2022届高考精品 不等式 教师版

2022届高考精品 不等式 教师版
知识点1．含绝对值不等式的解法 1．绝对值三角不等式
（1）定理1：如果a ，b 是实数，则|a +b|≤|a|+|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立； （2）性质：|a|−|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|；
（3）定理2：如果a ，b ，c 是实数，则|a −c|≤|a −b|+|b −c|，当且仅当(a −b)(b −c)≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法
（1）含绝对值不等式|x|<a ，|x|>a 的解法
（2）|ax +b|≤①|ax +b|≤c ⇔−c ≤ax +b ≤c ； ②|ax +b|≥c ⇔ax +b ≥c 或ax +b ≤−c ．
（3）|x −a|+|x −b|≥c(c >0)和|x −a|+|x −b|≤c(c >0)型不等式的解法 解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 解法二：利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想；
解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想．
知识点2：不等式的证明方法 1．基本不等式
定理一：设a ，b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立． 定理二：如果a ，b 为正数，则
2
a b
+≥，当且仅当a =b 时，等号成立．
定理三：如果a ，b ，c 为正数，则
3
a b c
++≥a =b =c 时，等号成立．
2．不等式的证明方法 （1）比较法
①作差比较：a >b ⇔a −b >0，a <b ⇔a −b <0； ②作商比较：01a a b b >>⇔
>，01a
a b b
<<⇔<． （2）分析法：从待证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式；
（3）综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理证明，推导出所要证明的不等式成立；
（4）反证法
①作出与所证不等式相反的假设；
②从条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．
（5）放缩法：要证a<b，可寻找合适的中间量c有a<c，c<b，从而证得a<b．
一、选择题．
1．若a ，b ∈R ，则“a +b >4”是“a ，b 至少有一个大于2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当a +b >4时，假设a ，b 都不大于2，即a ≤2，b ≤2， 则a +b ≤4，这与a +b >4矛盾，
所以“a +b >4”是“a ，b 至少有一个大于2”的充分条件； 但是，当a ，b 至少有一个大于2，如a =3，b =1，a +b =4， 所以“a +b >4”不是“a ，b 至少有一个大于2”的必要条件，故选A ． 【点评】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则p 对的集合与q 对应集合互不包含． 2．（多选）若0<x <y <1，则下列结论正确的是（ ） A ．111
log log 22xy xy x y ⎛⎫+<-
⎪⎝⎭
B ．x x y e e ->
C ．n
n
x y <，*n ∈N D ．log log x y y x >
【答案】ABC
【解析】因为0<x <y <1，所以0<xy <1，111
y x <
<，所以112x y +>=>，
所以111
log log log 2log log 2
2xy xy xy xy xy x y ⎛⎫+<=-=-
⎪⎝⎭
，故A 正确；
因为0<x <y <1，所以x >0>x −y ，所以e x >e x−y ，故B 正确； 因为0<x <y <1，所以0<x n <y n <1，n ∈N ∗，故C 正确； 因为0<x <y <1，所以0<log x y <log x x =1，log y x >log y y =1， 所以log x y <1<log y x ，故D 错误，
故选ABC ．
【点评】本题主要考了均值不等式的使用条件，属于基础题．
二、填空题．
3．若x ，y 满足约束条件20202x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则3z x y =+的最大值为__________．
【答案】14
【解析】由线性约束条件作出可行域如图，
由3z x y =+可得133z y x =-
+，作直线01
:3
l y x =-，沿可行域的方向平移可知过点A 时， 3z x y =+取得最大值，
由202x y x -+=⎧⎨
=⎩，可得24
x y =⎧⎨=⎩，所以()2,4A ，所以max 23414z =+⨯=，
故答案为14．
【点评】线性规划求最值的常见类型．
（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；
（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解； （3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解．
三、解答题．
4．已知函数f(x)=|2x|+|x −1|，x ∈R ． （1）求()2f x ≥的解集；
（2）若f(x)=kx 有2个不同的实数根，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）{1x x ≥或1
}3
x ≤-；（2）2<k <3．
【解析】（I ）()31,0
1,
0131,1
x x f x x x x x -+≤⎧⎪
=+<<⎨⎪-≥⎩
，得0
312x x ≤⎧⎨-+≥⎩或0112x x <<⎧⎨+≥⎩或1312x x ≥⎧⎨-≥⎩，
解得{1x x ≥或1
}3
x ≤-，
所以()2f x ≥的解集是{1x x ≥或1}3
x ≤-． （2）问题转化为()y f x =与y kx =有两个交点， 由图易知：20
210
OA k -=
=-，3OB AC k k ==，∴k o A <k <k OB ，即2<k <3．
【点评】本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1．直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍． 5．已知函数f(x)=|x +a|+|2x −3|． （1）当1a =时，求f(x)的最小值；
（2）当[],22x a a ∈-时，不等式()5f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）最小值为
52；（2）122,5⎛⎤
⎥⎝⎦
． 【解析】（1）当1a =时，()23,131234,
12332,2
x x f x x x x x x x ⎧
⎪-<-⎪
⎪
=++-=--≤≤⎨⎪
⎪
->⎪⎩， 由解析式可知，f(x)在(−∞，−1)和31,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
上单调递减，且在x =−1处连续，
在3,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递增， 故f(x)在3
2
x =
处取得最小值，且35
22
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以f(x)的最小值为52．
（2）∵x ∈[a ，2a −2]，∴2a −2>a ，∴a >2， 又x ∈[a ，2a −2]，0x a +>，2x −3>0，x +5>0，
∴f(x)≤|x +5|⇒|x +a|+|2x −3|≤|x +5|⇒x +a +2x −3≤x +5． 即a ≤−2x +8在x ∈[a ，2a −2]上恒成立，
令y =−2x +8在x ∈[a ，2a −2]上单调递减，min 412y a =-+， ∴a ≤−4a +12，解得12
5
a ≤， 综上，a 的取值范围为122,
5⎛⎤
⎥⎝⎦
． 【点评】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数a ≥f (x )恒成立(a ≥f (x )max 即可)或a ≤f (x )恒成立（a ≤f (x )min 即可）； ②数形结合(()y f x =图象在y =g (x )上方即可)； ③讨论最值f (x )min 或f (x )max 恒成立． 6．已知函数()3
212
f x x x =-++，记f(x)最小值为k ． （1）求k 的值；
（2）若a ，b ，c 为正数，且222
1a b c k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．求证：
≥
【答案】（1）2；（2）证明见解析．
【解析】（1）当12x <-时，()3131
21322222
f x x x x =-+--=-+>+=； 当1322x -≤≤时，()3515
2122222f x x x x =-+++=+≥-+=；
当32x >时，()31
213422
f x x x x =-++=->．
所以f(x)最小值为2k =．
（2）由题得a 2+b 2+c 2=4，
=
=≥= 【点评】不等式的证明常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）反证法；（5）数学归纳法；（6）放缩法．要根据已知条件灵活选择合适的方法证明． 7．设不等式∣|x +1|−|x −1|∣<2的解集为A ． （1）求集合A ；
（2）若a ，b ，c ∈A ，证明：
11abc
ab c
->-．
【答案】（1）{11}A x x =-<<∣；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意得，令()2,1
112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪
=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩
，
由|f(x)|<2，得11x -<<，即{11}A x
x =-<<∣． （2）要证
11abc
ab c
->-，只需证|1−abc |>|ab −c ∣，
只需2222221a b c a b c +>+，只需证1−a 2b 2>c 2(1−a 2b 2)， 只需证(1−a 2b 2)(1−c 2)>0．
由a ，b ，c ∈A ，得a 2b 2<1，c 2<1，所以(1−a 2b 2)(1−c 2)>0恒成立， 综上，
11abc
ab c
->-．
【点评】本题第二问考查分析法证明不等式，关键是将不等式转化为|1−abc |>|ab −c ∣，两边平方后， 分解因式，再利用（1）的结论证明．
8．已知函数f(x)=|2x +1|+|4x −5|的最小值为M ． （1）求M ；
（2）若正实数a ，b ，c 满足a +b +c =2M ，求：(a +1)2+(b −2)2+(c −3)2的最小值． 【答案】（1）7
2
M =
；（2）3．
【解析】（1）()164,2
15
26,
24564,4
x x f x x x x x ⎧
-+<-⎪⎪⎪
=-+-
<<⎨⎪⎪
->
⎪⎩
，如图所示：
min 7()2f x =
，∴72
M =． （2）由（1）知a +b +c =7， ∴[(a +1)+(b −2)+(c −3)]2
=(a +1)2+(b −2)2+(c −3)2+2(a +1)(b −2)+2(a +1)(c −3)+2(b −2)(c −3)， ∴[(a +b +c)−4]2≤3[(a +1)2+(b −2)2+(c −3)2]， ∴[7−4]2≤3[(a +1)2+(b −2)2+(c −3)2]，
∴(a +1)2+(b −2)2+(c −3)2≥3，当且仅当a =0，b =3c =4时值最小， ∴(a +1)2+(b −2)2+(c −3)2的最小值为3．
【点评】本题考查绝对值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于基础题． 9．已知函数()|4||24|f x x x =--+． （1）解不等式()3f x ≥；
（2）若f(x)的最大值为m ，且a +2b +c =m ，其中a ≥0，b ≥0，c >3，求(a +1)(b +1)(c −3)的最大值．
【答案】（1）[]5,1--；（2）4． 【解析】（1）
()|4||24|f x x x =--+，()3f x ≥，
故483x x ≥⎧⎨--≥⎩或2433x x -≤<⎧⎨-≥⎩或2
83x x <-⎧⎨+≥⎩
，51x ∴-≤≤-，
故不等式的解集为[]5,1--．
（2）由题意知f(x)的最大值为6，故a +2b +c =6，
(1)(22)(3)6a b c ∴++++-=，
0a ≥，0b ≥，c >3，∴a +1>0，2b +2>0，c −3>0，
()()()3
122311(1)(1)(3)(1)(22)(3)4223a b c a b c a b c ++++-⎡⎤
∴++-=++-≤=⎢⎥⎣⎦
，
当且仅当a +1=2b +2=c −3，即1a =，b =0，c =5时等号成立，
(1)(1)(3)a b c ∴++-的最大值为4．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想， 属于中档题．
一、填空题．
1．已知正项等比数列{a n }（n ∈N ∗）满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得√a m a n =4a 1，则15
m n
+的最小值为__________． 【答案】
74
【解析】∵正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，∴a 1q 6=a 1q 5+2a 1q 4， 又a 1≠0，q >0，解得q =2， ∵存在两项a m ，a n 使得√a m a n =4a 1， ∴a 12q m+n−2=16a 12，即2
2
16m n +-=，6m n +=，
∴()151151516616663n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛
⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，
当且仅当
5n m m n =，即n m
=m ，*
n ∉N ． 又m +n =6， 当
5n
m
=，即m =1，n =5时，152m n +=，
当
2n
m
=，即2,4m n ==时，1574m n +=，
则
15m n +的最小值为74，故答案为7
4
． 【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当
两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和，是中档题．
二、解答题．
2．已知a +b =1，∀a ，b ∈(0，+∞)，
1
221b x x a b
+≥-++恒成立． （1）若a >0，b >0，求1
b a b
+的最小值； （2）求x 的取值范围．
【答案】（1）3；（2）40,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
【解析】（1）因为
11213b b a b b a b a a b a b a b a b
++=+=++≥⋅+=， 取等号时
b a
a b
=，即12a b ==，所以1b a b +的最小值为3．
（2）因为∀a ，b ∈(0，+∞)，
1
221b x x a b
+≥-++恒成立， 所以min 1221b x x a b ⎛⎫
+-+
⎪⎝
⎭恒成立，即|2x −2|+|x +1|≤3， 当x <−1时，2−2x −x −1≤3，此时无解； 当x >1时，2x −2+x +1≤3，解得4
13
x <≤
； 当−1≤x ≤1时，2−2x +x +1≤3，解得0≤x ≤1， 综上可知：x 的取值范围为40,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
精准预测题
1．已知x ，y 满足约束条件1033010x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则目标函数z =x 2+y 2的最小值为（ ）
A
．
2
B ．
12
C ．1 D
【答案】B
【解析】画出1033010x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
所表示的可行域如下图所示：
目标函数z =x 2+y 2代表的几何意义是原点到区域内的点的距离的平方， 由图可知：原点到直线x +y −1=0的距离|OP |最短， 又∵原点到x +y −1=0
距离2
d =
=
，min 12z ∴=，故选B ．
【点评】线性规划求最值的常见类型．
（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；
（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解； （3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解． 2．关于x 的不等式22log log x x x x +<+的解为（ ） A ．0<x <2 B ．0<x <1 C ．x <2 D ．x >1
【答案】B
【解析】根据对数式有意义，可得x >0，
不等式22log log x x x x +<+等价于x ⋅log 2x <0， 所以log 2x <0，解得0<x <1，故选B ．
【点评】该题考查的是有关求不等式的解集的问题，在解题的过程中，注意到x ⋅log 2x <0是解题的关键．
3．已知函数f (x )=|x +1|． （1）解不等式f(x)<4−|2x −1|；
（2）已知1(0,0)m n m n +=>>，若13a -≤≤，求证()11
2x a f x m n
+-≤
+-． 【答案】（1）4
43
3x
x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩
⎭
∣；（2）证明见解析． 【解析】（1）f(x)<4−|2x −1|等价于|x +1|<4−|2x −1|， 当x <−1时，原不等式化为−(x +1)<4+(2x −1)，即43x >-
，∴4
13
x -<<-； 当112x -≤≤
时，原不等式化为x +1<4+(2x −1)，即x >−2，∴1
12
x -≤≤； 当12x >
时，原不等式化为x +1<4−2x +1，即43x <，∴1423
x <<， 综上可得，原不等式的解集为4
43
3x
x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
∣． （2）证明：|x +a|−f(x)=|x +a |−|x +1|≤|(x +a)−(x +1)|=|a −1|， ∵13a -≤≤，∴−2≤a −1≤2，即|a −1|≤2， ∴|x +a |−f (x )≤2， ∵1(0,0)m n m n +=>>， ∴
1124m n m n n m
m n m n m n +++=+=++≥， ∴
1122m n +-≥，∴()11
2x a f x m n
+-≤+-． 【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题． 4．已知函数f (x )=x 2−a |x −1|−1，a ∈R ． （1）当a =2时，解不等式f (x )+f (2)≥0；
（2）对任意的3
,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，f (x )≥a |x +1|恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）(
)
,113,⎡-∞--++∞⎣；（2）5,12⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦．
【解析】（1）当a =2时，f (x )=x 2−2|x −1|−1，∴f (2)=1，
则不等式f (x )+f (2)≥0为x 2−2|x −1|≥0，
当x ≥1时，x 2−2|x −1|≥0为2
220x x -+≥恒成立，∴x ≥1； 当x <1时，x 2−2|x −1|≥0为2220x x -+≥， 解得x ≤−1−√3或x ≥−1+√3， ∴x ≤−1−√3或−1+√3≤x <1，
综上，不等式f (x )+f (2)≥0的解集为(
)
,113,⎡-∞--++∞⎣
． （2）不等式f (x )≥a |x +1|等价于x 2−a |x −1|−1≥a |x +1|，
即2111x a x x -≤-++对任意的3,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
恒成立，
即2211111122x x a x x x x x --⎛⎫≤
==- ⎪-++⎝⎭对任意的3,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
恒成立， ∵函数112y x x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭在区间3,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，最小值为132522312⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴512a ≤
，故实数a 的取值范围是5,12⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦．
【点评】解绝对值不等式的常用方法：
（1）基本性质法：a 为正实数，|x |<a ⇔−a <x <a ，|x |>a ⇔x <−a 或x >a ；
（2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于|x −a |<|x −b |或|x −a |>|x −b |型的不等式的求解； （3）分类讨论法(零点分区间法)：含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用分类讨论法去掉绝对值，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式求解；
（4）几何法：利用绝对值不等式的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解； （5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解． 5．已知函数f(x)=|x −2|+|x +2|． （1）求不等式f(x)≥2x +4的解集；
（2）若f(x)的最小值为k ，且实数a ，b ，c ，满足a(b +c)=k ，求证：2a 2+b 2+c 2≥8． 【答案】（1）(−∞，0]；（2）证明见解析．
【解析】（1）①当x <−2时，不等式即为−2x ≥2x +4，解得x ≤−1，∴x <−2； ②当−2≤x ≤2时，不等式即为4≥2x +4，x ≤0，∴−2≤x ≤0； ③当x >2时，不等式即为2x ≥2x +4，x ∈∅，
综上，不等式f(x)≥2x +4的解集为(−∞，0]．
（2）由绝对值不等式的性质可得：|x −2|+|x +2|≥|(x −2)−(x +2)|=4， ∴当−2≤x ≤2时，f(x)取最小值4，即k =4，∴a(b +c)=4，即ab +ac =4， ∴2a 2+b 2+c 2=(a 2+b 2)+(a 2+c 2)≥2ab +2ac =8， 当且仅当a =b =c =±√2时等号成立．
【点评】证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法．要根据已知条件灵活选择方法证明． 6．已知函数f(x)=|x −4|+|1−x|，x ∈R ． （1）解不等式：f(x)≤5；
（2）记f(x)的最小值为M ，若实数a ，b 满足a 2+b 2=M ，试证明：22
112
213
a b +≥++． 【答案】（1）{x |0≤x ≤5}，（2）证明见解析．
【解析】（1）()25,4413,1425,1x x f x x x x x x ->⎧⎪
=-+-=≤≤⎨⎪-+<⎩
，
因为f(x)≤5，所以2554x x -≤⎧⎨
>⎩或1≤x ≤4或255
1
x x -+≤⎧⎨<⎩，
所以4<x ≤5或1≤x ≤4或0≤x <1，
所以05x ≤≤，所以不等式的解集为{x |0≤x ≤5}．
（2）证明：因为f(x)=|x −4|+|1−x|≥|(x −4)+(1−x)|=3， 当且仅当1≤x ≤4时取等号，
所以f(x)的最小值为M =3，所以a 2+b 2=3， 所以
()()22
2222111112121216
a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++⨯ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
222212112
2221663b a a b ⎛⎛⎫++=++⨯≥+⨯= ⎪ ++⎝⎭⎝， 当且仅当222212
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b a a b ++=++，即a 2=1，b 2=2时取等号． 【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．。