空间直线在平面上投影的求解方法

第23卷第2期2020年3月
高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS
Vol.23,No.2
Mr,2020
doi：10.3969/j I ss,1008-1399.2020.02.009
空间直线在平面上投影的求解方法
张辉，王兆强
(火箭军工程大学基础部,陕西西安710025)
摘要介绍了求解空间直线在平面上投影的五种方法，旨在对空间直线的投影问题有更深的理解和掌握.
关键词空间直线；平面；投影；平面束方程
中图分类号O13文献标识码A文章编号1008—1399(2020)-0028-02
Calculating Projection of Space Lines onto Planes
ZHANG Hui and WANG Zhaoqiang
(Department of Basic Courses,Rocket Force University of Engineering,Xi'an710025,China)
Abstract This paper summarizes five ways in calculating the projection of space lines onto planes,which provides a clear and comprehensive understanding of the projection.
Keywords spaceline!plane!projecion!planebeameZuaion
空间解析几何是高等数学的重要内容，有利于A1%+A i y+G)+D i+A(A?%+B2y+82)+D2)=0.
培养学生的空间想象和思维能力，而空间直线在平面上投影工的求解问题是其重点和难点•下面介绍求解空间直线1在平面K,Ax+By+C)+D=0上投影的五种方法，给出相应的求解思路,供参考学习•
为方便起见,记平面"的法线向量为(1=(A, B,C).
方法一：利用过直线的平面束的方程
设直线1的一般方程为
f A1%+B1y+C1)+D1=0,
J A2%+B2y+C2)+D2=0
则过1的平面束的方程为
收稿日期2019-03-20修改日期2019-05-30
基金项目：国家自然科学基金(61603398)*中国科协青年人才托举工程(17—JCJQ—QT—022)陕西省自然科学基础研究计划
(2018JM6007)；陕西省高校科协青年人才托举计划
(20170109)
作者简介:张辉(1982—),男，河南获嘉人，硕士，副教授，主要从事大学数学教学研究，Email:zhanghui4958@.
王兆强(1986—),男，山东潍坊人，博士，讲师，主要从事大
学数学教育和应用数学研究.Email：zhaoqiangwang@126.
com.
记其法线向量为
n(2=(A1+A A2!B1+A B2!C1+A C2)
为求解投影平面的方程，现需要(1和(2垂直,即(1•(2=0,此时满足上条件的(2所对应的平面束的方程即为投影平面的方程.通过计算可得A AA1+BB1+CC1
AA2+BB2+CC2
，即投影平面的一般方程为[B(A1B Z-AB1)+C(A1G—A-C1)3%
+[C(B iG-BC1)+A(C1A2—G A1)$
+[A(C1A-—C-A1)+BCC1B^—C-B1)-)
+B(D!B2-DB1)+C(D i G—D z C1)=0,
进而联立平面"的方程A r+B；y+C)+D=0可得投影直线的一般方程.
特别地,若向量(A1,B1,C1)或(A2,B2,G)和n(1垂直则所求的投影平面的一般方程为
A1%+B1y+C1)+D1=0
或
A2%+B2y+C2)+D z=0,
故所求投影直线的一般方程为
4A1%+By+G)+D i=0,
[A z+By+C)+D=0
第23卷第2期张辉，王兆强：空间直线在平面上投影的求解方法29或
j A2%十B2y十C2）十D2=0,
3A r十By十C）十D=0
方法二：利用方向向量和法线向量的向量积
设直线1的点向式方程为％一％0=$一$=
m<
%=mt十％0,
）-）0或参数方程为J y=6十y°,,记其一方向向
）=pt+）0
量为（=（m<p）.为求投影平面，需要投影平面的
法线向量与（1和（都垂直，现取其一法线向量为
(((
(1X(=A B C
m<p
=(pB―<C%>十(mC―pA)p十(nA ―mB%k,
即投影平面的点法式方程为
pB一nC)%—％0%十(mC―pA)(y—y0%
+(nA—mB%()—)0%=0!
进而联立平面兀的方程A c+B»十）十D=0可得
投影直线的一般方程•
特别地，当1丄"时，有<1##，此时1在平面兀
上的投影为一点•为了求此投影点的坐标，现将1参
数方程代入到"的方程A c+B»+C）十D=0中可
得参数6的取值为60=—A r0十By0十C)0十D故
mA十nB十pC，
所求的投影点坐标为
（60十%0,<0十y0,p^0十）0%
方法三：求解投影直线的方向向量
设直线1的点向式方程为％一％0=$—$
mn
%=mt十％0，
）-）0或参数方程为j$=6十y。

，，记其一方向向p
）=pt十）0量为（=（m，n，p%.现将1的参数方程代入到平面"方程中可得1与平面兀的交点坐标为（％1，y1，）1%，显然此交点也在投影直线上.记投影直线的一方向向量为5投=5—A<1（A为未知参数），如图1所示，
贝0有（投・（1=5・（1—A（112=0，即A=，
丨<1
则
（（<・心（（A（mA十nB 十pC%
5投=5—n p n1=（m—A2+B2+C2，
B（mA 十nB十pC%,C（mA十nB十pC%% n一A2+B2+C2—，p一A2+B2+C2—儿
故由交点坐标（％1，y1，）1%和方向向量5投可得投影直线的点向式方程.
命题1&2'平面外一点P0（%0，y。

，）0%在平面A c+B»+C）+D=0上的投影点的坐标为
严。

^十C2）—A（By+C）0+D%
A2+B2+C2，
y。

（A2十C2%—B（A r0十）。

+D）
A2十B2十C2，
）0（A2十B2%-C C十B»0十D）%
A2+B2+C2儿特别地，当111"时,取1的方向向量（=Cm，n，p）为投影直线的方向向量•记1上的点（%0，y0，）0%在平面"上的投影点的坐标为（％;，y;，）0%，由命题1可得云、/和乳的表达式，故投影直线的点向式方程为
%—%0=y—y0=）—）0
m n p
方法四：利用三向量共面求投影平面
已知L上的两点为M1=（%1，y1，）1%和M2=（%2，y2，）2%，记点M=%，y，）%为投影平面上任一点，则三向量同50MM和（1共面，即M#0MM 和（1的混合积（MM X M1A#%•（1=0，进
%―%1y―y1）―）1
而有%2—%1y2一y1）2—）1=0，展开可得投ABC
影平面的点法式方程为
y!—y1)!—)1
B C
(%—-%1%+
)2―)1%2―%1
C A
(y—y1%十
%!—%1
A
y2—y1
B
()—)]%=0，
（下转第32页
）
"2高等数学研究2020年"月
虑用定义求该点处的高阶偏导数•需要注意的是:分
段函数在分界点处的偏导数及高阶偏导数都需要用
定义来求.例如，设函数
C.%^yy+(0,0)
(%^y)=(0,0)
如果要求f%y(0,0),就必须用定义.
以上就是文中所给题目的四种解法，比较上述
四种解法，显然解法3是最妙、最简单的方法，这种
方法的简单之美之优势在求解复杂函数在一点的高
阶纯偏导数时显更明显.例如，设函数^^fC%,')=
y cos(%—1)—($—1)cos y
1+sin(%—1)+sin y求f yy(10)由于
y cos y (1+sin y)2
y
1+sin y
所以，忙1
1+sin y 因此
y sin y——2cos y
(1+sin y)2
+
2y cos2y (1+sin y)3故f y(1,0)
d'f d y)
dy2y_0
—2
上述四种方法其实是求解函数在一点处的高阶秋，每种方法都有自己的使用范围和条件,针对不同的题目要灵活选择合适的方法.另外，《高等数学》课程中很多题目都可以用多种思路和方法来求解,如极限的计算、不定积分和定积分的计算、第二类曲线积分和第二类曲面积分的计算、隐函数求导或求偏导数等等，在教学过程中，教员应根据教学内容,合理设计一些一题多解的题目，鼓励学员积极参与到教学活动，鼓励学员敢于标新立异，勇于提出问题、开展交流和讨论，这样才有利于学员突破思维的局限性,培养学员的发散思维［4］.
参考文献
(1)景慧丽，王惠珍.偏导数易错题分析研究首都师范大学学
报2019,40(1):78—82.
()同济大学应用数学系.高等数学(下)M).第七版.北京：高等教育出版社，2014：69.
()武忠祥.工科数学分析基础教学辅导书(下)M).北京：高等教育出版社，2007:109.
()景慧丽，杨宝珍，刘华，等•一个不等式的证明方法探讨重庆工商大学学报(自然科学版)，2014,31(8):24—26.
偏导数常用的方法，这四种方法各有利弊、各有千
(上接第29页)
进而联立平面-的方程A:r+B；y+Cz+D=0可得投影直线的一般方程.
方法五：利用点在平面上的投影
已知直线1上的两点为M1=(%1,y1,1)和M z=(%2,y2,z2),记其在平面-上的投影分别为
N1=("1,L1,S1)和R2=("2,5,S2)，由命题1可得坐标"1、1S1、-2L和U>2的表达式,即取N1N；为投影直线的一个方向向量故投影直线的点向式方程为％*上1=2一1=z—S1.特别地，如果u2—u1L一L1S2—S1
已知直线1的方程,也可以先得到直线1与平面-的交点的坐标,再在直线上任找一点,由命题1得到该点在平面-上的投影点的坐标,最后由线面交点和投影点的坐标可得投影直线的点向式方程事实上,在研究空间直线在平面上的投影问题时,关键是由空间直线方程的形式来确定求解方法,若已知空间直线的一般方程则往往采用方法一若为点向式方程或参数方程则采用方法二若已知直线上两点坐标则采用方法四较为方便需要注意的是,对于同一个问题,如果从不同的角度去分析,采用不同的处理方式或途径去解决就能得到不同的求解方法,通过比较可以选择便捷高效的方法,并在不断的分析比较中,使得学生将所学知识融会贯通、熟练掌握，进而培养学生分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力.
参考文献
(1)同济大学数学系.高等数学：下册［M).第七版北京：高等教
育出版社,201435—36.
()张辉,敬斌,陈春梅.空间点与线面距离和投影问题的探讨().读书文摘2017,(5)
71.。