为1(0,
)2e
综上可得实数k 的取值范围为1
(0,)2e
， 故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题. 9．B 【解析】 【分析】
可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.3
0.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.
【详解】
12()111
e e x x x
f x e -==-++在R 上单调递增，且0.30.3
0.3210.20log 2>>>>，
所以c b a <<. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力. 10．B 【解析】 【分析】 【详解】
根据题意可得BC ⊥平面ACD ，EF BC ∥，则CBG ∠即异面直线BG 与EF 所成的角，连接CG ，在
Rt CBG △中，cos BC
CBG BG
∠=
，易得22BD AD AB ===，所以6BG =，所以cos CBG ∠=
66
=
，故选B ． 11．C 【解析】 【分析】
根据[]
x 表示不超过x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论. 【详解】
由[]
x 表示不超过x 的最大正整数，其函数图象为
选项A ，函数()[)0,1f x ∈，故错误； 选项B ，函数()f x 为非奇非偶函数，故错误； 选项C ，函数()f x 是以1为周期的周期函数，故正确； 选项D ，函数()f x 在区间[)[)[)
0,1,1,2,2,3上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故
错误. 故选：C 【点睛】
本题考查对题干[]
x 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题. 12．B 【解析】 【分析】
先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】
()()0,2,3,1m n =-=
()23,3m n ∴+=-
()(
)
3
33-=--
故选B 【点睛】
本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．22-或 【解析】 【分析】
由条件得到函数的对称性，从而得到结果 【详解】 ∵f 6x π⎛⎫+
⎪⎝⎭＝f 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ∴x ＝6
π
是函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴． ∴f 6π⎛⎫
⎪⎝⎭
＝±2. 【点睛】
本题考查了正弦型三角函数的对称性，注意对称轴必过最高点或最低点，属于基础题. 14．[]4,0- 【解析】 【分析】
首先判断出函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在定义域上单调递增，由此不等式
2(22)(3)0f x x a f ax --+-对任意的[]1,3x ∈恒成立，可转化为2(2)230x a x a +---在[]1,3x ∈上恒
成立，进而建立不等式组，解出即可得到答案． 【详解】
解：函数()f x 的定义域为R ，且||||()(21)(21)()x x f x x x f x --=--=--=-，
∴函数()f x 为奇函数，
当0x >时，函数()(21)x f x x =-，显然此时函数()f x 为增函数，
∴函数()f x 为定义在R 上的增函数，
∴不等式2(22)(3)0f x x a f ax --+-即为2223x x a ax ---，
2(2)230x a x a ∴+---在[]1,3x ∈上恒成立，
∴1223093(2)230a a a a +---⎧⎨+---⎩
，解得40a -．
故答案为[]4,0-． 【点睛】
本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，属于常规题目． 15．17
[
3
,6] 【解析】 【分析】
根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数x 使得()()f x g x <数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可. 【详解】
解：函数()21722,04,0k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭
⎨⎪>⎩
,且0,
k ＞ 画出()f x 的图象如下：
因为()43g x k x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,且存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <,
故()g x 与()f x 在0x <时无交点,
174k k +∴≥
,得173
k ≥； 又()43g x k x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭,
()g x ∴过定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ 又由图像可知,若存在唯一的整数x 使得()()f x g x <时4
3
x >
,所以2x ≥ ()()58533939
g k f ≥≥=＝,
∴存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <
所以()()2
2243
g k f =
≤=6k ⇒≤ ()()8
44163
g k f ∴≤=＝6k ⇒≤.根据图像可知,当4x ≥时, ()()f x g x >恒成立.
综上所述, 存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <,此时17
63
k ≤≤ 故答案为：17
[3
,6]
【点睛】
本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点4,03⎛⎫
⎪⎝⎭
右边的整数点中3
x =为满足条件的唯一整数,再数形结合列出2,4x =时的不等式求k 的范围.属于难题.
16．②③ 【解析】 【分析】
根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】
不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；
因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；
因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确. 故答案为：②③. 【点睛】
本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭2）()f x 的递减区间为5,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和11,12ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）化简函数()f x ，代入12
x π
=
，计算即可；
（2）先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合,3x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
即可求出. 【详解】
（1）
2()6cos 23(1cos 2)2f x x x x x ==+-
23cos 23x x =++
233x π⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭，
从而312f π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
（2）令222,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈.
解得5,1212
k x k k Z π
π
ππ-+≤≤+∈.
即函数()f x 的所有减区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦
，
考虑到,3x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦，取0,1k =，可得5,312x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，11,12x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
故()f x 的递减区间为5,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和11,12
ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的图象与性质，属于中档题. 18．（1）79颗；（2）5.5秒. 【解析】 【分析】
（1）利用各小矩形的面积和为1可得a ，进而得到脉冲星自转周期在2至10秒的频率，从而得到频数； （2）平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到. 【详解】
（1）第一到第六组的频率依次为 0.1，0.2，0.3，0.2，2a ，0.05，其和为1
所以()210.10.20.30.20.05a =-++++，0.075a =，
所以，自转周期在2至10秒的大约有()9310.1579.0579⨯-=≈（颗）. （2）新发现的脉冲星自转周期平均值为
0.110.230.350.270.1590.0511 5.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（秒）.
故新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5秒. 【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，涉及到平均数的估计值等知识，是一道容易题. 19．（1）121,23n n n a n b -=-=⋅；（2）2(1)32n n M n =-⋅+；（3）存在，1. 【解析】 【分析】
（1）利用基本量法直接计算即可； （2）利用错位相减法计算；
（3）21*
121313
m m
m m m m S T m N S T m +++-+=∈+-+，令21*213,13m m m L L N m +-+=∈-+可得()2(1)1(3)3m L m L --=-，13L <，讨论即可. 【详解】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 因为11232222,54,11b a b S a T ===+=，
所以2(33)5412211q d d q +=⎧⎨+++=⎩，即(1)928q d d q +=⎧⎨+=⎩，解得32q d =⎧⎨=⎩，或325
q d ⎧=⎪
⎨⎪=⎩（舍去）.
所以121,23n n n a n b -=-=⋅. （2）()21112233123235232123n n n n M a b a b a b a b n -=++++=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+-⨯⨯，
213123323(23)23(21)23n n n M n n -=⨯⨯+⨯⨯+
+-⨯⨯+-⨯⨯，
所以(
)2
1224333(21)23n n n M n --=+++
+--⨯⨯，
13(13)24(42)34(44)313
n n n n n --=+⨯--⨯=---⋅-
所以2(1)32n n M n =-⋅+.
（3）由（1）可得2
n S n =，31=-n n T ，
所以
21
121313m m m
m m m S T m S T m +++-+=+-+. 因为1m m m m S T S T +++是数列{}n a 或{}n b 中的一项，所以21
*2
13,13
m m m L L N m +-+=∈-+， 所以()
2(1)1(3)3m
L m L --=-，因为210,30m m ->，
所以13L <，又*L N ∈，则2L =或3L =. 当2L =时，有(
)
2
13
m
m -=，即
()
2
113m
m -=，令21
()3
m m f m -=.
则22211
(1)11223
(1)()333m m m m m m m f m f m +++----+-=
-=-. 当1m =时，(1)(2)f f <；当2m ≥时，()()10f m f m +-<， 即(1)(2)(3)(4)f f f f <>>>⋅⋅⋅.
由1(1)0,(2)3f f ==，知()2113
m m -=无整数解. 当3L =时,有2
10m -=，即存在1m =使得21
2
13313m m
m m +-+=-+是数列{}n a 中的第2项， 故存在正整数1m =，使得1
m m m m
S T S T +++是数列{}n a 中的项.
【点睛】
本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n 项和，数列中的存在
性问题，是一道较为综合的题.
20．（1）见解析（2）//FG 平面EBO .见解析 【解析】 【分析】
（1）要证PA ⊥平面EBO ，只需证明BO PA ⊥，OE PA ⊥，即可求得答案；
（2）连接AF 交BE 于点Q ，连接QO ，根据已知条件求证//FG QO ，即可判断FG 与平面EBO 的位置关系，进而求得答案. 【详解】 （1）
AB BC =，O 为边AC 的中点，
∴BO AC ⊥，
平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC
平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，
∴BO ⊥平面PAC ， ∴BO PA ⊥，
在PAC ∆内，O ，E 为所在边的中点，
∴//OE PC ，
又
PA PC ⊥，OE PA ⊥，
∴PA ⊥平面EBO .
（2）判断可知，//FG 平面EBO ， 证明如下：
连接AF 交BE 于点Q ，连接QO .
E 、
F 、O 分别为边PA 、PB 、AC 的中点，
∴2AO OG
=. 又
Q 是PAB ∆的重心，
∴
2AQ AO
QF OG
==，
∴//FG QO ，
FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ， ∴//FG 平面EBO .
【点睛】
本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
21．（1）2n n a =，n b n =；（2）1
2
21
n n C n +=-
+. 【解析】 【分析】
（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由22n n S a =-得出1122n n S a --=-，两式相减可推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式，再利用对数的运算性质可得出数列{}n b 的通项公式；
（2）运用等差数列的求和公式，运用数列的分组求和和裂项相消求和，化简可得n T . 【详解】
（1）当1n =时，1122S a =-，所以12a =；
当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，得12n n a a -=，即1
2n
n a a -=， 所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2 的等比数列，1
22
2n n n a -∴=⨯=.
2log 2n n b n ∴==；
（2）由（1）知数列{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列，
()1(1)
1122
n n n n n T n -+∴=⨯+
⨯=
. ()11212221n n n n n c n n ⎛⎫+- ⎪+=+⎝=+
⎭
∴，
()12
111
112212222121223
1121n n
n C n n n +-⎛⎫⎛⎫∴=++
++-+-+
+-=+- ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭
1221n n +=-+. 所以1
2
21
n n C n +=-
+. 【点睛】
本题考查数列的递推式的运用，注意结合等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：分组求和法
和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题． 22．（1）0.8185（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）利用频率分布直方图平均数等于小矩形的面积乘以底边中点横坐标之和，再利用正态分布的对称性进行求解.
（2）写出随机变量的所有可能取值，利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式，再列表得到其分布列. 【详解】
解：（1）从这1000人问卷调查得到的平均值μ为
350.025450.15550.20650.25750.225850.1950.05μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.875 6.751116.2516.8758.5 4.75=++++++
65=
∵由于得分Z 服从正态分布()65,210N ，
()()0.68260.9544
50.5946514.565214.50.81852
P Z P Z +∴<<=-<<+⨯=
=
（2）设得分不低于μ分的概率为p ，()12p P Z μ=≥=
（或由频率分布直方图知0.2251
0.0250.150.20.522
p =+++==） 法一：X 的取值为10，20，30，40
()121
10233
P X ==⨯=；
()111227
202323318
P X ==⨯+⨯⨯=；
()121212
30C 2339P X ⎛⎫==⨯⨯=
⎪⎝
⎭； ()1111
4023318
P X ==⨯⨯=；
所以X 的分布列为
法二：2次随机赠送的话费及对应概率如下
X 的取值为10，20，30，40
()121
10233
P X ==⨯=；
()11147
20232918P X ==⨯+⨯=；
()142
30299P X ==⨯=；
()111
402918
P X ==⨯=；
所以X 的分布列为
【点睛】
本题考查了正态分布、离散型随机变量的分布列，属于基础题.
23． (1)11{2
a q ==（2）1
22n n T n +=--
【解析】 【分析】 【详解】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握．
（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则q+q 2=6，解方程可求q
（2）由（1）可求a n =a 1•q n-1=2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和
解：（1）112121{
24T a T a a ===+=121
{2
a a =⇒=2q ⇒=11
{2a q =∴= （2）12n n
a ，
2211(1)2(2)22212n n n T n n n --=⋅+-⋅+-⋅++⋅+⋅ 23122(1)2(2)22212n n n T n n n -=⋅+-⋅+-⋅+
+⋅+⋅
两式相减：1
22n n T n +=--
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1
．二项式2
2)n
x 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180
B ．90
C ．45
D ．360
2．已知i 为虚数单位，若复数12i
12i
z +=+-，则z = A ．9i 5
+
B ．1i -
C ．1i +
D ．i -
3．
已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12
x π
=-
B ．12
x π
=
C ．3
x π
=-
D ．3
x π
=
4．已知01a b <<<，则（ ）
A ．()()1
11b b a a ->- B ．()()211b
b a a ->- C ．()()11a b a b +>+ D ．()()11a b
a b ->-
5．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
A
．08
B ．07
C ．02
D ．01
6．过椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，
点A 在y 轴上的射影为A '，若
3
4
FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．
2
B ．
3
C ．
12
D ．
2
7．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．
21
33
a b + B ．1
233
a b +
C ．
3455
a b + D ．
43
55
a b + 8．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-
B ．23y x =-
C ．3y x =-+
D ．25y x =-+
9．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（
）
A．甲B．乙C．丙D．丁
10．在平行六面体1111
ABCD A B C D
-中，M为
11
A C与
11
B D的交点，若,
AB a AD b
==,
1
AA c
=，则与BM 相等的向量是（）
A．
11
22
a b c
++B．
11
22
a b c
--+C．
11
22
a b c
-+D．
11
22
-++
a b c
11．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．
金牌
（块）
银牌
（块）
铜牌
（块）
奖牌
总数
24 5 11 12 28
25 16 22 12 54
26 16 22 12 50
27 28 16 15 59
28 32 17 14 63
29 51 21 28 100
30 38 27 23 88
A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势
B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义
C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降
D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5
12．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．
16
B ．
14
C ．
13
D ．
12
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4，现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级为12人，则抽取的样本容量为________人.
14．函数()πcos 36f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在[]0π，的零点个数为________．
15．已知F 为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点(,0)A a ，(0,)B b 关于
直线l 对称，则双曲线C 的离心率为__________．
16．如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为_______．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设实数,x y 满足3x y +=.
（1）若32x x y +<-，求x 的取值范围；
（2）若0x >，0y >，求证：
11
11x y
+≥+. 18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
2x m y m
⎧=⎨=⎩(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求
11PM PN
+的值. 19．（6分）若数列{}n a 满足：对于任意*n ∈N ，12n n n a a a +++-均为数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”．
（1）若数列{}n a 的前n 项和2
42n S n n =-，*n ∈N ，试判断数列{}n a 是否为“T 数列”？说明理由；
（2）若公差为d 的等差数列{}n a 为“T 数列”，求d 的取值范围；
（3）若数列{}n a 为“T 数列”，11a =，且对于任意*n ∈N ，均有22
11n n n n a a a a ++<-<，求数列{}n a 的通
项公式．
20．（6分）已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，点(),3A a ，点P 为抛物线C 上的动点．
（1）若PA PF +的最小值为5，求实数a 的值；
（2）设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若MOA MAO AOF ∠=∠=∠，求OPA ∆的面积． 21．（6分）如图（1）五边形ABCDE 中，,//,2,ED EA AB CD CD AB ==
150EDC ∠=,将EAD ∆沿AD 折到PAD ∆的位置，得到四棱锥P ABCD -，如图（2），点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD .
（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）若直线PC AB 与所成角的正切值为
1
2
，求直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值.
22．（8分）已知函数()1f x x =-，不等式()()15f x f x +-<的解集为{}
x m x n <<. （1）求实数m ，n 的值；
（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +≥. 23．（8分）已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】
试题分析：因为22)n
x
+
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n =，55
102110
1022•?()2r r r
r r r
r T C C x x
--+==，令5502r -=，则2r
，2
3104180T C ==.
考点：1.二项式定理；2.组合数的计算. 2．B 【解析】 【分析】 【详解】
因为2
12i (12i)(2i)2i 4i 2i 1111i 2i (2i)(2i)5
z ++++++=
+=+=+=+--+，所以1i z =-，故选B ． 3．D 【解析】 【分析】
由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点
的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3
x π
=时，
22
6x π
π-=，由此即可得到本题答案. 【详解】
由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫
=-=-
⎪⎝
⎭
， 因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22T
π
ω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
， 当3
x π
=
时，22
6x ππ-
=， 所以3x π
=是函数()2sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的一条对称轴，
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性. 4．D 【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案. 【详解】
因为01a <<，所以011a <-<，所以()1x
y a =-是减函数， 又因为01b <<，所以
1b b >，2
b b >， 所以()()111b
b
a a -<-，()()2
11b
b
a a -<-，所以A,B 两项均错； 又111a
b <+<+，所以()()()111a
a
b
a b b +<+<+，所以C 错； 对于D ，()()()111a
b
b
a a
b ->->-，所以()()11a
b
a b ->-， 故选D. 【点睛】
这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系. 5．D 【解析】
从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.
考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 6．D 【解析】 【分析】
求得点B 的坐标，由
3
4
FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】
由题意可得()0,B b 、(),0F c -.
由34FO AA ='，得34BF BA =，则3
1
BF FA =，即3BF FA =. 而(),BF c b =--，所以,33c
b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4
,3
3b A c ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭.
因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆22
22:1x y C a b
+=上，则22
224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22
212c e a ==
，所以e =
. 即椭圆C
的离心率为2
故选：D. 【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题. 7．B 【解析】 【分析】
由CD 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理可得BD CB
DA CA
=，再根据平面向量的加减法运算即得答案. 【详解】
CD 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理可得
BD CB
DA CA
=， 又CB a =，CA b =，2a =，1b =， 2,2BD
BD DA DA
∴
=∴=. ()
2212
3333
CD CB BD CB BA a b a a b ∴=+=+=+-=+.
故选：B . 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题. 8．A 【解析】 【分析】
将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程. 【详解】
曲线2
4x y =，即2
14
y x =
， 当2x =时，代入可得2
1124
t =⨯=，所以切点坐标为()2,1，
求得导函数可得1
2
y x '=
，。