九年级上学期期末【压轴100题考点专练】-(人教版)(原卷版)

九年级上学期期末【压轴100题考点专练】
一、单选题
1．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，矩形ABCD 中，∠BAC =60°，点E 在AB 上，且BE ：AB =1：3，点F 在BC 边上运动，以线段EF 为斜边在点B 的异侧作等腰直角三角形GEF ，连接CG ，当CG 最小时，CF AD
的值为（ ）
A B ．13 C ．12 D 2．（2022·山东济南·九年级期末）如图，∠ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为∠ABC 所在平面内一点，∠BDC ＝90°，以AC 、CD 为边作平行四边形ACDE ，则CE 的最小值为（ ）
A B ．3 C ．75 D ．
3．（2022·山东临沂·九年级期末）如图，点A 的坐标是（－4，0），C 为OB 的中点，将∠ABC 绕点B 逆时针旋转90后得到∠A BC ''．若反比例函数24y x
=的图象恰好经过A B '的中点D ，则点B 的坐标是（ ）
A．（0，6）B．（0，8）C．（0，10）D．（0，12）
4．（2022·湖南岳阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，∠B＝
30°，反比例函数y＝k
x
（k≠0）在第一象限的图象经过OB边上的点C和AB的中点D，连接AC．已知
S△OAC＝，则实数k的值为（）
A．
B．C．D．
5．（2022·甘肃·甘州中学九年级期末）如图，∠ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD∠AB于点D，设运动时间为x（s），∠ADP的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（2022·四川乐山·九年级期末）如图，正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，CG DE ⊥于G ，BG 延长交CD 于点F ，CG 延长交BD 于点H ，交AB 于N ．下列结论：①DE CN =；②12
BH DH =；③
3DEC BNH S S =；④60BGN ∠=︒；⑤GN EG +=．其中正确结论的个数有（ ）个
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
7．（2021·全国·九年级期末）在矩形ABCD 中，AB =8cm ，BC =3cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm/s 的速度向终点B 移动，同时，点Q 从点C 出发沿CD 以3cm/s 的速度向终点D 移动，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动． 经过_________秒P 、Q 两点之间的距离是5cm ．
8．（2020·浙江杭州·九年级期末）已知关于x 的方程222(2)40x m x m +-++=有两个实根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则m =________．
9．（2020·浙江·九年级期末）如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：
如何将一张平行四边形纸片ABCD 的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形EFGH ．图中EF ，FG ，GH ，HE 表示折痕，折后,B D 的对应点分别是,M N ．若8AB cm =，10AD cm =，=60B ∠︒，则纸片折叠时AH 的长应取________．
10．（2021·浙江杭州·九年级期末）如图，已知抛物线235684y x x =-++与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为线段OA 上一点，点Q 为OB 延长线上一点，PQ 的中点M 恰好落在线段AB 上，点G 为该抛物线第二象限部分上一点，连接GQ ，GM ，将GM 绕点M 旋转180︒后得到MH ，连接AH ，已知AH x ⊥轴，6AH =，则GQ 的值为____．
11．（2022·山东滨州·九年级期末）如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60°
得到；②点O 与O '距离为4；③150AOB ∠=︒；④6AOBO S '=+四边形⑤6AOC AOB S S +=△△中正确的结论是________．
12．（2022·河北·平山县教育局教研室九年级期末）如图，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合），第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H．依次操作下去．若第二次操作后，点H和点E重合，则BE的长为_____；若经过三次操作，得到四边形EFGH，且AE＝1，则四边形EFGH的面积为_____．
13．（2022·浙江·义乌市稠州中学九年级期末）城市的许多街道是相互垂直或平行的，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如A（﹣2，1），B （﹣1，﹣2），则d（A，B）＝|﹣2﹣（﹣1）|+|1﹣（﹣2）|＝4．
（1）函数y＝﹣2x+4的图像如图（1）所示，C是图像上一点，d（O，C）＝5，则点C的坐标是_____．（2）某市要修建一条通往景观湖的道路（既不能破坏景观湖，也不在景观湖底钻隧道），如图（2），道路以M为起点，先沿水平MN方向到某处．再在该处拐一次直角可沿直线到湖边某点P处，如图建立平面直
角坐标系xOy，圆心O（7，3），则修建道路距离d（M，P）的取值范围_____．
14．（2022·江西上饶·九年级期末）如图，在边长为ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点，若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为______．
15．（2022·安徽·九年级期末）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别
与坐标轴平行．反比例函数y＝k
x
（k≠0）的图象，与大正方形的一边交于点A（
3
2
，4），且经过小正方形
的顶点B．求图中阴影部分的面积为_____．
16．（2022·四川成都·九年级期末）如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上（AE <EC ），连接DE 并延长交AB 于点F ，过点E 作EG ∠DE 交BC 于点G ，连接DG ，FG ，DG 交AC 于H ，现有以下结论：
①DE ＝EG ；②222AE HC EH +=；③DEH S 为定值；④CG CD +=；⑤GF =．以上结论正确的有______（填入正确的序号即可）．
17．（2022·重庆市育才中学九年级期末）在Rt ∠BAC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，AC ＝D 是AC 边的中点，点E 是BC 边上一点，连接DE ，AE ．将∠AED 沿着DE 翻折得到∠GED ，连接CG ，若∠DGE ＝45°，则点G 到边BC 的距离为 __．
18．（2022·福建泉州·九年级期末）如图，y ＝
k x （x ＞0）的图象经过A （2，6）、B 两点，且tan∠AOB ＝1
2，则点B 的坐标是 _____．
三、解答题
19．（2021·福建·厦门双十中学思明分校九年级期末）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题．
（1）如图1，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝1，CD ∠BCD ＝∠DBC ，判断四边形ABCD 是不是“等邻边四边形”，并说明理由；
（2）如图2，Rt ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，现将Rt △ABC 沿∠ABC 的平分线BB ′方向平移得到A B C '''，连结AA '，BC '，若平移后的四边形ABC A ''是“等邻边四边形”，求'BB 的长．
20．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中九年级期末）如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝6cm ，AD ＝4cm ，若点Q 从A 点出发沿AD 以1cm/s 的速度向D 运动，P 从B 点出发沿BA 以2cm/s 的速度向A 运动，如果P 、Q 分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t （s ）．
（1）当t 为何值时，△P AQ 为等腰三角形？
（2）当t 为何值时，△APD 的面积为6cm 2？
（3）五边形PBCDQ 的面积能否达到20cm 2？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由．
（4）当t 为何值时，P 、Q 两点之间的距离为？
21．（2018·云南临沧·九年级期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．
①当PA∠NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；
②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．
22．（2022·河南周口·九年级期末）因式定理：对于多项式()f x ，若()0f a =，则()x a -是()f x 的一个因式，并且可以通过添减单项式从()f x 中分离出来．已知()f x 325(4)x x k x k =-++-．
(1)填空：当1x =时，(1)0f =，所以(1)x -是()f x 的一个因式．于是()f x 32244x x x x kx k
=--++-(1)()x g x =-⨯．则()g x =________________；
(2)已知关于x 的方程()0f x =的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k 的值．
23．（2022·山西晋中·九年级期末）综合与实践
问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽6AD =．
动手实践：
（1）如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD 折叠，点A 落在DC 边上的点A '处，折痕为DE ，连接A E '，然后将纸片展平，得到四边形AEA D '．试判断四边形AEA D '的形状，并加以证明．
（2）如图2，永攀小组在矩形纸片ABCD 的边BC 上取一点F ，连接DF ，使30CDF ∠=︒，将CDF 沿线段DF 折叠，使点C 正好落在AB 边上的点G 处．连接DG ，GF ，将纸片展平，
①求DFG 的面积；
②连接CG ，线段CG 与线段DF 交于点M ，则CG =______．
深度探究：
（3）如图3，探究小组将图1的四边形AEA D '剪下，在边A D '上取一点N ，使:1:2DN A N '=，将AND △沿线段AN 折叠得到AND '△，连接A D ''，探究并直接写出A D ''的长度．
24．（2022·江苏·九年级期末）阅读材料：各类方程的解法：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为2(2)0x x x +-=，解方程x=0和x 2+x-2=0，可得方程x 3+x 2-2x=0的解．
（1）问题：方程32614120x x x +-=的解是：1x =0，2x =______，3x =_______；
（2）拓展：用“转化”x =的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD=21m ，宽AB=8m ，点P 在AD 上（AP ＞PD ），小华把一根长为27m 的绳子一段固定在点B ，把长绳PB 段拉直并固定在点P ，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C ，求AP 的长．
25．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级期末）如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于A (-2，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，连AC 、BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM ∠x 轴，交抛物线于点P ，
交BC 于点Q ．（备用公式：点11()A x y ，与点22()B x y ，
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点P 作PN ∠BC ，垂足为点N ．设M 点的坐标为M (m ，0)，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点M 在运动过程中，平面内是否存在点D ，使得以A 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是菱形．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2021·贵州·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校九年级期末）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4经过点A （﹣2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ，点P 为线段AB 上一动点（不与点B 重合），连接PC 、AC 、BC ，将∠BPC 沿直线BC 翻折得到．∠BP 'C ，P 'C 交拋物线的另一点为Q ，连接QB ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形QCOB面积的最大值；
(3)当CQ：QP'＝1：2时，点N为抛物线上一点，直线NQ交y轴于点M，
①若∠NQP'的面积为∠MQC面积的8倍，求出点N的坐标；
②在①的条件下，点D在直线NQ上，点E在x轴负半轴上，当∠ADE∠∠ABC时，求点E的横坐标（直接写出答案）．
x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左27．（2022·湖北随州·九年级期末）如图，抛物线y= -1
2
侧），与y轴交于点C，其对称轴与抛物线交于点D，与x轴交于点E．
(1)求点A，B，D的坐标；
(2)点G为抛物线对称轴上的一个动点，从点D出发，沿直线DE以每秒2个单位长度的速度运动，过点G 作x轴的平行线，交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．设点G的运动时间为t s．
①当t 为何值时，以点M ，N ，B ，E 为顶点的四边形是平行四边形；
②连接BM ，在点C 运动的过程中，是否存在点M ，使得∠MBD =∠EDB ，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点Q 为坐标平面内一点，以线段MN 为对角线作菱形MENQ ，当菱形MENQ 为正方形时，请直接写出t 的值．
28．（2022·河北保定·九年级期末）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检
测．某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y （单位：人）随时间x （单位：分钟）的变化情况如图所示，当030x ≤≤时，y 可看作是x 的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为()30,1800；当3040x <≤时，累计人数保持不变．
(1)求y 与x 之间的函数表达式；
(2)如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？
(3)在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
29．（2022·江西赣州·九年级期末）如图，已知点M （﹣2，0），a ＜0，n 为正整数．抛物线C 1：y 1＝a （x ﹣1）2＋k 1交x 轴于点M 与点A 1（b 1，0），C 2：y 2＝a （x ﹣1
2b 1）2＋k 2交x 轴于点M 与点A 2（b 2，0），C 3：y 3＝a （x ﹣12b 2）2＋k 3交x 轴于点M 与点A 3（b 3，0），…按此规律，Cn ：yn ＝a （x ﹣12bn ﹣1）2＋kn ．交x 轴于点M 与点An （bn ，0）．
(1)填空：b 1＝ ，b 2＝ ，b 3＝ ，An ﹣1An ＝ ；
(2)用含a 的代数式表示：抛物线y 3的顶点坐标为 ；抛物线yn 的顶点坐标为 ；
(3)设抛物线Cn 的顶点为Pn ．
①若∠MP 10A 10为等腰直角三角形，求a 的值；
②直接写出当a 与n 满足什么数量关系时，∠MPnAn 是等腰直角三角形．
30．（2022·河南周口·九年级期末）抛物线2y ax bx c =++对称轴为直线=1x -，与x 轴交于A (－3，0)，B 两点，与y 轴交于点C (0，3)，设抛物线的顶点为D ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接AC 、CD 、DA ，试判断ACD 的形状，并说明理由；
(3)若点Q 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P ，使以A 、B 、Q 、P 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（2022·福建南平·九年级期末）已知抛物线2y x bx c =++的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ．
(1)若点P 的横坐标为1，点B 的坐标为(3,6)．
①求抛物线的解析式；
②若当3m x ≤≤时，2y x bx c =++的最小值为2，最大值为6，求m 的取值范围；
(2)若点P 在第一象限，且PA PO =，过点P 作PD x ⊥轴于D ，将抛物线2y x bx c =++平移，平移后的抛物线经过点A 、D ，与x 轴的另一个交点为C ，试探究四边形OABC 的形状，并说明理由．
32．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y =ax 2+bx +3交x 轴负半轴于点A ，交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C ，且OA =OC =3OB ．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)如图1，点P 为第三象限抛物线上的点，设点P 的横坐标为t ，∠P AC 面积S ，求S 与t 的函数解析式（直接写出自变量t 的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，Q 为CA 延长线上的一点，若P 到x 轴的距离为d ，∠PQB 的面积为2d ，且∠P AQ =∠AQB ，求点P 的坐标．
33．（2022·浙江台州·九年级期末）疫情就是命令，台州新冠疫情防控指挥部安排某中学进行了核酸检测采样演练，演练下午3点开始，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，学生陆续到操场排队，4点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：
小明把记录的数据，在平面直角坐标系里，描成点连成线，发现满足学过的某些函数图象如图，请你解答：
(1)求曲线ABC部分的函数解析式；
(2)若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？
(3)如果采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，指挥部要求4点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？
(4)疫情防控指挥部按照每个采样窗口与某中学相同采样速度对员工人数为600的某单位进行全员核酸检测，如果采样时间t（分钟）控制在30分钟到60分钟之间（即30≤t≤60），则开设的采样窗口数量n（个）的范围是．
34．（2021·山东烟台·九年级期末）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（−2,0），B两点，与y轴交于点C，矩形OCDE的顶点D，E分别在抛物线及x轴上.若OE=OA，点P为y轴上一动点，连接BP，DP，DE与BP交于点F.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当△BDP 为直角三角形时，求点P 的坐标；
(3)如图2，抛物线的对称轴分别与DP ，BP 交于点M ，N . 点P 在线段OC 上运动，当OP 为何值时，△PMN 为等腰三角形？
35．（2022·福建宁德·九年级期末）已知抛物线G 1：y ＝﹣x 2+2mx +m 和G 2：y ＝﹣x 2+2nx +n （n ＞m ）相交于点A ，过点A 的直线l ：y ＝kx +b 与抛物线G 1交于另一点B ，与抛物线G 2交于另一点C ，抛物线G 1的顶点为点M ，抛物线G 2的顶点为点N ．
(1)直接写出顶点M 的坐标；（用含m 的式子表示）
(2)当m ＝﹣3，n ＝2，且直线l ∥x 轴时，求证：MB ＝NA ；
(3)当k ≠0时，若AB ＝AC ，求直线l 的表达式．（用含m ，n 的式子表示）
36．（2022·河南开封·九年级期末）如图，抛物线24y ax =+的图象与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OC ＝AB ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D（1，3）在抛物线上，若点P是直线AD上的一个动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，且以PQ为斜边作等腰直角∠PQE．
①当点P与点D重合时，求点E到y轴的距离．
②若点E落在抛物线上，请直接写出E点的坐标．
37．（2022·广东广州·九年级期末）已知抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y2＝mx+3﹣
2m，其中m≠0．
(1)当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；
(2)求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；
(3)在（2）的结论下，解决下列问题：
①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；
②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线'G，试结合图象探究：若在抛物线G与直线h，抛物线'G与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．
38．（2021·浙江台州·九年级期末）某一种蜜桔在农贸水果市场的需求量y1（万斤）、市场供应量y2（万斤）与市场价格x（元/斤）分别满足下列关系：y1=-0.2x + 2.8 ，y2= 0.4x - 0.8．当y1=y2 时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
(1)求平衡价格和平衡需求量．
(2)若该蜜桔的市场销售量 y （万件）是市场需求量 y 1 和市场供应量 y 2 两者中的较小者，该蜜桔的市场销售额 P （万元）等于市场销售量 y 与市场价格 x 的乘积．当市场价格 x 取何值时，市场销售额 P 取得最大值？
(3)蜜桔的每斤进价为 m 元，若当 3≤x ≤10 时，随着 x 的增大，蜜桔的销售利润（万元）会经历先减小后增大再减小的变化，请直接写出 m 的取值范围．
39．（2022·北京海淀·九年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，点(4,3)在抛物线23(0)y ax bx a =++>上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知0m >，当222+m x m -≤≤时，y 的取值范围是13y -≤≤，求a ，m 的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数n ，当2n x n -<<时，y 的取值范围是3335n y n -<<+，若存在，直接写出n 的值；若不存在，请说明理由．
40．（2022·广东广州·九年级期末）已知抛物线y 12=-x 2+mx +m 12
+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，52
-），点P 为抛物线在直线AC 上方图象上一动点． （1）求抛物线的解析式；
（2）求∠P AC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y 12=-x 2+mx +m 12
+在点A 、B 之间的部分（含点A 、B ）沿x 轴向下翻折，得到图象G ．现将图象G 沿直线AC 平移，得到新的图象M 与线段PC 只有一个交点，求图象M 的顶点横坐标n 的取值范围．
41．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级期末）“三高四新”战略是习近平总书记来湘考察时，为建设现代化新湖南擘画的宏伟战略蓝图．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点()3,4P 称为“三高四新”点，经过()3,4P 的函数，称为“三高四新”函数．
（1）下列函数是“三高四新”函数的有_____；
①22y x =- ②2613y x x =-+ ③23611y x x =-++ ④12y x
= （2）若关于x 的一次函数y kx b =+是“三高四新”函数，且它与y 轴的交点在y 轴的正半轴，求k 的取值范围；
（3）关于x 的二次函数()2134
y x =-的图象顶点为A ，点()11,M x y 和点()22,N x y 是该二次函数图象上的点且使得90MAN ∠=︒，试判断直线MN 是否为“三高四新”函数，并说明理由．
42．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+2x +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，交y 轴于点C （0，3），顶点为D ．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E 为线段BD 上的一个动点，作EF ∠x 轴于点F ，连接OE ，当∠OEF 面积最大时．求点E 的坐标；
（3）G 是第四象限内抛物线上一点，过点G 作GH ∠x 轴于点H ，交直线BD 于点K 、且145OH GK =
，作直线AG ．
①点G 的坐标是 ；
②P 为直线AG 上方抛物线上一点，过点P 作PQ ∠AG 于点Q ，取点70,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，点N 为平面内一点，若四边形MPNQ 是菱形，请直接写出菱形的边长．
43．（2022·天津和平·九年级期末）已知抛物线2y (1)23x m x m =-+++（m 为常数），点A （-1，-1），B （3，7）．
（1）当抛物线2y (1)23x m x m =-+++经过点A 时，求抛物线解析式和顶点坐标； （2）抛物线的顶点随着m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时， ①求抛物线的解析式；
②在直线AB 下方的抛物线上有一点E ，过点E 作EF ∠x 轴，交直线AB 于点F ，求线段EF 取最大值时的点E 的坐标；
（3）若抛物线与线段AB 只有一个交点，求m 的取值范围．
44．（2021·辽宁沈阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+2x 与x 轴正半轴交于点A ，点B 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且在对称轴右侧，点C 是平面内一点，四边形OBCD 是平行四边形．
（1）求点A 的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若点B 的纵坐标是﹣3，点D 的横坐标是
5
2
，则S ▱OBCD ＝ ； （3）若点C 在抛物线上，且▱OBCD 的面积是12，请直接写出点C 的坐标．
45．（2021·山东济南·九年级期末）定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y 1＝（x ﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y 2＝﹣（x ﹣1）2+2．
（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标；
（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B 作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B'、C'，连接BC、CC'、B C''、BB'．
''为正方形时，求a的值．
①当四边形BB C C
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
46．（2021·四川成都·九年级期末）如图1，抛物线C
1：y＝ax2+bx+c经过A(﹣1，0)，B(5，0)，C(0三点，直线DF为该抛物线的对称轴，连接线段AC，∠CAB的平分线AE交抛物线C1于点E．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C'，将原抛物线沿对称轴向下平移经过点C′得到抛物线C2，在射线AE上取点Q，连接CQ，将射线QC绕点Q逆时针旋转120°交抛物线C 2于点P，当CAQ为等腰三角形时，求点P的横坐标；
（3）如图2，将抛物线C1沿一定方向平移，使顶点D'落在射线AE上，平移后的抛物线C3与线段CB相交于点M、N，线段CB与DF相交于点Q，当点Q恰好为线段MN的中点时，求抛物线C3的顶点坐标．
47．（2022·河南·驻马店市第二初级中学九年级期末）已知抛物线()2
123y x m x m =-+++
（1）当0m =时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； （3）已知点()1,1E --、()3,7F ，若该抛物线与线段EF 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
48．（2021·广东·海珠外国语实验中学九年级期末）已知函数2211
()
22()
x x m x m y x mx m x m ⎧-++<⎪=⎨⎪-+≥⎩，记该函数图像为G ．
（1）当2m =时，
①已知()4,M n 在该函数图像上，求n 的值； ②当02x ≤≤时，求函数G 的最大值； （2）当0m >时，作直线1
2
x m =
与x 轴交于点P ，与函数G 交于点Q ，若45POQ ∠=︒时，求m 的值； （3）当3m ≤时，设图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过B 做BC BA ⊥交直线x m =与点C ，设点A 的横坐标为a ，C 点的纵坐标为c ，若3a c =-，求m 的值．
49．（2022·福建·莆田擢英中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点70,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点11,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当22x -≤≤时，求二次函数2y x bx c =++的最大值和最小值；
（3）点P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点P 作//PQ x 轴，点Q 的横坐标为21m -+．已知点P 与点Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而减小． ①求m 的取值范围；
②当7PQ ≤时，直接写出线段PQ 与二次函数2
123y x bx c x ⎛⎫=++-≤< ⎪⎝
⎭的图象交点个数及对应的m 的取
值范围．
50．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于(1,0)A -，(3,0)B 两点，交y 轴于点(0,3)C -，点Q 为线段BC 上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求||||QO QA +的最小值；
（3）过点Q 作//PQ AC 交抛物线的第四象限部分于点P ，连接P A ，PB ，记PAQ △与PBQ 的面积分别为1S ，2S ，设12S S S =+，求点P 坐标，使得S 最大，并求此最大值．
51．（2021·浙江·九年级期末）在平面直角坐标系中抛物线21:L y x bx c =-++经过点()()1,0,3,0A B -，顶点为点E ．过点E 作x 轴的垂线EH ，垂足为H ．
（1）求抛物线1L 对应的函数表达式；
（2）如图1，将抛物线1L 向下平移得到抛物线2L ，抛物线2L 与x 轴交于C ，D 两点，其顶点F 恰为EH 的中点，求BD 的长．
（3）如图2，将（2）中的抛物线2L 沿x 轴正方向平移，当点C 与点B 重合时，将这两条抛物线在x 轴以
上（包括x 轴上）部分的图象记为L ．若点(),,()a m a n 在图象L 上，且m n ≥，求a 的取值范围．
52．（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点()1,A r 与点(),4B s 是关于x 的“T 函数”()()2
4
0,
0,0,.x x y tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≥≠⎩
是常数的图象上的一对“T 点”，则
r =______，s =______，t =______（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”；如果不是，请说明理由；
（3）若关于x 的“T 函数”2y ax bx c =++（0a >，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:l y mx n =+（0m ≠，0n >，且m ，n 是常数）交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，当1x ，2x 满足
()
1
1211x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理
由．
53．（2021·浙江·九年级期末）定义：在平面直角坐标系中，有一条线段AB ，若抛物线21111y a x b x c =++的
顶点是A ，经过点B ，抛物线2
2222y a x b x c =++的顶点是B ，经过点A ，称这两条抛物线是关于线段AB 的
一对“有礼抛物线”，如图所示．
（1）若抛物线()2
1213y x =-+与()2
225y a x =-+是一对“有礼抛物线”，求a 的值．
（2）若线段AB 两端点坐标是()(),,e f m n 、
，关于线段AB 的一对有礼抛物线是21111y a x b x c =++和22222y a x b x c =++，猜想1a 与2a 的数量关系，并证明你的猜想．
（3）若抛物线()2
11
22
y x =-的顶点为A ，它与y 轴交于点E ，点B 在抛物线上，关于线段AB 的另一条“有
礼抛物线”2
2222y a x b x c =++与y 轴交点记为点F ，若6EF =，求2y 的函数关系式．
54．（2022·山东济南·九年级期末）二次函数2()40y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式；
（3）请判断：
PQ
QB
是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由． 55．（2022·江西·上犹县教学研究室九年级期末）如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -．
（1）求,b c 的值；
（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ． ①求点M 的坐标；
②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MN y 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1-，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L 于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值．。