微积分测试题一(极限持续)答案

微积分测试题（一）极限、持续部份（答案）
一、选择题（每题3分，共21分）
1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。

A 1sin x x
B 1x e
C ln x
D 1sin x x
二、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩
的（C ）。

A 持续点
B 第一类非可去中断点
C 可去中断点
D 第二类中断点
3、函数()f x 在点0x 处有概念是其在0x 处极限存在的（D ）。

A 充分非必要条件
B 必要非充分条件
C 充要条件
D 无关条件
4、已知极限22lim()0x x ax x
→∞++=，那么常数a 等于（A ）。

A -1 B 0 C 1 D 2 五、极限201lim cos 1
x x e x →--等于（D ）。

A ∞ B 2 C 0 D -2 六、设函数11
()1
x
x f x e -=-则（D ）。

A x=0,x=1都是()f x 的第一类中断点.
B x=0,x=1都是()f x 的第二类中断点
C x=0是()f x 的第一类中断点，x=1是()f x )的第二类中断点.
D x=0是()f x 的第二类中断点，x=1是()f x 的第一类中断点. . D 【分析】 显然x=0,x=1为中断点，其分类要紧考虑左右极限.
【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无概念，因此是中断点. 且 0
lim ()x f x →=∞，因此x=0为第二类中断点； 1lim ()0x f x +→=，1
lim ()1x f x -→=-，因此x=1为第一类中断点，故应选(D). 【评注】 应专门注意：1lim 1
x x x +→=+∞-，1lim 1x x x -→=-∞- 从而+∞=-→+11lim x x x e ，.
0lim 11=-→-x x x e 7已知lim(
)9x x x a x a
→∞+=-，那么a =( C ). ； B.∞； C.ln 3； D.2ln 3. 二、填空题（每题4分，共20分）
一、21lim(1)x
x x →∞- 2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，那么
常数
3、 已知函数()f x 在点0x =处持续，且当0x ≠时，函数21()2
x f x -=，
那么函数值(0)f
4、 111lim[]1223
(1)n n n →∞+++••+
5、 若lim ()x f x π→存在，且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ→=
+-，那么lim ()x f x π→ 三、 解答题
一、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n
→∞-
-- 解：原式=132411111lim()()()lim 223322
n n n n n n n n →∞→∞-++•••=•= 二、（6分）计算极限 30tan sin lim x x x x →-
解：原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2
x x x x x x x x
x x x x x →→→--=== 3、（7分）计算极限 123lim()21
x x x x +→∞++ 解：原式= 1
1122
112221lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)1122
x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++=+•+=++ 4、（7分）计算极限
01x e →-
解：原式=201sin 12lim 2
x x x x →= 五、（7分）设3214lim 1
x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值 解：因为1lim(1)0x x →-+=，因此 321
lim(4)0x x ax x →---+=， 因此 4a = 并将其代入原式
321144(1)(1)(4)lim lim 1011
x x x x x x x x l x x →-→---++--===++ 六、（8分）设3()32,()(1)n x x x x c x αβ=-+=-，试确信常数,c n ，使得()()x x αβ
解： 32221()32(1)(2)
(1)(2)3lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x c α→=-+=-+-+=∴==- 现在，()()
x x αβ
7、（7分）试确信常数a ，使得函数21sin 0()0x x f x x
a x
x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩
在(,)-∞+∞内持续
解：当0x >时，()f x 持续，当0x <时，()f x 持续。

00200
1lim ()lim sin 0lim ()lim()x x x x f x x x f x a x a +-→→→→===+= 因此 当0a =时，()f x 在0x =持续
因此，当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞内持续。