2024贵阳中考数学一轮中考题型研究 第27讲 与圆有关的计算(课件)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
算结果保留根号) 解：如解图，连接 BD，过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，
∵FO 为 AB 的中垂线，
∴FA＝FB，
∴∠FAO＝∠FBO＝30°，
则∠CAF＝∠FAO＝30°， ∴∠DOB＝2∠DAB＝60°，
第 7 题解图
∵OB＝OD，
∴△OBD 为等边三角形， ∵DM⊥AM， ∴DM 垂直平分 OB， ∴∠ODM＝30°， 在 Rt△ODM 中，OD＝6， 则 OM＝3，DM＝ OD2－OM2＝3 3，(7 分) 第 7 题解图
＝1，∠AOB＝30°，则点 O 所经过的路径长是 6π ．
第 4 题图
与圆有关的阴影部分面积计算
5．如图，C、D 是半圆 O 上的三等分点，直径 AB＝4，连接 AD、AC， DE⊥AB，垂足为 E，DE 交 AC 于点 F.
第 5 题图
(1)求∠AFE 的度数； 解：如解图，连接 OD、OC， ∵C、D 是半圆 O 上的三等分点，
nπR2 360
＝__12_R_l__
(R为圆的半径， n°为弧所对的圆 心角的度数，l是 扇形的弧长)
∴S
△OPA＝12OA
·A
P＝1×3×3 2
3＝9 3， 2
∴S 阴影＝S 四边形 OAPB－S 扇形 AOB＝2S△OPA－S 扇形 AOB ＝2×9 3－120π·32＝9 3－3π.(10 分)
2 360
第6题图
7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，FO⊥AB，垂足 为点 O，连接 AF 并延长交⊙O 于点 D，连接 OD 交 BC 于点 E，∠B＝ 30°，FO＝2 3.
1 贵阳近年真题及拓展 2 考点精讲
贵阳近年真题及拓展
弧长的计算
1．用等分圆的方法，在半径为 OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运 草，若 OA＝2，则四叶幸运草的周长是 4 2π ．
第 1 题图
2．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，分别以AB，AC为直
径画半圆，两半圆相交于点F，则图中阴影部分的周长为( A )
A．4π＋4 2
B．8π＋4 2
C．4π＋2 2
D．4π
第2题图
3．如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的月牙问题，此图由三个半圆
构成，三个半圆的直径分别为 Rt△ABC 的三条边．若 BC＝10，∠BAC
＝90°，∠ABC＝30°，则阴影部分的周长为
(125＋5 2
3 )π
．
第 3 题图
4．如图，扇形 AOB 放置在直线 l 上，由①无滑动地滚动到③处，若 OA 7
第 5 题解图
6．如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于点 A，B，∠APB＝60°.连接 AO，
BO.
︵ (1)AB
所对的圆心角∠AOB＝
120
度；
第 6 题图
【解法提示】∵PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－60°＝120°.
扇形
A
B
E
＝1×2 2
3×2－30×π×(2 360
3)2＝2
3－π.
考点精讲
【对接教材】九下第三章P100－P102.
扇形弧长 与面积的
弧长公式
圆的周长：C＝__2_π_R____
nπR
弧长：l＝___18_0____
计算(如 图1)
面积公式
图1
圆的面积：S＝___π_R_2___
扇形的面积：S扇形＝
︵︵︵ ∴AD＝DC＝BC， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°， ∴∠CAB＝12∠COB＝30°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， ∴∠AFE＝180°－90°－30°＝60°；(5 分)
第 5 题解图
(2)求阴影部分的面积．(结果保留π和根号) 解：∵AO＝DO，∠AOD＝60°， ∴△AOD 是等边三角形．∵AB＝4， ∴AO＝AD＝2，AE＝12AO＝1，∴DE＝ 3， ∴S△AOD＝12AO·DE＝12×2× 3＝ 3. ∵S 扇形 OAD＝n3π6r02＝603π6×0 22＝23π， ∴S 阴影＝S 扇形 OAD－S△AOD＝23π－ 3.(10 分)
第 8 题解图
(2)若AB＝2 3，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．
解：∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD＝60°.
∵BF⊥CD，∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∵AB＝BF＝2 3， ∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，
第8题图
∴S
阴影＝S△ABD－S
(2)求证：PA＝PB； 解：证明：如解图，连接 OP. 在 Rt△OAP 和 Rt△OBP 中， OOAP＝＝OOPB， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL)，(5 分) ∴PA＝PB；(6 分)
第6题图
(3)若OA＝3，求阴影部分的面积． 解：∵△OAP≌△OBP，
∴∠OPA＝∠OPB＝12∠APB＝30°，(7 分) 在 Rt△OAP 中，OA＝3，∴AP＝3 3，(8 分)
在△CAF 和△OAF 中，
∠C＝∠AOF ∠CAF＝∠OAF， AF＝AF
∴△CAF≌△OAF(AAS)，
∴S △CAF ＝S △OA F ，
则 S 阴影＝S△ACF＋S△FOD＝S△AOF＋S△FOD
第 7 题解图
＝S△AOD＝12AO·DM＝12×6×3 3＝9 3.(10 分)
8．如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接 BD，以点 B 为圆心，BA 长为半径作⊙B，交 BD 于点 E.
第 8 题图
(1)试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由； 解：CD 与⊙B 相切，理由如下：
如解图，过点 B 作 BF⊥CD 于点 F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB，
第 8 题解图
∴∠ADB＝∠CDB，
又∵BD＝BD，∠BAD＝∠BFD＝90°， ∴△ABD≌△FBD(AAS)， ∴BF＝BA，则点 F 在⊙B 上， ∴CD 与⊙B 相切；
第 7 题图
(1)求AC的长度； 解：∵FO⊥AB，∴∠FOB＝90°，
在 Rt△FBO 中，∠B＝30°，∠FOB＝90°，FO＝2 3，
∴FB＝4 3，OB＝6，(2 分)
∴AB＝2BO＝12.
又∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠C＝90°.
∵∠ABC＝30°，
∴AC＝12AB＝6；(5 分)
第7题图
∵FO 为 AB 的中垂线，
∴FA＝FB，
∴∠FAO＝∠FBO＝30°，
则∠CAF＝∠FAO＝30°， ∴∠DOB＝2∠DAB＝60°，
第 7 题解图
∵OB＝OD，
∴△OBD 为等边三角形， ∵DM⊥AM， ∴DM 垂直平分 OB， ∴∠ODM＝30°， 在 Rt△ODM 中，OD＝6， 则 OM＝3，DM＝ OD2－OM2＝3 3，(7 分) 第 7 题解图
＝1，∠AOB＝30°，则点 O 所经过的路径长是 6π ．
第 4 题图
与圆有关的阴影部分面积计算
5．如图，C、D 是半圆 O 上的三等分点，直径 AB＝4，连接 AD、AC， DE⊥AB，垂足为 E，DE 交 AC 于点 F.
第 5 题图
(1)求∠AFE 的度数； 解：如解图，连接 OD、OC， ∵C、D 是半圆 O 上的三等分点，
nπR2 360
＝__12_R_l__
(R为圆的半径， n°为弧所对的圆 心角的度数，l是 扇形的弧长)
∴S
△OPA＝12OA
·A
P＝1×3×3 2
3＝9 3， 2
∴S 阴影＝S 四边形 OAPB－S 扇形 AOB＝2S△OPA－S 扇形 AOB ＝2×9 3－120π·32＝9 3－3π.(10 分)
2 360
第6题图
7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，FO⊥AB，垂足 为点 O，连接 AF 并延长交⊙O 于点 D，连接 OD 交 BC 于点 E，∠B＝ 30°，FO＝2 3.
1 贵阳近年真题及拓展 2 考点精讲
贵阳近年真题及拓展
弧长的计算
1．用等分圆的方法，在半径为 OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运 草，若 OA＝2，则四叶幸运草的周长是 4 2π ．
第 1 题图
2．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，分别以AB，AC为直
径画半圆，两半圆相交于点F，则图中阴影部分的周长为( A )
A．4π＋4 2
B．8π＋4 2
C．4π＋2 2
D．4π
第2题图
3．如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的月牙问题，此图由三个半圆
构成，三个半圆的直径分别为 Rt△ABC 的三条边．若 BC＝10，∠BAC
＝90°，∠ABC＝30°，则阴影部分的周长为
(125＋5 2
3 )π
．
第 3 题图
4．如图，扇形 AOB 放置在直线 l 上，由①无滑动地滚动到③处，若 OA 7
第 5 题解图
6．如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于点 A，B，∠APB＝60°.连接 AO，
BO.
︵ (1)AB
所对的圆心角∠AOB＝
120
度；
第 6 题图
【解法提示】∵PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－60°＝120°.
扇形
A
B
E
＝1×2 2
3×2－30×π×(2 360
3)2＝2
3－π.
考点精讲
【对接教材】九下第三章P100－P102.
扇形弧长 与面积的
弧长公式
圆的周长：C＝__2_π_R____
nπR
弧长：l＝___18_0____
计算(如 图1)
面积公式
图1
圆的面积：S＝___π_R_2___
扇形的面积：S扇形＝
︵︵︵ ∴AD＝DC＝BC， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°， ∴∠CAB＝12∠COB＝30°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， ∴∠AFE＝180°－90°－30°＝60°；(5 分)
第 5 题解图
(2)求阴影部分的面积．(结果保留π和根号) 解：∵AO＝DO，∠AOD＝60°， ∴△AOD 是等边三角形．∵AB＝4， ∴AO＝AD＝2，AE＝12AO＝1，∴DE＝ 3， ∴S△AOD＝12AO·DE＝12×2× 3＝ 3. ∵S 扇形 OAD＝n3π6r02＝603π6×0 22＝23π， ∴S 阴影＝S 扇形 OAD－S△AOD＝23π－ 3.(10 分)
第 8 题解图
(2)若AB＝2 3，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．
解：∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD＝60°.
∵BF⊥CD，∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∵AB＝BF＝2 3， ∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，
第8题图
∴S
阴影＝S△ABD－S
(2)求证：PA＝PB； 解：证明：如解图，连接 OP. 在 Rt△OAP 和 Rt△OBP 中， OOAP＝＝OOPB， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL)，(5 分) ∴PA＝PB；(6 分)
第6题图
(3)若OA＝3，求阴影部分的面积． 解：∵△OAP≌△OBP，
∴∠OPA＝∠OPB＝12∠APB＝30°，(7 分) 在 Rt△OAP 中，OA＝3，∴AP＝3 3，(8 分)
在△CAF 和△OAF 中，
∠C＝∠AOF ∠CAF＝∠OAF， AF＝AF
∴△CAF≌△OAF(AAS)，
∴S △CAF ＝S △OA F ，
则 S 阴影＝S△ACF＋S△FOD＝S△AOF＋S△FOD
第 7 题解图
＝S△AOD＝12AO·DM＝12×6×3 3＝9 3.(10 分)
8．如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接 BD，以点 B 为圆心，BA 长为半径作⊙B，交 BD 于点 E.
第 8 题图
(1)试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由； 解：CD 与⊙B 相切，理由如下：
如解图，过点 B 作 BF⊥CD 于点 F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB，
第 8 题解图
∴∠ADB＝∠CDB，
又∵BD＝BD，∠BAD＝∠BFD＝90°， ∴△ABD≌△FBD(AAS)， ∴BF＝BA，则点 F 在⊙B 上， ∴CD 与⊙B 相切；
第 7 题图
(1)求AC的长度； 解：∵FO⊥AB，∴∠FOB＝90°，
在 Rt△FBO 中，∠B＝30°，∠FOB＝90°，FO＝2 3，
∴FB＝4 3，OB＝6，(2 分)
∴AB＝2BO＝12.
又∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠C＝90°.
∵∠ABC＝30°，
∴AC＝12AB＝6；(5 分)
第7题图