2020高考冲刺提分作业(可自主编辑word)解三角形

第4讲 解三角形
1.(2018江苏南通调研)在△ABC 中,已知AB=1,AC=√2,B=45°,则BC 的长为 .
2.(2019扬州中学检测,6)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a 2-b 2=2bc,sin C=3sin B,则A= .
3.(2019金陵中学调研,7)在△ABC 中,已知AB=3,BC=7,A=120°,则△ABC 的面积为 .
4.(2018江苏南京、盐城模拟)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若bsin Asin B+acos 2B=2c,则a
c 的值为 .
5.(2019南通、如皋二模,9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=2,b=3,C=2A,则cos C 的值为 .
6.(2018苏锡常镇四市调研)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且满足acos B-bcos A=3
5c,
则tanA
tanB = .
7.(2018南京师大附中模拟)在△ABC 中,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则cos C 的最小值是 .
8.(2019无锡期末,14)在锐角三角形ABC 中,已知2sin 2A+sin 2B=2sin 2C,则1
tanA +1
tanB +1
tanC 的最小值为 .
9.(2018苏锡常镇四市调研)在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,设△ABC 的面积为S,且4S=√3(a 2+c 2-b 2). (1)求角B 的大小;
(2)设向量m=(sin 2A,3cos A),n=(3,-2cos A),求m ·n 的取值范围.
10.(2019江苏七大市三模,15)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对边的长,a(sin A-sin B)=(c-
b)(sin B+sin C).
(1)求角C的大小;
(2)若a=4b,求sin B的值.
11.(2018江苏扬州中学模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量
),且m·n=1.
m=(1,2),n=(cos2A,cos2A
2
(1)求角A的大小;
)的值.
(2)若b+c=2a=2√3,求sin(B-π
4
答案精解精析
1.答案
√2+√6
2
解析 由余弦定理可得2=BC 2+1-√2BC,即BC 2-√2BC-1=0,解得BC=√2+√6
2
(舍负). 2.答案
π3
解析 由sin C=3sin B 及正弦定理得c=3b,代入a 2-b 2=2bc 得a 2=7b 2,则cos A=
b 2+
c 2-a 2
2bc
=
b 2+9b 2-7b 2
2b ·3b
=1
2,又∵A ∈(0,π),∴A=π
3.
3.答案
15√3
4
解析 根据余弦定理知
BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos 120°, 即49=9+AC 2-2×3·AC ·(-1
2), ∴AC 2+3AC-40=0, ∴AC=5或AC=-8(舍),
∴S △ABC =1
2AB ·AC ·sin A=1
2×3×5×√3
2=
15√3
4
. 4.答案 2
解析 由正弦定理及题意得sin Asin 2B+sin Acos 2B=2sin C,即sin A=2sin C,则a
c =
sinA sinC
=2.
5.答案
14
解析 因为C=2A,所以sin C=sin 2A,即sin C=2sin Acos A, 由正弦定理,得c=2acos A, 所以cos A=c
2a =c
4, 由余弦定理,得cos A=
b 2+
c 2-a 2
2bc
=
9+c 2-46c
=c
4,解得c 2=10,
故cos C=
a 2+
b 2-
c 2
2ab
=
4+9-1012
=1
4.
6.答案 4
解析 由正弦定理可将条件acos B-bcos A=3
5c 变形为sin Acos B-sin Bcos A=3
5sin C,则sin Acos B-sin Bcos A=3
5sin(A+B)=3
5(sin Acos B+cos Asin B),化简得sin Acos B=4sin Bcos A,所以tan A=4tan B,即tanA tanB =4. 7.答案
√23
解析 设△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即bccos A+2accos B=3abcos C,bc ·b 2+c 2-a 2
2bc
+2ac ·
a 2+c 2-
b 2
2ac
=3ab ·
a 2+
b 2-
c 2
2ab
,化简得a 2+2b 2=3c 2,则cos
C=
a 2+
b 2-
c 2
2ab
=
2a 2+b 26ab
≥
2√26
=√2
3,当且仅当√2a=b 时取等号,故最小值是√2
3.
8.答案
√13
2
解析 解法一:2sin 2A+sin 2B=2sin 2C ⇒2a 2+b 2=2c 2, cos C=a 2+b 2-c 2
2ab
=b 2
4ab =b 4a =sinB
4sinA
=sin (A+C )4sinA =
sinAcosC+sinCcosA
4sinA
=
cosC
4+sinC
4tanA ,
则
3cosC
4
=sinC
4tanA ⇒tan C=3tan A,
由tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,得 4tan A+tan B=3tan 2Atan B ⇒tan B=4tanA
3tan A -1, 故1
tanA +1
tanB +1
tanC =4
3tanA +
3tan 2A -14tanA
=1312tanA +
3tanA 4
,
因为A ∈(0,π
2),所以tan A>0, 所以
1tanA
+
1
tanB
+
1
tanC
=
1312tanA
+
3tanA 4
≥
√13
2
, 当且仅当1312tanA =
3tanA 4
时等号成立.
解法二:如图,不妨设BD=1,AD=x,CD=y,
则b 2=(x+y)2,c 2=x 2+1,a 2=y 2+1, 由2sin 2A+sin 2B=2sin 2C ⇒2a 2+b 2=2c 2,
即(x+y)2=2(x 2-y 2)⇒(x+y)(x+y)=2(x+y)(x-y)⇒x=3y, 因为tan A=1x ,tan C=1
y (x>0,y>0), 所以tan B=-tan(A+C)=-tanA+tanC
1-tanAtanC =-1x +1y 1-1x ·1y
=-x+y xy -1=-4y
3y .
由tan B>0⇒0<xy<1,0<y<√33, 所以
1tanA
+
1
tanB
+
1
tanC
=3y+
1-3y 24y
+y=4y+
1-3y 24y
=
1+13y 24y
=14y
+
13y 4
≥
√13
2.当且仅当14y =13y 4
,即y=
√13
13
时取等号.
9.解析 (1)由题意得4×1
2acsin B=√3(a 2+c 2-b 2), 则
sin B=√3(a 2+c 2-b 2)
2ac
,
所以sin B=√3cos B. 因为sin B ≠0,所以cos B ≠0, 所以tan B=√3.又0<B<π,所以B=π
3.
(2)由向量m=(sin 2A,3cos A),n=(3,-2cos A),得 m ·n=3sin 2A-6cos 2A=3sin 2A-3cos 2A- 3=3√2sin (2A -π
4)-3.易知0<A<2π
3, 所以-π
4<2A-π
4<13π12, 所以-√2
2<sin (2A -π
4)≤1,
所以m ·n 的取值范围为(-6,3√2-3]. 10.解析 (1)在△ABC 中,a(sin A-sin B)= (c-b)(sin B+sin C),
由正弦定理得a(a-b)=(b+c)(c-b), 即a 2+b 2-c 2=ab, 由cos C=
a 2+
b 2-
c 2
2ab
,得cos C=1
2.
又因为0<C<π,所以C=π
3.
(2)解法一:因为a=4b 且a 2+b 2-c 2=ab, 所以c 2=16b 2+b 2-4b 2=13b 2,即c=√13b, 由c
sinC =b
sinB ,得
√13b
√32
=b
sinB ,
所以sin B=√39
26.
解法二:由正弦定理及a=4b 得sin A=4sin B. 由A+B+C=π,得sin(B+C)=sin A=4sin B, 因为C=π
3,所以1
2sin B+√3
2cos B=4sin B, 即7sin B=√3cos B.
又因为sin 2B+cos 2B=1,所以sin 2B=3
52, 因为在△ABC 中,sin B>0, 所以sin B=√39
26.
11.解析 (1)由题意得m ·n=cos 2A+2cos 2A
2=2cos 2A-1+cos A+1=2cos 2A+cos A. ∵m ·n=1,∴2cos 2A+cos A=1, 解得cos A=1
2或cos A=-1. 又0<A<π,∴cos A=1
2,∴A=π
3.
(2)在△ABC中,由余弦定理得
(√3)2=b2+c2-2bc×1
2
=b2+c2-bc,①
又b+c=2 √3,∴b=2 √3-c,代入①整理得c2-2√3c+3=0,解得c=√3,∴b=√3,
于是a=b=c=√3,即△ABC为等边三角形,∴B=π
3
,
∴sin(B-π
4)=sin(π
3
-π
4
)=sinπ
3
·cosπ
4
-cosπ
3
sinπ
4
=√6-√2
4
.。