2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第7章 学案37

学案37数学归纳法
导学目标: 1。

了解数学归纳法的原理。

2。

能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
自主梳理
1．归纳法
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．
2．数学归纳法
设｛P n}是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立;（2）在假设P k成立的前提下，推出P k＋1也成立,那么可以断定{P n｝对一切正整数成立．
3．数学归纳法公理
(1)(归纳奠基）证明当n取第一个值__________时命题成立．
（2）(归纳递推）假设______________________时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
自我检测
1．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝错误!（a≠1）”在验证n＝1时,左端计算所得的项为__________________________________________________________ _____．
2．如果命题P（n)对于n＝k（k∈N*）时成立，则它对n＝k ＋2也成立，又若P(n)对于n＝2时成立，则下列结论中正确的序号有________．
①P(n）对所有正整数n成立;
②P(n)对所有正偶数n成立；
③P（n）对所有正奇数n成立；
④P（n）对所有大于1的正整数n成立．
3．证明错误!〈1＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈n＋1(n〉1)，当n ＝2时,中间式子等于______________．
4．用数学归纳法证明“2n〉n2＋1对于n>n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取________．
5．在数列{a n}中，a1＝1，且S n,S n＋1，2S1成等差数列（S n表示数列｛a n}的前n项和），则S2，S3，S4分别为______________；由此猜想S n＝__________.
探究点一用数学归纳法证明等式
例1对于n∈N＊，用数学归纳法证明：
1·n＋2·（n－1)＋3·（n－2）＋…＋(n－1）·2＋n·1
＝1
6
n(n＋1）(n＋2）．
变式迁移1 用数学归纳法证明：
对任意的n∈N＊，1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!。

探究点二用数学归纳法证明不等式
例2用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式错误!
错误!…错误!>错误!均成立．
变式迁移2 已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x>－1时,(1＋x)m≥1＋mx。

探究点三用数学归纳法证明整除问题
例3用数学归纳法证明：当n∈N*时,a n＋1＋(a＋1）2n－1能被a2＋a＋1整除．
变式迁移3 用数学归纳法证明：当n为正整数时,f（n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
从特殊到一般的思想
例（14分)已知等差数列｛a n}的公差d大于0,且a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列｛b n}的前n项和为T n，且T n＝1－错误!
b n.
（1)求数列｛a n}、｛b n｝的通项公式；
（2）设数列｛a n｝的前n项和为S n,试比较错误!与S n＋1的大小，并说明理由．
【答题模板】
解（1）由已知得错误!,又∵｛a n｝的公差大于0，
∴a5〉a2，∴a2＝3，a5＝9.
∴d＝错误!＝错误!＝2，a1＝1,
∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.［2分]
∵T n＝1－错误!b n，∴b1＝错误!，当n≥2时，T n－1＝1－错误!b n－1,
∴b n＝T n－T n－1＝1－1
2
b n－错误!，
化简，得b n＝错误!b n－1，［4分］
∴｛b n｝是首项为错误!,公比为错误!的等比数列，即b n＝错误!·错误!n －1＝错误!，
∴a n＝2n－1,b n＝错误!。

[6分］
(2)∵S n＝错误!n＝n2，∴S n＋1＝(n＋1)2，错误!＝错误!.
以下比较错误!与S n＋1的大小:
当n＝1时，错误!＝错误!，S2＝4，∴错误!〈S2，当n＝2时,错误!＝错误!,S3＝9，∴错误!<S3，
当n＝3时，错误!＝错误!,S4＝16，∴错误!〈S4，
当n＝4时，错误!＝错误!，S5＝25，∴错误!〉S5。

[9分]
猜想:n≥4时,错误!〉S n＋1.
下面用数学归纳法证明:
①当n＝4时，已证．
②假设当n＝k（k∈N*，k≥4)时，错误!>S k＋1,
即错误!〉(k＋1）2.［11分]
那么,n＝k＋1时，错误!＝错误!＝3·错误!〉3（k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝（k2＋4k＋4）＋2k2＋2k－1〉[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1）＋1，∴n＝k＋1时，错误!>S n＋1也成立．
由①②可知n∈N＊，n≥4时，错误!>S n＋1都成立．
综上所述，当n＝1,2,3时，1
b n<S n＋1，当n≥4时，错误!〉S n＋1。

［14
分］
【突破思维障碍】
1．归纳-—猜想—-证明是高考重点考查的内容之一,此类问题可分为归纳性问题和存在性问题,本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．2．数列是定义在N＊上的函数,这与数学归纳法运用的范围是一致的,并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决．
【易错点剖析】
1．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．
2．在进行n＝k＋1命题证明时,一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．
1．数学归纳法：先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n＝k (k∈N＊，k≥n0)时命题成立,并证明当n＝k＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立．这是因为第一步首先证明了n 取第一个值n0时，命题成立，这样假设就有了存在的基础，至少k ＝n0时命题成立，由假设合理推证出n＝k＋1时命题也成立，这实质上是证明了一种循环,如验证了n0＝1成立，又证明了n＝k＋1也成立，这就一定有n＝2成立,n＝2成立，则n＝3成立,n＝3成立，则n＝4也成立，如此反复以至无穷，对所有n≥n0的整数就都成立了．
2．(1)第①步验证n＝n0使命题成立时n0不一定是1,是使命题成立的最小正整数．（2）第②步证明n＝k＋1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推,否则就不是数学归纳法．
(满分：90分)
一、填空题（每小题6分，共48分)
1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,x n＋y n能被x＋y 整除"，在第二步时，正确的证法是________(填序号)．
①假设n＝k(k∈N*）时命题成立,证明n＝k＋1命题成立；
②假设n＝k（k是正奇数)时命题成立,证明n＝k＋1命题成立；
③假设n＝2k＋1 （k∈N＊)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立；
④假设n＝k(k是正奇数）时命题成立,证明n＝k＋2命题成立．
2．已知f（n）＝1
n＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则f(n)中共有
____________项；当n＝2时，f（2)＝____________。

3．如果命题P(n）对n＝k成立，则它对n＝k＋1也成立，现已知P(n）对n＝4不成立，则下列结论正确的是________（填序号）．
①P（n）对n∈N*成立；
②P（n)对n〉4且n∈N*成立；
③P（n)对n<4且n∈N*成立；
④P(n）对n≤4且n∈N*不成立．
4．（2010·泰州模拟）用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝错误!，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上
______________________________________________________ __________________。

5．(2010·淮南调研)若f(n）＝12＋22＋32＋…＋（2n）2，则f （k＋1)与f(k)的递推关系式是____________________．
6．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2(n ∈N＊）”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是
________．
7．(2010·南京模拟）用数学归纳法证明不等式错误!＋错误!＋…＋错误!〉错误!的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是____________________．
8．凸n边形有f（n)条对角线，凸n＋1边形有f(n＋1）条对角线,则f(n＋1)＝f（n)＋________。

二、解答题(共42分)
9．(12分）用数学归纳法证明1＋错误!≤1＋错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!＋n（n∈N*）．
10．（14分)数列{a n｝满足a n〉0，S n＝错误!（a n＋错误!)，求S1，S2，猜想S n,并用数学归纳法证明．
11．(16分）（高考预测题)已知函数f（x）＝错误!e－错误!（其中e 为自然对数的底数）．
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)在（－∞，0）上求函数f(x)的极值；
(3)用数学归纳法证明：当x〉0时，对任意正整数n都有f(错误!)<n！·x2－n。

学案37 数学归纳法
答案
自主梳理
3．(1）n0（n0∈N＊）(2)n＝k (k∈N*，且k≥n0）n＝k＋1自我检测
1．1＋a＋a2
解析当n＝1时左端有n＋2项，∴左端＝1＋a＋a2。

2．②
解析由n＝2成立,根据递推关系“P(n)对于n＝k时成立,则它对n＝k＋2也成立"，可以推出n＝4时成立，再推出n＝6时成立，…,依次类推，P（n）对所有正偶数n成立”．
3．1＋1
2
＋错误!＋错误!
解析当n＝2时，中间的式子
1＋错误!＋错误!＋错误!＝1＋错误!＋错误!＋错误!.
4．5
解析当n＝1时，21＝12＋1；
当n＝2时，22<22＋1；当n＝3时，23<32＋1；
当n＝4时，24<42＋1。

而当n＝5时，25〉52＋1，
∴n0＝5。

5。

错误!，错误!,错误!,错误!
课堂活动区
例1解题导引用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题,关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．证明设f（n)＝1·n＋2·（n－1）＋3·（n－2)＋…＋（n－1)·2＋n·1。

(1）当n＝1时，左边＝1，右边＝1,等式成立;
（2)假设当n ＝k （k ≥1且k ∈N *)时等式成立,
即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2）＋…＋(k －1）·2＋k ·1
＝错误!k (k ＋1）（k ＋2),
则当n ＝k ＋1时，
f (k ＋1）＝1·(k ＋1)＋2［（k ＋1）－1]＋3［（k ＋1）－2]＋…＋［（k ＋1）－1］·2＋（k ＋1）·1
＝f (k ）＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1）
＝错误!k （k ＋1）（k ＋2）＋错误!（k ＋1）（k ＋1＋1)
＝错误!（k ＋1)（k ＋2)(k ＋3）．
由（1）（2)可知当n ∈N ＊时等式都成立．
变式迁移1 证明 （1）当n ＝1时，
左边＝1－错误!＝错误!＝错误!＝右边,
∴等式成立．
（2）假设当n ＝k （k ≥1，k ∈N ＊)时，等式成立,即
1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!
＝错误!＋错误!＋…＋错误!.
则当n ＝k ＋1时，
1－12＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＋错误!－错误! ＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!－错误!
＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!
＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!,
即当n ＝k ＋1时，等式也成立，
所以由(1)（2）知对任意的n ∈N *等式都成立．
例2 解题导引 用数学归纳法证明不等式问题时，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程中,证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
证明 （1）当n ＝2时，左边＝1＋错误!＝错误!；右边＝错误!。

∵左边〉右边，∴不等式成立．
(2）假设当n＝k（k≥2,且k∈N*)时不等式成立，
即错误!错误!…错误!〉错误!。

则当n＝k＋1时，
错误!错误!…错误!错误!
>错误!·错误!＝错误!＝错误!
〉错误!＝错误!＝错误!.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由（1)(2）知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．
变式迁移2 证明（1)当m＝1时，原不等式成立；
当m＝2时，左边＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x,
因为x2≥0,所以左边≥右边，原不等式成立；
（2）假设当m＝k（k≥2，k∈N＊)时，不等式成立，
即（1＋x)k≥1＋kx,则当m＝k＋1时，
∵x>－1，∴1＋x〉0.
于是在不等式(1＋x)k≥1＋kx两边同时乘以1＋x得，
(1＋x）k·（1＋x)≥（1＋kx)（1＋x）＝1＋（k＋1）x＋kx2
≥1＋(k＋1)x.
所以（1＋x)k＋1≥1＋(k＋1）x,
即当m＝k＋1时，不等式也成立．
综合（1)(2)知，对一切正整数m,不等式都成立．
例3解题导引用数学归纳法证明整除问题，由k过渡到k＋1时常使用“配凑法”．在证明n＝k＋1成立时，先将n＝k＋1时的原式进行分拆、重组或者添加项等方式进行整理，最终将其变成一个或多个部分的和，其中每个部分都能被约定的数(或式子）整除，从而由部分的整除性得出整体的整除性，最终证得n＝k＋1时也成立．
证明（1)当n＝1时，a2＋(a＋1）＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整
除．
(2）假设当n＝k (k≥1且k∈N＊）时，
a k＋1＋(a＋1）2k－1能被a2＋a＋1整除，
则当n＝k＋1时，
a k＋2＋（a＋1）2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1）2（a＋1）2k－1
＝a·a k＋1＋a·（a＋1）2k－1＋(a2＋a＋1）(a＋1）2k－1
＝a［a k＋1＋（a＋1)2k－1]＋（a2＋a＋1)(a＋1）2k－1,
由假设可知a[a k＋1＋（a＋1）2k－1]能被a2＋a＋1整除，
∴a k＋2＋（a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除,
即n＝k＋1时命题也成立．
综合(1)(2)知,对任意的n∈N*命题都成立．
变式迁移3 证明（1）当n＝1时,f（1）＝34－8－9＝64，命题显然成立．
(2)假设当n＝k (k≥1，k∈N＊）时,
f(k）＝32k＋2－8k－9能被64整除．则当n＝k＋1时，
32（k＋1）＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9）＋9·8k＋9·9－8（k ＋1）－9＝9(32k＋2－8k－9）＋64（k＋1)
即f(k＋1)＝9f(k）＋64(k＋1）
∴n＝k＋1时命题也成立．
综合（1)（2）可知,对任意的n∈N*，命题都成立．
课后练习区
1．④
解析①、②、③中，k＋1不一定表示奇数，只有④中k为奇数，k＋2为奇数．
2．n2－n＋1 错误!＋错误!＋错误!
3．④
解析由题意可知，P(n）对n＝3不成立(否则P（n）对n＝4也成立)．同理可推P(n)对n＝2，n＝1也不成立．
4．(k2＋1）＋(k2＋2）＋(k2＋3）＋…＋（k＋1）2
解析∵当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2,
当n＝k＋1时，
左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，
∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上
（k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋（k＋1）2。

5．f（k＋1）＝f（k)＋(2k＋1）2＋（2k＋2)2
解析∵f（k)＝12＋22＋…＋(2k)2
∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋（2k＋1）2＋（2k＋2)2,
∴f(k＋1)＝f(k）＋（2k＋1）2＋（2k＋2)2。

6．2k＋1
解析∵当n＝k＋1时，
左边＝1＋2＋…＋k＋（k＋1)＋k＋…＋2＋1，
∴从n＝k到n＝k＋1时，应添加的代数式为（k＋1）＋k＝2k ＋1。

7.错误!
解析不等式的左边增加的式子是
错误!＋错误!－错误!＝错误!.
8．n－1
解析∵f(4）＝f（3）＋2，f（5)＝f(4)＋3,
f(6)＝f(5)＋4，…，∴f(n＋1)＝f（n)＋n－1.
9．证明(1)当n＝1时,左边＝1＋错误!，右边＝错误!＋1，
∴错误!≤1＋错误!≤错误!，命题成立．(2分）
当n＝2时,左边＝1＋错误!＝2;右边＝错误!＋2＝错误!，
∴2<1＋1
2
＋错误!＋错误!〈错误!，命题成立．(4分)
（2）假设当n＝k（k≥2,k∈N＊)时命题成立，
即1＋错误!〈1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!＋k，(6分)
则当n＝k＋1时，
1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!>1＋错误!＋2k·错误!＝1＋错误!。

(8分)
又1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!＋k＋2k·错误!＝错误!＋（k＋1)，
即n＝k＋1时,命题也成立．(10分)
由（1)（2）可知,命题对所有n∈N＊都成立．（12分)
10．解∵a n>0，∴S n>0,
由S1＝错误!(a1＋错误!),变形整理得S错误!＝1,
取正根得S1＝1。

由S2＝错误!（a2＋错误!)及a2＝S2－S1＝S2－1得
S2＝错误!(S2－1＋错误!），
变形整理得S错误!＝2,取正根得S2＝错误!.
同理可求得S3＝错误!.由此猜想S n＝错误!。

（6分）
用数学归纳法证明如下：
（1)当n＝1时,上面已求出S1＝1，结论成立．(8分）
(2)假设当n＝k时,结论成立，即S k＝错误!.（9分)
那么，当n＝k＋1时,
S k＋1＝错误!(a k＋1＋错误!)＝错误!(S k＋1－S k＋错误!）
＝错误!（S k＋1－错误!＋错误!)．
整理得S2，k＋1＝k＋1，取正根得S k＋1＝k＋1。

故当n＝k＋1时，结论成立．（13分)
由（1）、(2）可知,对一切n∈N*，S n＝n都成立．
(14分）
11．(1）解∵函数f（x)定义域为{x∈R|x≠0}
且f(－x）＝错误!e－错误!＝错误!e－错误!＝f(x）,
∴f(x）是偶函数．（4分)
（2)解当x〈0时，f(x）＝错误!e错误!，
f ′(x )＝错误!e 错误!＋错误!e 错误!（－错误!)
＝－错误!e 错误!（2x ＋1），(6分）
令f ′（x ）＝0有x ＝－错误!，
当x 变化时,f ′(x ），f (x ）的变化情况如下表：
错误!
无极小值．（10分)
(3）证明 当x >0时f （x )＝错误!e －错误!，
∴f （1x
)＝x 2e －x . 考虑到：x 〉0时，不等式f （错误!）<n ！·x 2－n 等价于x 2e －x <n !·x 2－n ⇔x n 〈n !·e x （ⅰ)（12分）
所以只要用数学归纳法证明不等式(ⅰ）对一切n ∈N *都成立即可．
①当n ＝1时，设g (x ）＝e x －x （x >0)，
∵x >0时，g ′（x ）＝e x －1〉0，∴g (x ）是增函数，
故g (x )>g （0)＝1>0，即e x 〉x (x 〉0)．
所以当n ＝1时,不等式(ⅰ)成立．(13分)
②假设n ＝k （k ≥1,k ∈N ＊)时，不等式（ⅰ)成立,
即x k <k !e x ，
当n ＝k ＋1时，设h (x ）＝（k ＋1）!·e x －x k ＋1(x 〉0)，
h ′(x ）＝（k ＋1）!e x －（k ＋1)x k ＝（k ＋1)(k ！e x －x k )>0, 故h （x ）＝（k ＋1）！·e x －x k ＋1（x 〉0)为增函数,
∴h (x ）>h (0）＝(k ＋1）!〉0,∴x k ＋1<(k ＋1)！·e x ，
即n＝k＋1时，不等式（ⅰ)也成立，（15分)
由①②知不等式(ⅰ)对一切n∈N*都成立，
故当x〉0时，原不等式对n∈N*都成立．（16分）。