重庆市九校联盟2019届高三12月联合考试数学(文)试题(解析版)

高三数学考试（文科）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合A ＝{x |3-2x ＜-1}，B ＝{x |x (2x -5)≤0}，则A ∪B ＝A. 2[,2)5B. 5(2,]2C. [0，+∞)D. 5[,)2+?【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A ，利用一元二次不等式的解法化简集合B ，然后利用并集的定义求解即可. 【详解】{}{}|3212x x x x -<-= ，(){}5|250|02B x x x x x禳镲\=-?＃睚镲铪， {}[)|00,A Bx x \??+?，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合. 2.若复数z 满足(2+i)z ＝3-i ，则z 的虚部为 A. 1 B. -1 C. i D. -i 【答案】B 【解析】 【分析】把给出的等式变形后得到复数是z 两个复数的商，然后运用复数的除法运算化简后可得z 的虚部. 【详解】由()2i 3i z +=-， 得()()()()3i 2i 3i 55i1i 2i 2i 2i 5z ----====-++-， 所以复数z 的虚部是1-，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.函数22log (1)()x f x x-=的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用排除法，由()30f >排除选项,A B ；由()30f -<排除选项D ，从而可得结果.【详解】()()22log 1x f x x-=，()2log 83103f \==>，排除选项,A B ； ()2log 83103f -=-=-<，排除选项D ，故选C. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -?=，则向量,a b 的夹角q 为 A.2π3 B. π3 C. π2 D. π6【答案】A 【解析】 【分析】由()()432a b a b -?=，结合2,1a b ==可得1a b ?-，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】222,14,1a b a b ==?=，()()432a b ab -?=，所以2241232a a b a b b +??=， 可得161150a b +?=，即1111a b?-，1a b ?-，设两向量夹角为q ， 则cos 1a b q =-，2cos 1q =-， 1cos 2q \=-， 即q 为23p，故选A. 【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a ba b q ?，二是1212a bx x y y ?+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，·cos ·a b a b q =（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a bb×；（3）,a b 向量垂直则0a b?;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ×）.5.已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ＜0时，1()22x f x =-，则xf (x )≥0的解集为( ) A. [-1，0)∪[1，+∞) B. (-∞，-1]∪[1，+∞) C. [-1，0]∪[1，+∞) D. (-∞，-1]∪{0}∪[1，+∞) 【答案】D 【解析】 【分析】由0x <时，()122x f x =-，可得()f x 在(),0-?上递增，利用奇偶性可得()f x 在()0,+?上递增，再求得()()()00,110f f f ==--=，分类讨论，将不等式转化为不等式组求解即可. 【详解】0x <时，()122x f x =-，()10f \-=，且在(),0-?上递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()00,110f f f \==--=，且()f x 在()0,+?上递增，()0xf x ³等价于0x =或()()001x f x f ì>ïí?ïî或()()1x f x f ì<ïí?-ïî，解得0x =或1x ³或1x ?， 即()0xf x ³解集为(]{}[),101,+-?热?，故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.6.设x ，y 满足约束条件12,3321,14,2y x y x y x ì?+ïïï?-íïï?ïî则z ＝4x +y 的最小值为( ) A. -3 B. -5 C. -14 D. -16 【答案】C 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出12,3321,14,2y x y x y x ì?+ïïï?-íïï?ïî表示的可行域，如图， 由12,3314,2y x y x ì=-+ïïïíïï=+ïî可得42x y ì=-ïïíï=ïî，可得()4,2A -，将4z x y =+变形为4y x z =-+， 平移直线4y x z =-+，由图可知当直4y x z =-+经过点()4,2A -时， 直线在y 轴上的截距最小， 最小值为()44214z =?+=-，故选C.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为A. 4π+6B. 6π+6C. 4π+3D. 6π+3【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体为半个圆柱，圆柱的底面半圆的半径为1，半圆柱高为3，算出各表面的面积即可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体为半个圆柱， 圆柱的底面半圆的半径为1，半圆柱高为3，其表面积有四部分组成，上、下底面半圆面积为22111+1=22p p p 创， 轴截面矩形面积为23=6´， 圆柱侧面积的一半为13=3p p 创，\几何体表面积为+6346p p p +=+，故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8.为了得到y ＝-2cos 2x 的图象，只需把函数2cos2y x x -的图象( )A. 向左平移π3个单位长度B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】逆用两角和的余弦公式，得cos2y x x -=2cos 26x p轾骣犏琪-+琪犏桫臌，再分析两个函数图象的变换.【详解】因为cos22cos 22cos 236y x x x x pp 轾骣骣犏琪琪-=-+=-+琪琪犏桫桫臌 ，要得到函数2cos2y x =-，只需将cos2y x x -的图象向右平移6p个单位长度即可．故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.9.已知双曲线C ：2211648x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，1FQ QP =，O 为坐标原点，若|PF 1|＝10，则|OQ |＝A. 10B. 9C. 1D. 1或9 【答案】B 【解析】 【分析】连接OQ ，利用1F Q QP=，可得OQ 是三角形12PF F 的中位线,由110PF =，结合双曲线的定义可得22PF =，从而可求得OQ 的大小.【详解】连接OQ ，因为1FQ QP =， 所以OQ 是三角形12PF F 的中位线， 212OQ PF \=， 由2211648x y -=可得28,8a c ==， 1218,10PF PF PF -==， 22PF \=或18，又因为2844PF c a ?=-=， 所以218PF =，2192OQ PF \==，故选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义与简单性质、平面向量的线性运算，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.10.如图，△ABC 和△DEF 均为等边三角形，AF ＝BD ＝CE ，DF ＝2AF ＝20 cm ，若在△ABC 中随机投入260粒芝麻，则落在△DEF 外的芝麻粒数约为A. 100B. 130C. 150D. 180 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求出AC 的值，从而可得两个正三角形的面积比，得到豆粒落在小正三角形内的概率，从而可得豆粒落在小三角形内的个数，再作差即可得结果. 【详解】220,330DF AF CF AF ==\==，DEF \D 为正三角形，120AFC \?，AC \=2413DEF ABC S S D D 骣\==， 即芝麻粒落在DEF D 内的概率为413， 260粒芝麻落在DEF D 内的有42608013?粒，落在DEF D 外的有26080180-=（粒），故选D.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型的应用，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.11.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若(sin B +sin C )2-sin 2(B +C )＝3sin B sin C ，且a ＝2，则△ABC 的面积的最大值是( )A.B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由()()22sin sin sin 3sin sin B C B C B C +-+=，利用正弦定理，结合诱导公式可得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，再由余弦定理可得222a b c bc +-=，从而得1cos 2A =，再利用基本不等式可得4bc £，由三角形面积公式可得结果. 【详解】()sin sin B C A +=，且()()22sin sin sin 3sin sin B C B C B C +-+=，222sin sin sin sin sin B C A B C \+-=，由正弦定理可得222a b c bc +-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，sin A ， 又222,42a b c bc bc bc bc =\=+-?=，即4bc £，11sin 422ABC S bc AD \=矗创=即ABC D B.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于难题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.12.设0＜m ≤2，已知函数31250()16x x f x m-+=，对于任意x 1，x 2∈[m -2，m ]，都有|f (x 1)-f (x 2)|≤1，则实数m 的取值范围为A. 5[,2]3B. 4[,2]3C. 1[,1]3D. 2[,1]3【答案】B 【解析】 【分析】设()3g 1250x x x =-+,函数()3125016x x f x m-+=，对于任意[]12,2,x x m m?，都有()()121f x f x -?，等价于在[]2,m m -上，()()maxmin 16g xg x m -?，利用导数判断函数()g x 在[]2,m m -为减函数，由()()216g m g m m --?，解不等式可得结果.【详解】设()3g 1250x x x =-+,函数()3125016x x f x m-+=，对于任意[]12,2,x x m m ?，都有()()121f x f x -?，等价于在[]2,m m -上，()()maxmin 16g x g x m -?，求导()2'312,g x x x =-[]2,2x ?时，()2'3120,g x x x =-< ()g x \在[]2,2-为减函数，因为02m <?，[][]2,2,2m m \-?，()g x \在[]2,m m -上为减函数，()()()()3max 2212250g x g m m m \=-=---+，()()3min 1250g x g m m m ==-+，()()2max min 6121616g x g x m m m \-=-++?，得2m ?或43m ³，又402,23m m ＃，即实数m 的范围是4,23轾犏犏臌，故选B.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.第Ⅱ卷二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上．13.已知函数22,0()log ,0x x f x x x ì+?ï=í>ïî，则3(())2f f -=____．【答案】1- 【解析】 【分析】利用分段函数的解析式先求出32f 骣琪-琪桫，从而可得32f f 骣骣琪琪-琪琪桫桫的值.【详解】()22,0log ,0x x f x x x ì+?ï=í>ïî，且302-<， 33120222f 骣琪\-=-+=>琪桫， 2311log 1222f f f 轾骣骣犏琪琪-===-琪琪犏桫桫臌，故答案为1-.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值．14.已知7sin cos 5a a +=-，22sin cos 5a a -=-，则cos 2α＝____． 【答案】725【解析】 【分析】由7sin cos 5a a +=-，22sin cos 5a a -=-，求得cos a ，再利用二倍角的余弦公式可得结果. 【详解】7sin cos 5a a +=-，①22sin cos 5a a -=-， ②①2´-②得1243cos ,cos 55a a =-=-， 224cos 22cos 1215a a 骣琪\=-=?-琪桫32712525=-=，故答案为725. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．15.如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知四边形ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝AA 1＝1，CD ＝2，E 为BB 1的中点，则直线AD 与直线CE 所成角的正切值为____．【答案】2【解析】 【分析】设M 为CD 中点，N 为1AA 中点，可得MNEC 是平行四边形，//MN CE ，又有//BM AD ，由此BMN Ð是AD 和CE 所成角，先证明BM ^平面11ABB A ，BM BN ^，利用直角三角形的性质可得结果. 【详解】如图，M 为CD 中点，N 为1AA 中点， 连结,,NE MN BM ，则NE MC =，可得MNEC 是平行四边形，//MN CE ，又有//BM AD ，BMN \?是AD 和CE 所成角， 由直棱柱的性质可得1AD AA ^， 由已知可得AD AB ^， 所以AD ^平面11ABB A ， 可得BM ^平面11ABB A ， 因为BM Ì平面11ABB A ， 所以BM BN ^，1,MB AD BN ===tan BN BMNBM \?【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.16.点P 在椭圆22:143x y C +=上，1C 的右焦点为F ，点Q 在圆222:68210C x y x y ++-+=上，则PQ PF -的最小值为__________．【答案】6 【解析】 【分析】先求得椭圆,a c 的值，求得圆的圆心和半径.设左焦点为1F 将所求的最小值，转化为12PQ PF a +-来求解.当12,,,P Q F C 四点共线时，取得最小值，利用两点间的距离公式来求得这个最小值. 【详解】依题意可知，椭圆的2,1a c ==，设左焦点为()11,0F -.圆的方程配方得()()222342x y ++-=，故圆心为()23,4C -，半径为2r =.根据椭圆的定义有：()1122PQ PF PQ a PF PQ PF a -=--=+-，故当12,,,P Q F C 时，上式取得最小值，即12122PQ PF a C F r a +-=--2456=---，即最小值为6.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义以及几何性质，考查圆的一般方程化为标准方程，考查与椭圆和圆有关的距离的最小值的求法，考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.根据椭圆的定义，椭圆上的点到两个焦点的距离之和是常数，这个是本题中转化的关键.圆的方程化为标准方程主要是通过配方法.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，a n +1＝2S n +3(n ∈N *)． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝log 3a n ，若数列11n n b b +禳镲睚镲铪的前n 项和为T n ，证明：T n ＜1．【答案】（1）3n n a =；（2）详见解析. 【解析】【分析】（1）由123n n a S +=+，可得123n n a S -=+，两式相减得12n n n a a a +-=，即()132n n a a n +=?，{}n a 为从第2项开始的等比数列，求得()32n n a n =?，验证首项是否适合即可得结果；（2）由（1）知33log log 3n n n b a n ===，可得()1111111n n b b n n n n +==-++，利用裂项相消法求出n T ，再由放缩法可得结果.【详解】（1）因为a n +1＝2S n +3， ①a n ＝2S n -1+3． ②①-②得a n +1-a n ＝2a n ，即a n +1＝3a n (n ≥2)，所以{a n }为从第2项开始的等比数列，且公比q ＝3，又a 1＝3，所以a 2＝9，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3n(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n． （2）由（1）知b n ＝log 3a n ＝log 33n＝n ， 所以()1111111n n b b n n n n +==-++， 所以1111112231n T n n 骣骣骣琪琪琪=-+-+?-琪琪琪+桫桫桫1111n =-<+得证． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k骣琪=-琪++桫；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n 骣琪=-琪-+-+桫；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n 轾犏-犏+++臌；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.2018年4月全国青少年足球超级联赛火爆开启，这是体育与教育的强强联手，这是培养足球运动员的黄金摇篮，也是全国青少年足球的盛宴．组委会在某场联赛结束后，随机抽取了300名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[64，70)，[70，76)，[76，82)，[82，88)，[88，94)，[94，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值并估计这300名观众评分的中位数；（2）若评分在“88分及以上”确定为“足球迷”，现从“足球迷”中按区间[88，94)与[94，100]两部分按分层抽样抽取5人，然后再从中任意选取两人作进一步的访谈，求这两人中至少有1人的评分在区间[94，100]的概率．【答案】（1）184150a=，；（2）710.【解析】【分析】（1）根据所有小矩形的面积和为1，列方程求解可得1150a=，利用直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（2）列举出从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件共有10个，以及这两人中至少有1人的评分在区间[]94,100的基本事件有7个，利用古典概型概率公式可得结果.【详解】（1）因为(a+0.025+0.035+0.050+0.030+0.020)×6＝1，所以1150a=．设y为观众评分的中位数，由前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.70，知82＜y＜88，所以0.4+(y-82)×0.05＝0.5，则y＝84．（2）以样本的频率作为概率，评分在“88分及以上”确定为“足球迷”，现从“足球迷”中按分层抽样抽取5人，则从评分在区间[88，94)的“足球迷”中抽取3人，记为A，B，C，从评分在区间[94，100]的“足球迷”中抽取2人，记为a，b．从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件为AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10个基本事件，这两人中至少有1人的评分在区间[94，100]的基本事件有Aa ，Ba ，Ca ，Ab ，Bb ，Cb ，ab ，共7个基本事件，则选取的2人中至少有1人的评分在区间[94，100]上的概率710P =． 【点睛】本题主要考查直方图与古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1) 枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2) 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19.如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，EF ∥AB ，BC ⊥FD ，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：PQ ∥平面ABCD ；（2）若CD ⊥BE ，EF ＝EC ＝1，223CD FF BC ==，求五面体ABCDFE 的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）52. 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得//AD BC ，由线面平行的判定定理可得BC 平面ADF ，再由线面平行的性质定理可得BCPQ ，进而可得结果；（2）由,C D B E C D C B^^，证明CD ^平面BCE ，可得CD CE ^，由,BC CD BC FD ^^，证明BC ^平面CDFE ，可得CB CE ^，即CD ，,CE CB 两两垂直，利用分割法ABCDEF F ABCD F BCE V V V --=+，根据锥体的体积公式，从而可得结果.【详解】（1）因为底面ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ．AD BCAD ADF BC ADF BC ADF üïï剔ýïËïþ平面平面平面，BC ADF BC BCPQ BC PQ BCPQ ADF PQ üïï剔ýï?ïþ平面平面平面平面，PQ BCPQ ABCD PQ ABCD BC ABCD üïï宿ýïÌïþ平面平面平面．（2）由CD ⊥BE ，CD ⊥CB ，易证CD ⊥CE ，由BC ⊥CD ，BC ⊥FD ，易证BC ⊥平面CDFE ，所以CB ⊥CE ， 即CD ，CE ，CB 两两垂直．连接FB ，FC ，则CD ＝2，BC ＝3，()123123F ABCD V -=创?，111311322F BCEV -骣琪=创创=琪桫， 15222ABCDEF F ABCD F BCE V V V --=+=+=．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，以及几何体体积的求解，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；(3)求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.20.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AB |＝4．（1）求抛物线的方程；（2）过点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若△OPQ 的面积为4，求直线l 的斜率（其中O 为坐标原点）． 【答案】（1）24y x =；（2）±. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得24p =，从而可得结果；（2）设直线l 的方程为()()()11221,,,,y k x P x y Q x y =-，1y x k =+代入24y x =，得2440y y k--=，利用弦长公式，结合韦达定理可得的PQ 值，由点到直线的距离公式，根据三角形面积公式可得142OPQSPQ d =鬃==，从而可得结果. 【详解】（1）由抛物线的定义得A B 、到准线的距离都是p ， 所以|AB |＝2p ＝4，所以抛物线的方程为y 2＝4x ．（2）设直线l 的方程为y ＝k (x -1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 因为直线l 与抛物线有两个交点， 所以k ≠0，得1y x k =+，代入y 2＝4x ，得2440y y k --=，且216160kD=+>恒成立，则124y y k+=，y 1y 2＝-4，所以()212241k PQ y y k+-=． 又点O 到直线l的距离d ，所以142OPQSPQ d =鬃==，解得213k =，即k =?． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题，意在考查综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．21.设函数22()e xx f x x m=+-． （1）求f (x )的单调区间；（2）若对于任意x 1，x 2∈[-m ，m ](m ＞0)，都有|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1，求m 的取值范围． 【答案】（1）()f x 的单调递减区间是(,0)-?，单调递增区间是(0,)+? (2) (0,1] 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由导函数的正负得到原函数的单调区间；（2）由第一问确定出函数在给定区间上的单调性，之后将任意的[]12,,x x m m ?，()()121f x f x e -?恒成立转化为()()()()0101f m f e f m f e ì-?ïíï--?î ，即11m me m e e m e -ì-?ïí+?ïî， 再构造新函数()t g t e t =-，求导得到其单调性，结合其性质，求得最后的结果.【详解】（1）因为()22xx f x e x m=+-，所以()()222211x xx x f x e e m m =+-=-+¢， 所以当(),0x ??时，()2210,0,0x xe f x m¢-<<<； 当()0,x ??时，()2210,0,0x xe f x m¢->>>． 所以()f x 的单调递减区间是(),0-?，单调递增区间是()0,+?．（2）由（1）知，()f x 在[],0m -上单调递减，在[]0,m 上单调递增， 故()f x 在0x =处取得最小值，且()01f =． 所以对于任意的[]12,,x x m m ?，()()121f x f x e -?的充要条件为()()()()0101f m f e f m f e ì-?ïíï--?î ，即11m m e m e e m e -ì-?ïí+?ïî ① 设函数()tg t e t =-，则()1t g t e ¢=-．当0t <时，()0g t ¢<；当0t >时，()0g t ¢>，故()g t 在(),0-?上单调递减，在()0,+?上单调递增．又()11g e =-，()m g m e m =-，()m g m e m --=+，所以当(]0,1m Î时，()()()()111,111g m g e g m g e e -?--?=+<-，即①式成立， 综上所述，m 的取值范围是(]0,1．【点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，应用导数研究恒成立问题对应的参数的取值范围，在解题的过程中，需要正确理解题意，对问题正确转化，构造相应的新函数来解决问题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y a aì=ïí=+ïî（a 为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90°得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线(0)3p q r =?与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB 的面积．【答案】（1）10sin r q = ，()10cos 0r q r =?； （2）15-【解析】【分析】（1）将曲线C 1的参数方程转化为普通方程，然后由普通方程转化为极坐标方程；再用N 表示出M,根据点M 在曲线C 1上，采用相关点法，求轨迹C 2的极坐标方程；（2）根据已知条件，求得1553TOA TOB S S ==， ，通过TAB TOA TOB S S S =-求解.【详解】（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为()22525x y +-=，即22100x y y +-=，故1C 的极坐标方程为210sin 0r r q -=，即10sin r q =．设点()(),0N r q r ¹，则由已知得,2M p r q 骣琪+琪桫，代入1C 的极坐标方程得10sin 2p r q 骣琪=+琪桫，即()10cos 0r q r =?．（2）将3p q =代入12,C C的极坐标方程得,5,33A B p p 骣琪琪桫， 又因为()4,0T ，所以1sin 1523TOA S OA OT p =?，1sin 23TOB S OB OT p =?所以15TAB TOA TOB S S S =-=-【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查了点的极坐标以及极坐标与直角坐标的关系，涉及了三角函数的诱导公式和三角形的面积公式，考查了推理论证能力、运算求解能力，以及化归与转化思想.23.[选修4—5：不等式选讲] 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->．（1）当12m =时，求不等式1()2f x ³的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）113x x 禳镲＃睚镲铪； （2）70,2骣琪琪桫. 【解析】【分析】（1）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解不等式的解集．（2）不等式()()3443f x t t f xt t +-<+郏+-- ，根据已知条件，结合绝对值不等式的几何意义，转化求解()()max max f x g t £即可．【详解】因为0m >，所以()3,223,3,x m x m f x x m x m x m m x m x m x mì-?ïï=+--=--<<íï-+?ïî．（1）当12m =时，()31,221113,,22231,22x x f x x x x x ì-?ïïïï=--<<íïïï-+?ïî所以由()12f x ³，可得31,2212x x ì-?ïïíï?ïî或113,221122x x ì-?ïïíï-<<ïî 或312212x x ì-+?ïïíï³ïî， 解得1132x ?或112x ＃， 故原不等式的解集为113x x 禳镲＃睚镲铪． （2）因为()()3443f x t t f x t t +-<+郏+--，令()43g t t t =+--，则由题设可得()()max max f x g t £ ，由()3,3,3,x m x m f x x m m x m x m x mì-?ïï=--<<íï-+?ïî，得()()max 2f x f m m ==． 因为()()43437t t t t +--?--=，所以()77g t -＃． 故()max 7g t =，从而27m <，即72m <， 又已知0m >，故实数m 的取值范围是70,2骣琪琪桫．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的几何意义的应用；绝对值不等式问题中的求参数范围问题，一般思路是：借助绝对值的几何意义、零点分段法等，先求出相关函数的最值或值域，再根据题目要求求解.。