深圳坪山街道培英学校初中部七年级下册数学期末试卷测试题(Word版 含解析)

深圳坪山街道培英学校初中部七年级下册数学期末试卷测试题（Word版含解
析）
一、解答题
1．如图，直线HD//GE，点A在直线HD上，点C在直线GE上，点B在直线HD、GE之间，∠DAB＝120°．
（1）如图1，若∠BCG＝40°，求∠ABC的度数；
（2）如图2，AF平分∠HAB，BC平分∠FCG，∠BCG＝20°，比较∠B，∠F的大小；
（3）如图3，点P是线段AB上一点，PN平分∠APC，CN平分∠PCE，探究∠HAP和∠N 的数量关系，并说明理由．
2．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
3．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是a︒/秒，灯B射出的光束转动的速度是b︒/秒，且a、b满足
20
-++-=．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即//
a b a b
)
34
(
PQ MN，且
∠=︒．
BAN
45
（1）求a 、b 的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯A 射出的光束到达AN 之前，若两灯射出的光束交于点
C ，过C 作C
D AC ⊥交PQ 于点D ，若20BCD ∠=︒，求BAC ∠的度数；
（3）若灯B 射线先转动30秒，灯A 射出的光束才开始转动，在灯B 射出的光束到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行?
4．已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．
（1）如图1，求证：90A C ∠+∠=︒；
（2）如图2，过点B 作BD MA ⊥的延长线于点D ，求证：ABD C ∠=∠；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，且BF 平分
DBC ∠，BE 平分ABD ∠，若AFC BCF ∠=∠，3BFC DBE ∠=∠，求EBC ∠的度数．
5．已知AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 的角分线相交于点F ．
（1）如图1，若BM 、DM 分别是∠ABF 和∠CDF 的角平分线，且∠BED ＝100°，求∠M 的度数；
（2）如图2，若∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝1
3
∠CDF ，∠BED ＝α°，求∠M 的度数；
（3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1
n
∠CDF ，请直接写出∠M 与∠BED 之间的数量关系
二、解答题
6．问题情境
（1）如图1，已知//, 125155AB CD PBA PCD ︒︒∠=∠=，，求BPC ∠的度数．佩佩同学的思路：过点P 作//PN AB ，进而//PN CD ，由平行线的性质来求BPC ∠，求得BPC ∠
︒
；
问题迁移
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合90,//,ACB DF CG AB ︒∠=与FD 相交于点E ，有一动点P 在边BC 上运动，连接
, PE PA ，记,PED PAC αβ∠=∠∠=∠．
①如图2，当点P 在,C D 两点之间运动时，请直接写出APE ∠与,αβ∠∠之间的数量关系；
②如图3，当点P 在,B D 两点之间运动时，APE ∠与,αβ∠∠之间有何数量关系？请判断并说明理由．
7．如图1所示：点E 为BC 上一点，∠A ＝∠D ，AB ∥CD （1）直接写出∠ACB 与∠BED 的数量关系；
（2）如图2，AB ∥CD ，BG 平分∠ABE ，BG 的反向延长线与∠EDF 的平分线交于H 点，若∠DEB 比∠GHD 大60°，求∠DEB 的度数；
（3）保持（2）中所求的∠DEB 的度数不变，如图3，BM 平分∠EBK ，DN 平分∠CDE ，作BP ∥DN ，则∠PBM 的度数是否改变？若不发生变化，请求它的度数，若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
8．阅读下面材料：
小颖遇到这样一个问题：已知：如图甲，//,AB CD E 为,AB CD 之间一点，连接,,35,37BE DE B D ∠=︒∠=︒，求BED ∠的度数．
她是这样做的： 过点E 作//,EF AB 则有,BEF B ∠=∠ 因为//,AB CD
所以//.EF CD ① 所以,FED D ∠=∠
所以,BEF FED B D ∠+∠=∠+∠ 即BED ∠=_ ； 1．小颖求得BED ∠的度数为__ ； 2．上述思路中的①的理由是__ ； 3．请你参考她的思考问题的方法，解决问题：
已知：直线//,a b 点,A B 在直线a 上，点,C D 在直线b 上，连接,,AD BC BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠且,BE DE 所在的直线交于点E ．
（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，若,ABC ADC αβ∠=∠=，则BED ∠的度数为 ；(用含有,αβ的式子表示)．
（2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，设,ABC ADC αβ∠=∠=，直接写出BED ∠的度数(用含有,αβ的式子表示)．
9．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：
如图1，已知点A 是BC 外一点，连接AB ，AC ，求∠BAC ＋∠B ＋∠C 的度数． （1）阅读并补充下面推理过程 解：过点A 作ED ∥BC ， ∴∠B ＝∠EAB ，∠C ＝ 又∵∠EAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝180° ∴∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180° 解题反思：
从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC ，∠B ，∠C “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用：
（2）如图2，已知AB ∥ED ，求∠B ＋∠BCD ＋∠D 的度数．（提示：过点C 作CF ∥AB ）
深化拓展：
（3）如图3，已知AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧，∠ADC ＝70°，点B 在点A 的左侧，∠ABC ＝60°，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，BE ，DE 所在的直线交于点E ，点E 在AB 与CD 两条平行线之间，求∠BED 的度数．
10．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA 、PB 与直线MN 重合，且三角板PAC ，三角板PBD 均可以绕点P 逆时针旋转． （1）①如图1，∠DPC ＝ 度．
②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD 不动，三角板PAC 从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°<旋转<360°），问旋转时间t 为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．
（2）如图3，若三角板PAC 的边PA 从PN 处开始绕点P 逆时针旋转，转速3°
/秒，同时三角板PBD 的边PB 从PM 处开始绕点P 逆时针旋转，转速2°
/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t 秒，以下两个结论：①CPD
BPN
∠∠为定值；②∠BPN +∠CPD 为定值，请选择你认为对的结论加以证
明．
三、解答题
11．解读基础：
（1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出A ∠、B 、C ∠、D ∠之间的关系，并说明理由；
（2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出A ∠、B 、C ∠、D ∠之间的关系，并说明理由：
应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题
（3）①如图3，在ABC ∆中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，请直接写出A ∠和D ∠的关系 ；
②如图4，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．
（4）如图5，BAC ∠与BDC ∠的角平分线相交于点F ，GDC ∠与CAF ∠的角平分线相交于点E ，已知26B ∠=︒，54C ∠=︒，求F ∠和E ∠的度数．
12．（1）如图1所示，△ABC 中，∠ACB 的角平分线CF 与∠EAC 的角平分线AD 的反向延长线交于点F ；
①若∠B ＝90°则∠F ＝ ；
②若∠B ＝a ，求∠F 的度数（用a 表示）；
（2）如图2所示，若点G 是CB 延长线上任意一动点，连接AG ，∠AGB 与∠GAB 的角平分线交于点H ，随着点G 的运动，∠F +∠H 的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
13．己知:如图①，直线MN ⊥直线PQ ，垂足为O ，点A 在射线OP 上，点B 在射线OQ 上(A 、B 不与O 点重合)，点C 在射线ON 上且2OC =，过点C 作直线//l PQ .点D 在点C 的左边且3CD =
(1)直接写出的BCD ∆面积 ;
(2)如图②，若AC BC ⊥，作CBA ∠的平分线交OC 于E ，交AC 于F ，试说明
CEF CFE ∠=∠;
(3)如图③，若ADC DAC ∠=∠，点B 在射线OQ 上运动，ACB ∠的平分线交DA 的延长线于点H ,在点B 运动过程中
H
ABC
∠∠的值是否变化?若不变，求出其值;若变化，求出变化范围. 14．如图1，CE 平分ACD ∠，AE 平分BAC ∠，90EAC ACE ∠+∠=
()1请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；
()2如图2，当90E ∠=且AB 与CD 的位置关系保持不变，移动直角顶点E ，使
MCE ECD ∠=∠，当直角顶点E 点移动时，问BAE ∠与MCD ∠否存在确定的数量关系？并
说明理由．
()3如图3，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD 上一动点且AB 与CD 的位置关系保持
不变，①当点Q 在射线CD 上运动时（点C 除外），CPQ CQP ∠+∠与BAC ∠有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q 在射线CD 的反向延长线上运动时（点C 除外），CPQ CQP ∠+∠与BAC ∠有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由．
15．如图1，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABD ，DE 平分∠BDC ． （1）求证：∠BED ＝90°；
（2）如图2，延长BE 交CD 于点H ，点F 为线段EH 上一动点，∠EDF ＝α，∠ABF 的角平分线与∠CDF 的角平分线DG 交于点G ，试用含α的式子表示∠BGD 的大小； （3）如图3，延长BE 交CD 于点H ，点F 为线段EH 上一动点，∠EBM 的角平分线与∠FDN 的角平分线交于点G ，探究∠BGD 与∠BFD 之间的数量关系，请直接写出结论： ．
【参考答案】
一、解答题
1．（1）∠ABC＝100°；（2）∠ABC＞∠AFC；（3）∠N＝90°﹣∠HAP；理由见解析．【分析】
（1）过点B作BMHD，则HDGEBM，根据平行线的性质求得∠ABM与∠CBM，便可求得最后
∠HAP；理由见解
解析：（1）∠ABC＝100°；（2）∠ABC＞∠AFC；（3）∠N＝90°﹣1
2
析．
【分析】
（1）过点B作BM//HD，则HD//GE//BM，根据平行线的性质求得∠ABM与∠CBM，便可求得最后结果；
（2）过B作BP//HD//GE，过F作FQ//HD//GE，由平行线的性质得，∠ABC＝
∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，由角平分线的性质和已知角的度数分别求得
∠HAF，∠FCG，最后便可求得结果；
（3）过P作PK//HD//GE，先由平行线的性质证明∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝
∠HAF+∠FCG，再根据角平分线求得∠NPC与∠PCN，由后由三角形内角和定理便可求得结果．
【详解】
解：（1）过点B作BM//HD，则HD//GE//BM，如图1，
∴∠ABM＝180°﹣∠DAB，∠CBM＝∠BCG，
∵∠DAB＝120°，∠BCG＝40°，
∴∠ABM＝60°，∠CBM＝40°，
∴∠ABC＝∠ABM+∠CBM＝100°；
（2）过B作BP//HD//GE，过F作FQ//HD//GE，如图2，
∴∠ABP＝∠HAB，∠CBP＝∠BCG，∠AFQ＝∠HAF，∠CFQ＝∠FCG，∴∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAB＝180°﹣∠DAB＝60°，
∵AF平分∠HAB，BC平分∠FCG，∠BCG＝20°，
∴∠HAF＝30°，∠FCG＝40°，
∴∠ABC＝60°+20°＝80°，∠AFC＝30°+40°＝70°，
∴∠ABC＞∠AFC；
（3）过P作PK//HD//GE，如图3，
∴∠APK＝∠HAP，∠CPK＝∠PCG，
∴∠APC＝∠HAP+∠PCG，
∵PN平分∠APC，
∴∠NPC＝1
2∠HAP+1
2
∠PCG，
∵∠PCE＝180°﹣∠PCG，CN平分∠PCE，∴∠PCN＝90°﹣1
2
∠PCG，
∵∠N+∠NPC+∠PCN＝180°，
∴∠N＝180°﹣1
2∠HAP﹣1
2
∠PCG﹣90°+1
2
∠PCG＝90°﹣1
2
∠HAP，
即：∠N＝90°﹣1
2
∠HAP．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．
2．（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】
（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB
解析：（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】
（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；
∠BME，进而可求解．
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=1
2
【详解】
解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME ＝∠BME ＋∠BMF ，∠FND ＝∠FNE ＋∠END ，
∵2∠MEN ＋∠MFN ＝180°，
∴2（∠BME ＋∠END ）＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，
∴2∠BME ＋2∠END ＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，
即2∠BMF ＋∠FND ＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，
解得∠BMF ＝60°，
∴∠FME ＝2∠BMF ＝120°；
（3）∠FEQ 的大小没发生变化，∠FEQ ＝30°．
由（1）知：∠MEN ＝∠BME ＋∠END ，
∵EF 平分∠MEN ，NP 平分∠END ，
∴∠FEN ＝12∠MEN ＝12（∠BME ＋∠END ），∠ENP ＝12∠END ，
∵EQ ∥NP ，
∴∠NEQ ＝∠ENP ，
∴∠FEQ ＝∠FEN ﹣∠NEQ ＝12（∠BME ＋∠END ）﹣12∠END ＝12∠BME ，
∵∠BME ＝60°，
∴∠FEQ ＝12×60°＝30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键． 3．（1），；（2）30°；（3）15秒或82.5秒
【分析】
（1）解出式子即可；
（2）根据，用含t 的式子表示出，根据（2）中给出的条件得出方程式 ，求出 t 的值，进而求出的度数；
（3）根据灯B 的
解析：（1）3a =，1b =；（2）30°；（3）15秒或82.5秒
【分析】
（1）解出式子()2340a b a b -++-=即可；
（2）根据//PQ MN ，用含t 的式子表示出BCA ∠，根据（2）中给出的条件得出方程式 ()()9090180229020⎡⎤∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒-︒=︒⎣⎦BCD BCA t t ，求出 t 的值，进而求出BAC ∠的度数；
（3）根据灯B 的要求，t <150，在这个时间段内A 可以转3次，分情况讨论．
【详解】
解：（1）2|3|(4)0a b a b -++-=．
又|3|0a b -≥，2(4)0a b +-≥．
3a ∴=，1b =；
（2）设A 灯转动时间为t 秒，
如图，作//CE PQ ，而//,PQ MN
////,PQ CE MN ∴
1803ACE CAN t ∴∠=∠=︒-︒，BCE CBD t ∠=∠=︒，
()()18031802∴∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒-︒BCA CBD CAN t t t ，
90ACD ∠=︒，
[]9090180(2)(2)9020∴∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒-︒=︒BCD BCA t t ，
55∴=t
()1803∠=︒-︒CAN t ，
()()451803313516513530∴∠=︒-︒-︒=︒-︒=︒-︒=︒⎡⎤⎣⎦BAC t t
（3）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行．
依题意得0150t <<
①当060t <<时，
两河岸平行，所以()233
t ∠=∠=︒ 两光线平行，所以2130t ∠=∠=+︒
所以，13∠=∠
即：330=+t t ，
解得15t =；
②当60120t <<时，
两光束平行，所以()2330t ∠=∠=+︒
两河岸平行，所以12180∠+∠=︒
13180t ∠=-︒
所以，318030180-++=t t ，
解得82.5t =；
③当120150t <<时，图大概如①所示
336030t t -=+，
解得195150t =>（不合题意）
综上所述，当15t =秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．
【点睛】
这道题考察的是平行线的性质和一元一次方程的应用．根据平行线的性质找到对应角列出方程是解题的关键．
4．（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明；
（2）过作，先说明，然后再说明得到，最后运用等量代换解答即可； （3）设∠DBE=a ，则∠BFC=3
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）︒=∠105EBC ．
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到C BDA ∠=∠,然后结合AB BC ⊥即可证明；
（2）过B 作//BH DM ，先说明ABD CBH ∠=∠，然后再说明//BH NC 得到CBH C ∠=∠，最后运用等量代换解答即可；
（3）设∠DBE =a ，则∠BFC =3a ，根据角平分线的定义可得∠ABD =∠C =2a ，
∠FBC =1
2∠DBC =a +45°，根据三角形内角和可得∠BFC +∠FBC +∠BCF =180°，可得
∠AFC =∠BCF 的度数表达式，再根据平行的性质可得∠AFC +∠NCF =180°，代入即可算出a 的度数，进而完成解答．
【详解】
（1）证明：∵//AM CN ，
∴C BDA ∠=∠，
∵AB BC ⊥于B ，
∴90B ∠=︒，
∴90A BDA ∠+∠=︒，
∴90A C ∠+∠=︒；
（2）证明：过B 作//BH DM ，
∵BD MA ⊥，
∴90ABD ABH ∠+∠=︒，
又∵AB BC ⊥，
∴90ABH CBH ∠+∠=︒，
∴ABD CBH ∠=∠，
∵//BH DM ，//AM CN
∴//BH NC ，
∴CBH C
∠=∠，
∴ABD C
∠=∠；
（3）设∠DBE=a，则∠BFC=3a，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD=∠C=2a，
又∵AB⊥BC，BF平分∠DBC，
∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=2a+90，即：∠FBC=1
2
∠DBC=a+45°
又∵∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，即：3a+a+45°+∠BCF=180°
∴∠BCF=135°-4a，
∴∠AFC=∠BCF=135°-4a，
又∵AM//CN，
∴∠AFC+∠NCF=180°，即：∠AFC+∠BCN+∠BCF=180°，
∴135°-4a+135°-4a+2a=180，解得a=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角平分线的性质是解答本题的关键．
5．（1）65°；（2）；（3）2n∠M+∠BED=360°
【分析】
（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，连结MF，利用平行线的性质可得
∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+
解析：（1）65°；（2）360
6
α
︒-︒
；（3）2n∠M+∠BED=360°
【分析】
（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，连结MF，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求∠M的度数；
（2）先由已知得到∠ABE =6∠ABM ，∠CDE =6∠CDM ，由（1）得∠ABE +∠CDE =360°-∠BED ，∠M =∠ABM +∠CDM ，等量代换即可求解；
（3）由（2）的方法可得到2n ∠M +∠BED =360°．
【详解】
解：（1）如图1，作//EG AB ，//FH AB ，连结MF ，
//AB CD ，
//////EG AB FH CD ∴，
ABF BFH ∴∠=∠，CDF DFH ∠=∠，180ABE BEG ∠+∠=︒，180GED CDE ∠+∠=︒， 360ABE BEG GED CDE ∴∠+∠+∠+∠=︒，
100BED BEG DEG ∠=∠+∠=︒，
260ABE CDE ∴∠+∠=︒，
ABE ∠和CDE ∠的角平分线相交于E ，
130ABF CDF ∴∠+∠=︒，
130BFD BFH DFH ∴∠=∠+∠=︒， BM 、DM 分别是ABF ∠和CDF ∠的角平分线，
12MBF ABF ∴∠=∠，12
MDF CDF ∠=∠， 65MBF MDF ∴∠+∠=︒，
1306565BMD ∴∠=︒-︒=︒；
（2）如图1，13
ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=∠， 3ABF ABM ∴∠=∠，3CDF CDM ∠=∠，
ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，
6ABE ABM ∴∠=∠，6CDE CDM ∠=∠，
66360ABM CDM BED ∴∠+∠+∠=︒，
BMD ABM CDM ∠=∠+∠，
6360BMD BED ∴∠+∠=︒，
3606
BMD α︒-︒∴∠=； （3）由（2）结论可得，22360n ABM n CDM E ∠+∠+∠=︒，M ABM CDM ∠=∠+∠， 则2360n M BED ∠+∠=︒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．
二、解答题
6．（1）80；（2）①；②
【分析】
（1）过点P 作PG ∥AB ，则PG ∥CD ，由平行线的性质可得∠BPC 的度数； （2）①过点P 作FD 的平行线，依据平行线的性质可得∠APE 与∠α，∠β之间的数量关系；
解析：（1）80；（2）①APE αβ∠=∠+∠；②APE βα∠=∠-∠
【分析】
（1）过点P 作PG ∥AB ，则PG ∥CD ，由平行线的性质可得∠BPC 的度数；
（2）①过点P 作FD 的平行线，依据平行线的性质可得∠APE 与∠α，∠β之间的数量关系；
②过P 作PQ ∥DF ，依据平行线的性质可得∠β=∠QPA ，∠α=∠QPE ，即可得到∠APE =∠APQ -∠EPQ =∠β-∠α．
【详解】
解：（1）过点P 作PG ∥AB ，则PG ∥CD ，
由平行线的性质可得∠B +∠BPG =180°，∠C +∠CPG =180°，
又∵∠PBA =125°，∠PCD =155°，
∴∠BPC =360°-125°-155°=80°，
故答案为：80；
（2）①如图2，
过点P 作FD 的平行线PQ ，
则DF ∥PQ ∥AC ，
∴∠α=∠EPQ ，∠β=∠APQ ，
∴∠APE =∠EPQ +∠APQ =∠α+∠β，
∠APE 与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE =∠α+∠β；
②如图3，∠APE 与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE =∠β-∠α；理由：
过P 作PQ ∥DF ，
∵DF ∥CG ，
∴PQ ∥CG ，
∴∠β=∠QPA ，∠α=∠QPE ，
∴∠APE =∠APQ -∠EPQ =∠β-∠α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．
7．(1) ；(2) ；(3)不发生变化，理由见解析
【分析】
(1)如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据平行线的性质推出；
(2)如图2，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ，根据AB ∥CD ，AB ∥E 解析：(1) +180ACB BED ∠∠=︒；(2) 100︒；(3)不发生变化，理由见解析
【分析】
(1)如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据平行线的性质推出+180ACB BED ∠∠=︒；
(2)如图2，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ，根据AB ∥CD ，AB ∥ES 推出
BED ABE CDE ∠=∠+∠，再根据AB ∥TH ，AB ∥CD 推出GHD THD THB ∠=∠-∠，最后根据BED ∠比BHD ∠大60︒得出BED ∠的度数；
(3)如图3，过点E 作EQ ∥DN ，根据DEB CDE ABE ∠=∠+∠得出βα-的度数，根据条件再逐步求出PBM ∠的度数．
【详解】
(1)如答图1所示，延长DE 交AB 于点F ．
AB ∥CD ，所以D EFB ∠=∠，
又因为A D ∠=∠，所以A EFB ∠=∠，所以AC ∥DF ，所以ACB CED ∠=∠．
因为+180CED BED ∠∠=︒，所以+180ACB BED ∠∠=︒．
(2)如答图2所示，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ．
设ABG EBG α∠=∠=，FDH EDH β∠=∠=，
因为AB ∥CD ，AB ∥ES ，所以ABE BES ∠=∠，SED CED ∠=∠，
所以21802BED BES SED ABE CDE αβ∠=∠+∠=∠+∠=+︒-，
因为AB ∥TH ，AB ∥CD ，所以ABG THB ∠=∠，FDH DHT ∠=∠，所以
GHD THD THB βα∠=∠-∠=-，
因为BED ∠比BHD ∠大60︒，所以2+1802()60αββα︒---=︒，所以40βα-=︒，所以40BHD ∠=︒，所以100BED ∠=︒
(3)不发生变化
如答图3所示，过点E 作EQ ∥DN ．
设CDN EDN α∠=∠=，EBM KBM β∠=∠=，
由(2)易知DEB CDE ABE ∠=∠+∠，所以2+1802100αβ︒-=︒，所以40βα-=︒， 所以180()180DEB CDE EDN EBM PBM PBM αβ∠=∠+∠+︒-∠+∠=+︒--∠， 所以80()40PBM βα∠=︒--=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度的度数是解题的关键．
8．；2．平行于同一条直线的两条直线平行；3．（1）；（2）．
【分析】
1、根据角度和计算得到答案；
2、根据平行线的推论解答；
3、（1）根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；
（2）根据B
解析：1.72；2．平行于同一条直线的两条直线平行；3．（1）1122
αβ+；（2）1118022
αβ-+． 【分析】
1、根据角度和计算得到答案；
2、根据平行线的推论解答；
3、（1）根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；
（2）根据BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠求出11,22
ABE CDE αβ∠=∠=，过点E 作EF ∥AB ，根据平行线的性质求出∠BEF =12α，11801802
DEF CDE β∠=︒-∠=︒-，再利用周角求出答案．
【详解】
1、过点E 作//,EF AB
则有,BEF B ∠=∠
因为//,AB CD
所以//.EF CD ①
所以,FED D ∠=∠
所以,BEF FED B D ∠+∠=∠+∠
即BED ∠=72；
故答案为：72；
2、过点E 作//,EF AB
则有,BEF B ∠=∠
因为//,AB CD
所以EF ∥CD （平行于同一条直线的两条直线平行），
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；
3、（1）∵BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠ ∴1111,2222
ABE ABC CDE ADC αβ∠=∠=∠=∠=， 过点E 作EF ∥AB ，由1可得∠BED =BEF FED ABE CDE ∠+∠=∠+∠，
∴∠BED =1122
αβ+， 故答案为：1122
αβ+；
（2）∵BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠
∴1111,2222
ABE ABC CDE ADC αβ∠=∠=∠=∠=， 过点E 作EF ∥AB ，则∠ABE =∠BEF =12
α， ∵//,AB CD ∴EF ∥CD ，
∴180CDE DEF ∠+∠=︒，
∴11801802
DEF CDE β∠=︒-∠=︒-， ∴11360360(180)22BED DEF BEF βα∠=︒-∠-∠=︒-︒--=1118022
αβ-+．
【点睛】
此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，平行线的推论，正确引出辅助线是解题的关键．
9．（1）∠DAC；（2）360°；（3）65°
【分析】
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
解析：（1）∠DAC；（2）360°；（3）65°
【分析】
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．
【详解】
解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DCA，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°．
故答案为：∠DAC；
（2）过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D=∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B=∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，
∴∠B +∠BCD +∠D =360°；
（3）如图3，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥CD ∥EF ，
∴∠ABE =∠BEF ，∠CDE =∠DEF ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠ABC =60°，∠ADC =70°，
∴∠ABE =12∠ABC =30°，∠CDE =1
2∠ADC =35°，
∴∠BED =∠BEF +∠DEF =30°+35°=65°．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算． 10．（1）①90；②t 为或或或或或或；（2）①正确，②错误，证明见解析．
【分析】
（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：从而可得答案；②当时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和
解析：（1）①90；②t 为3s 或6s 或9s 或18s 或21s 或24s 或27s ；（2）①正确，②错误，证明见解析．
【分析】
（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：180,DPC CPA DPB ∠=︒-∠-∠从而可得答案；②当//BD PC 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差求解旋转角，可得旋转时间；当//PA BD 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC DP 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BD 时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BP 时的旋转时间与//PA BD 相同；
（2）分两种情况讨论：当PD 在MN 上方时，当PD 在MN 下方时，①分别用含t 的代数式表示,CPD BPN ∠∠，从而可得CPD BPN
∠∠的值；②分别用含t 的代数式表示,CPD BPN ∠∠，得到BPN CPD ∠+∠是一个含t 的代数式，从而可得答案．
【详解】
解：（1）①∵∠DPC ＝180°﹣∠CPA ﹣∠DPB ，∠CPA ＝60°，∠DPB ＝30°，
∴∠DPC ＝180﹣30﹣60＝90°，
故答案为90；
②如图1﹣1，当BD∥PC时，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图1﹣2，当PC∥BD时，
PC BD∠PBD＝90°，
∵//,
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠APN＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为9秒，
如图1﹣4，当PA∥BD时，
∵∠DPB＝∠ACP＝30°，
∴AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠BPA＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为27秒，
如图1﹣5，当AC∥DP时，
∵AC∥DP，
∴∠C＝∠DPC＝30°，
∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为6秒，
AC DP时，
如图1﹣6，当//
AC DP，
//
∴∠=∠=︒，
90
DPA PAC
1803090240DPN DPA ∠+∠=︒-︒+︒=︒，
∴三角板PAC 绕点P 逆时针旋转的角度为240︒，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为24秒，
如图1﹣7，当AC ∥BD 时，
∵AC ∥BD ，
∴∠DBP ＝∠BAC ＝90°，
∴点A 在MN 上，
∴三角板PAC 绕点P 逆时针旋转的角度为180°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为18秒，
当//AC BP 时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：9s ，27s ．
综上所述：当t 为3s 或6s 或9s 或18s 或21s 或24s 或27s 时，这两个三角形是“孪生三角形”；
（2）如图，当PD 在MN 上方时，
①正确，
理由如下：设运动时间为t 秒，则∠BPM ＝2t ，
∴∠BPN ＝180°﹣2t ，∠DPM ＝30°﹣2t ，∠APN ＝3t ．
∴∠CPD ＝180°﹣∠DPM ﹣∠CPA ﹣∠APN ＝90°﹣t ，
21802,BPN CPD t ∴∠=∠=︒- ∴1.2
CPD BPN ∠=∠ ②∠BPN +∠CPD ＝180°﹣2t +90°﹣t ＝270°﹣3t ，可以看出∠BPN +∠CPD 随着时间在变化，不为定值，结论错误．
当PD 在MN 下方时，如图，
①正确，
理由如下：设运动时间为t 秒，则∠BPM ＝2t ，
∴∠BPN ＝180°﹣2t ，∠DPM ＝230,t -︒ ∠APN ＝3t ．
∴∠CPD ＝360CPA APN DPB BPN ︒-∠-∠-∠-∠
()360603301802t t =︒-︒--︒-︒-
=90t ︒-
21802,BPN CPD t ∴∠=∠=︒- ∴1.2
CPD BPN ∠=∠ ②∠BPN +∠CPD ＝180°﹣2t +90°﹣t ＝270°﹣3t ，可以看出∠BPN +∠CPD 随着时间在变化，不为定值，结论错误．
综上：①正确，②错误．
【点睛】
本题考查的是角的和差倍分关系，平行线的性质与判定，角的动态定义（旋转角）的理解，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
三、解答题
11．（1），理由详见解析；（2），理由详见解析：（3）①；②360°；（4）； .
【分析】
（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结
解析：（1）D A B C ∠=∠+∠+∠，理由详见解析；（2）A D B C ∠+∠=∠+∠，理由详见解析：（3）①1902
D A ∠=︒+∠；②360°；（4）124
E ∠=︒； =14
F ∠︒.
【分析】
（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论；
（3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论；
②连结BE ，由（2）的结论及四边形内角和为360°即可得出结论；
（4）根据（1）的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
（1）D A B C ∠=∠+∠+∠．理由如下：
如图1，BDE B BAD ∠=∠+∠，CDE C CAD ∠=∠+∠，
BDC B BAD C CAD B BAC C ∴∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠，D A B C ∴∠=∠+∠+∠；
（2）A D B C ∠+∠=∠+∠．理由如下：
在ADE ∆中，180AED A D ∠=︒-∠-∠，在BCE ∆中，180BEC B C ∠=︒-∠-∠，
AED BEC ∠=∠，A D B C ∴∠+∠=∠+∠；
（3）①180A ABC ACB ∠=︒-∠-∠，180D DBC DCB ∠=︒-∠-∠，BD 、CD 分别平分ABC
∠和ACB ∠，∴1122ABC ACB DBC DCB ∠+∠=∠+∠，
1111180()180(180)902222D ABC ACB A A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠． 故答案为：1902D A ∠=︒+∠．
②连结BE ．
∵C D CBE DEB ∠+∠=∠+∠，360A B C D E F A ABE F BEF ∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒． 故答案为：360︒；
（4）由（1）知，BDC B C BAC ∠=∠+∠+∠，
26B ∠=︒，54C ∠=︒，80BDC BAC ∴∠=︒+∠，402CDF CAE ∴∠=︒+∠，4BAC CAE ∠=∠，2BDC CDF ∠=∠，1902
GDE CDF ∴∠=︒-∠，26180AGD B GDB CDF ∠=∠+∠=︒+︒-∠，3GAE CAE ∠=∠，
3336064(2)644012422
E GAE AGD GDE CAE CD
F ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠=︒+⨯︒=︒； 180180(206)2262264014F AGF GAF CDF CAE CDF CAE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠-∠=-︒+∠-∠=-︒+︒=︒．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形内角和；熟练掌握角平分线的性质，进行合理的等量代换是解题的关键．
12．（1）①45°；②∠F ＝a ；（2）∠F+∠H 的值不变，是定值180°．
【分析】
（1）①②依据AD 平分∠CAE ，CF 平分∠ACB ，可得∠CAD=∠CAE ，∠ACF=∠ACB ，依据∠CAE 是△ABC
解析：（1）①45°；②∠F ＝
12
a ；（2）∠F +∠H 的值不变，是定值180°． 【分析】
（1）①②依据AD 平分∠CAE ，CF 平分∠ACB ，可得∠CAD=12∠CAE ，∠ACF=12∠ACB ，
依据∠CAE是△ABC的外角，可得∠B=∠CAE-∠ACB，再根据∠CAD是△ACF的外角，即可
得到∠F=∠CAD-∠ACF=1
2
∠CAE-1
2
∠ACB=1
2
（∠CAE-∠ACB）=
1
2
∠B；
（2）由（1）可得，∠F=1
2
∠ABC，根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得
到∠H=90°+1
2
∠ABG，进而得到∠F+∠H=90°+1
2
∠CBG=180°．
【详解】
解：（1）①∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，
∴∠CAD＝1
2∠CAE，∠ACF＝1
2
∠ACB，
∵∠CAE是△ABC的外角，∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，∵∠CAD是△ACF的外角，
∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝1
2∠CAE﹣1
2
∠ACB＝1
2
（∠CAE﹣∠ACB）＝
1
2
∠B＝45°，
故答案为45°；
②∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，
∴∠CAD＝1
2∠CAE，∠ACF＝1
2
∠ACB，
∵∠CAE是△ABC的外角，∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，∵∠CAD是△ACF的外角，
∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝1
2∠CAE﹣1
2
∠ACB＝1
2
（∠CAE﹣∠ACB）＝
1
2
∠B＝1
2
a；
（2）由（1）可得，∠F＝1
2
∠ABC，
∵∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H，
∴∠AGH＝1
2∠AGB，∠GAH＝1
2
∠GAB，
∴∠H＝180°﹣（∠AGH+∠GAH）＝180°﹣1
2（∠AGB+∠GAB）＝180°﹣
1
2
（180°﹣
∠ABG）＝90°+1
2
∠ABG，
∴∠F+∠H＝1
2∠ABC+90°+1
2
∠ABG＝90°+1
2
∠CBG＝180°，
∴∠F+∠H的值不变，是定值180°．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角性质的综合运用，熟练运用定理是解题的关键．
13．(1)3; (2)见解析; (3)见解析
【详解】
分析：（1）因为△BCD 的高为OC ，所以S △BCD=CD•OC ，（2）利用∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠
解析：(1)3; (2)见解析; (3)见解析
【详解】
分析：（1）因为△BCD 的高为OC ，所以S △BCD =12CD •OC ，（2）利用∠CFE +∠CBF =90°，∠OBE +∠OEB =90°，求出∠CEF =∠CFE ．
（3）由∠ABC +∠ACB =2∠DAC ，∠H +∠HCA =∠DAC ，∠ACB =2∠HCA ，求出∠ABC =2∠H ，即可得答案．
详解：（1）S △BCD =12CD •OC =12
×3×2=3． （2）如图②，∵AC ⊥BC ，∴∠BCF =90°，∴∠CFE +∠CBF =90°．∵直线MN ⊥直线PQ ，∴∠BOC =∠OBE +∠OEB =90°．∵BF 是∠CBA 的平分线，∴∠CBF =∠OBE ．∵∠CEF =∠OBE ，∴∠CFE +∠CBF =∠CEF +∠OBE ，∴∠CEF =∠CFE ．
（3）如图③，∵直线l ∥PQ ，∴∠ADC =∠PAD ．∵∠ADC =∠DAC
∴∠CAP =2∠DAC ．∵∠ABC +∠ACB =∠CAP ，
∴∠ABC +∠ACB =2∠DAC ．∵∠H +∠HCA =∠DAC ，∴∠ABC +∠ACB =2∠H +2∠HCA ∵CH 是，∠ACB 的平分线，∴∠ACB =2∠HCA ，∴∠ABC =2∠H ，∴H ABC ∠∠=12
．
点睛：本题主要考查垂线，角平分线和三角形面积，解题的关键是找准相等的角求解． 14．（1）详见解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由详见解析；（3）详见解析.
【详解】
试题分析：（1）先根据CE 平分∠ACD ，AE 平分∠BAC 得出∠BAC=2∠EAC ，∠ACD=2∠ACE ，再
解析：（1）详见解析；（2）∠BAE+12
∠MCD=90°，理由详见解析；（3）详见解析. 【详解】
试题分析：（1）先根据CE 平分∠ACD ，AE 平分∠BAC 得出∠BAC =2∠EAC ，
∠ACD =2∠ACE ，再由∠EAC +∠ACE =90°可知∠BAC +∠ACD =180，故可得出结论；
（2）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD，∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，故∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出结论；
（3）根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，故
∠BAC=∠PQC+∠QPC．
试题解析：证明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，
∠ACD=2∠ACE．
∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180，∴AB∥CD；
（2）∠BAE+1
2
∠MCD=90°．证明如下：
过E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴EF∥∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE．
∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°．
∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+1
2
∠MCD=90°；
（3）①∠BAC=∠PQC+∠QPC．理由如下：
如图3：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°．
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；
②∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．理由如下：
如图4：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACQ．
∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．
点睛：本题考查了平行线的性质，根据题意作出平行线是解答此题的关键．15．（1）见解析；（2）∠BGD＝；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．
【分析】
（1）根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB＝（∠ABD+∠BDC），根据平行线的性质∠ABD+∠BDC＝180°
解析：（1）见解析；（2）∠BGD＝90
2
a
︒-
；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．
【分析】
（1）根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB＝1
2
（∠ABD+∠BDC），根据平行线的性质∠ABD+∠BDC＝180°，从而根据∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）即可得到答案；
（2）过点G作GP∥AB，根据AB∥CD，得到GP∥AB∥CD，从而得到∠BGD＝
∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG，然后根据∠EBD+∠EDB＝90°，∠ABD+∠BDC＝180°，
得到∠ABE+∠EDC＝90°，即∠ABE+α+∠FDC＝90°，再利用角平分线的定义求出
2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α即可得到答案；
（3）过点F、G分别作FM∥AB、GM∥AB，从而得到AB∥GM∥FN∥CD，得到∠BGD＝
∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，根据BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，∠4＝1
2∠FBP＝1
2
（180°
﹣∠3），∠6＝1
2∠FDQ＝1
2
（180°﹣∠5），即可求解.
【详解】
解：（1）证明：∵BE平分∠ABD，
∴∠EBD＝1
2
∠ABD，
∵DE平分∠BDC，
∴∠EDB＝1
2
∠BDC，
∴∠EBD+∠EDB＝1
2
（∠ABD+∠BDC），∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∴∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）＝90°．（2）解：如图2，
由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°，
又∵∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
即∠ABE+α+∠FDC＝90°，
∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，
∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，
∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α，
过点G作GP∥AB，
∵AB∥CD，
∴GP∥AB∥CD
∴∠ABG＝∠BGP，∠PGD＝∠CDG，
∴∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG＝90
2α
-
；
（3）如图，过点F、G分别作FN∥AB、GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GM∥FN∥CD，
∴∠3＝∠BFN，∠5＝∠DFN，∠4＝∠BGM，∠6＝∠DGM，
∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠3+∠5，∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，∵BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，
∴∠4＝1
2∠FBP＝1
2
（180°﹣∠3），
∠6＝1
2∠FDQ＝1
2
（180°﹣∠5），
∴∠BFD+∠BGD＝∠3+∠5+∠4+∠6，
＝∠3+∠5+1
2（180°﹣∠3）+1
2
（180°﹣∠5），
＝180°+1
2
（∠3+∠5），
＝180°+1
2
∠BFD，
整理得：2∠BGD+∠BFD＝360°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质和三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。