等离子体物理第四章

• 除了Bθ之外, 还另有一些Bz
r方向的力
j Bz
jz B
p r
0
安培定律
r
Bz
0
j
1 r
r
(rB
)
0
jz
消去j,
Bz
0
Bz r
B
0r
r
(rB )
p r
0
B2
B2
B
2 z
B2
B2 (
p) 0
0 r
r 2 0
方向磁张量力 ( z)磁压力动压力
力
( j B)r
(p)r
jz B
p r
0
安培定律
( B) z
(0 j)z
1 r
r
(rB
)
0
jz
0
消去j
B
0r
r
(rB
)
p r
0
B2 ( B2 p) 0
0r r 20
额外项 动压力 磁压力
额外项的作用就象磁张量力,来源于磁力线弯曲
4.7.2 - z-箍缩
积分 B2 ( B2 p) 0,
0r r 20
b a
B2
0
dr r
[ B2
20
p(r)]ba
0
取b为边界, p(b)=0, 设a = r, 得
p(r) B2 (b) B2 (r) b B2 dr
20 20 r 0 r
积分限的半径
不能独立选择p(r)和j(r),它们必须自洽
4.7.2 - z-箍缩
例：j=常数
1 r
r
(rB
等离子体物理
第四章 等离子体的流体描述
本次课内容
第四章 等离子体的流体描述 4.6 流体近似简化为单流体方程 4.7 磁流体动力学平衡——θ−Z箍缩
4.6 流体近似简化为单流体方程
• 双流体方程——分别追踪电子和离子
• 单流体方程——将电子和离子方程结合在一起
•双流体方程
连续性方程 (C j )
jB
4.6.2 - 启发式推导与解释
欧姆定律
移动的流体所“看到”的电场为
E
B
EV
这等于阻性电场
j
EV E V B j
结论:
• 一般情况下,
q
E
j
B，可忽略
• 低频时,麦克斯韦位移电流E/ c2t 可忽略
• 考虑准中性,不需要泊松方程
4.6.3 - MHD使用的麦克斯韦方程
• MHD方程主要用于研究宏观磁约束问题
pi )
memi
mqeqi
(1
qe qi
me mi
)
memi
qeqi m
ei
j
4.6 流体近似简化为单流体方程
E V B
来源于电子惯性 霍尔项, j趋向于
低频下忽略
⊥B运动, 舍弃
memi
(
j )
1
( mi
me
)jB
qe qi t m m qi qe
( qe me
pe
qi mi
)
0
jz
B
0 jz
2
r
抛物线压力形状
代入 p(r) B2 (b) B2 (r) b B2 dr
20 20 r 0 r
p(r) 1 ( 0 jz )2{b2 r 2 b 2rdr} 0 jz2 {b2 r 2}
20 2
r
4
4.7.3 – 稳定z-箍缩
• 也称为“螺旋箍缩”,θ−z箍缩
• 安培定律
B 0 j
加上
B
0,
j 0
对简单的几何形状,作一些有用的计算
4.7 磁流体动力学平衡
4.7.1 - θ-箍缩
4.7.2 - Z-箍缩 4.7.3 - 稳定Z-箍缩
4.7.1 - θ-箍缩
•θ箍缩——等离子体电流在θ方向流动
• 取∞长, z方向均匀;
B Bz eˆz
j j eˆ
数量级估计: E q / 0 q E0 / L
B
0
j (
1 c2
E ) t
E j B / 0 L
q E
jB
0
L
( B )2
0L
L0
B2
L2 / c2
(0L2 )2
光经过的时间 (电阻趋肤时间)
2
Te=1 eV, 2 10 3
1m-1, L = 1 cm, q E ~ 10 8
•
质心速度
V
(ne mee
ni mii )
/
m
i
• 电荷密度 q qene qini
•
电流密度
j
qe nee
qi nii
qe ne
(e
i )
(准中性 )
• 总压强 p pe pi
4.6 流体近似简化为单流体方程
+
C
：
e
ne t
(nee )
0
C
：
i
ni t
(nii )
0
×me ×mi
m neme nimi
V
nemee
ni mii
m
m
t
(mV )
0
+
C
：
e
ne t
(nee )
0
C
：
i
ni t
(nii )
0
质量守恒方程
×qe ×qi
q qene qi ni
j
qenee
qi nii
q
j
0
t
电荷守恒方程
4.6 流体近似简化为单流体方程
M
e：me
ne
• 平衡时总压力为常数
Bz2
2 0
p 常数 动压力
磁压力
动压力和磁压力的平衡
• 等离子体β系数: 动压力和磁压力之比
20 p
Bz2
4.7.2 - z-箍缩
• z箍缩——等离子体电流在z方向流动
• 取∞长, z方向均匀;
B B eˆ
j jzeˆz
p p r
z箍缩约束
4.7.2 - z-箍缩
m
( t
V )V
qE
j
B
p
动量方程
4.6 流体近似简化为单流体方程
M
e：me
ne
(
t
e
)e
ne
qe
(
E
e
B)
pe
Fei
×qe/me
+
Mi：mi ni
( t
i )i
ni qi
(
E
i
B)
pi
Fie
×qi/mi
j
n
jq
j
[
t
(j
)]j
j
[
n
j
q
2 j
mj
(E
n j t
(n jj ) 0
动量方程(M j )
m
j
n
j
(
t
j
其中 Fjk
)j
jk n j
n
j
q
j
(E
j
mj (j k )
B)
p j
F jk
• 定义单流体变量,可将这4个方程整理为新方程
4.6 流体近似简化为单流体方程
定义新变量
• 质量密度 m neme ni mi ni mi
• 质量守恒
m
t
(mV )
0
• 电荷守恒
q
j
0
t
• 动量方程
m
( t
V )V
qE
j
B
p
• 欧姆定律
E V B j
• 状态方程
p
m
常数
4.6.2 - 启发式推导与解释
动量方程
q
E项
j
B项，可忽略
m (
t
V )V
总动量密度的改变率
q E
jB
p
电场力 磁场对电流的力 压力
p p r
θ箍缩约束
4.7.1 - θ-箍缩
力
( j B)r (p)r 0
安培定律 ( B) (0 j )
j Bz r p 0
r
Bz
0
j
消去j, Bz Bz p 0 ( Bz2 p) 0
0 r r
r 20
解为
Bz2
p
B2 z ext
20
20
4.7.1 - θ-箍缩
• 在聚变中,需要用磁场以某种方式约束等离子体,
使其不与腔壁接触, MHD是主要工具
B 0;
E
B ;
t
B 0 j
• “宏观”现象：MHD方程
• “微观”现象：双流体/动力学方程
4.7 磁流体动力学平衡
MHD研究磁场如何约束等离子体
平衡时V 0, 方程简化为
•
t
动量方程
0 j B p
状态方程
p
e
n
e
e
pi ni i
常数
准中性 ne ni m 取 e i
p
m
常数
单流体状态方程
4.6 流体近似简化为单流体方程
4.6.1 - 单流体方程概要：MHD 4.6.2 - 启发式推导与解释 4.6.3 - MHD使用的麦克斯韦方程
4.6.1 - 单流体方程概要：MHD
MHD: MagnetoHydroDynamics
(
t
e
)e
ne
qe
(
E
e
B)
pe
Fei
+
M
i：mi
ni
(
t
i )i
ni
qi
(
E
i
B)
pi
Fie
右边
[n
j
q
j
(E
j
B) p j
Fjk
]
qE
j B p
me << mi,忽略电子动量;
V
i
Fei Fie
左边
j
mjnj
( t
j
)j
m
( t
V )V
j
B)
qj mj
p j
qj mj
Fjk ]
舍弃(
由
Fei
)项; 准中性niqi eine mi (e i )
+
neqe=0,
左边
m
t
(j
m
Fie ,得广义欧姆定律
)
E V B
memi
(
j )
1
( mi
me
)j
B
qeqi t m m qi qe
( qe me
pe
qi mi
pi
)
me mi
m qe qi
(1
qe qi
me mi
)
me mi
qeqi m
ei
j
qi mi
pi
qe me
pe
~
霍尔项 , 忽略
me/mi项忽略
me mi ei me ei ，电阻率
qeqi (ni mi )
q
2 eneE V B j简化的欧姆定律4.6 流体近似简化为单流体方程