一类混沌系统动力学行为的突变分析
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[ 7] 迟东璇, 汪锐, 朱伟勇 . 一 类非线 性动力 系统的 混沌 研 究 [ J] . 东 北 大 学 学 报: 自 然 科 学 版, 2004, 25 ( 4 ) : 345 348.
[ 8] 戴栋, 马西奎. 基于 间歇性参数自适应控制的混沌同 步 [ J] . 物理学报, 2001, 50( 7) : 1237 1240.
图 3 C 0 = 17. 0 时, 系统( 1) 的 F( x n ) 曲线
较小时, 系统与分角线只有一个交点 C, 为稳
定不动点, 此时系统只有围绕该稳定不动点 C 的吸
引子; 当 增大到 3. 5 时, 系统与分角线相切, 另一
稳定 不动 点 D ( 与 切 点 B 重 合) 开 始 出现, 此 时
2(
-
1)
x
2 n
-
(
-
1)
x
3 n
]
,
( 1)
式中 C 0为系统状态参数. 选取 C 0 = 17. 0, 系统参数
[ 3. 4, 3. 95] , 通过计算机仿真来观察系统( 1) 的
动力学行为. 随着 的变化趋势的不同, 可分别得到
如图 1, 2 所示的分岔情况.
由图 1 可以看出, 随着 的增加, 在 [ 3. 5,
适当选取系统的初始值, 可改变系统的动力学行 为走向.
关键词: 突变系统; 吸引域; 临界状态
分类号: ( 中图) O415
文献标志码: A
混沌现象是发生在确定性系统中的一种不确定 行为, 具体表现在混沌系统具有分维吸引子和对初 值的敏感性, 由于非线性动力学系统的运动状态失
稳而出现分岔乃至混沌状态是非常普遍的现象. 非 线性动力学系统中系统参数的变化还可能使混沌吸 引子突然产生、消失或合并, 即发生突变. 突变现象 在非线性系统中普遍存在, 当系统参数变化到某一 临界状态时, 系统的动力学行为会突然发生变化.
图 1 C0 = 17. 0, 增大时系统( 1) 的分岔图
图 2 C0 = 17. 0, 减小时系统( 1) 的分岔图
收稿日期: 2010 06 11 基金项目: 华北电力大学博士基金资助项目( kH0433) ; 国际科技合作资助项目( 2007DFA 71250) ; 河北省教育 厅科学研究
计划资助项目( Z2010167)
作者简介: 屈双惠( 1978 ) , 女, 讲师, 硕士, 主要从事理论物理研究.
第3期
屈双惠等: 一类混沌系统动力学行为的突变分析
225
2 突变行为分析
2. 1 发生突变行为的条件 系统( 1) 之所以会在 [ 3. 5, 3. 86] 出现 2 个吸
引子, 是因为在此区域系统出现 2 个稳定不动点, 围 绕这 2 个稳定不动点形成了 2 个混沌吸引子. 为了分 析系统产生稳定不动点的情况, 图 3 给出了当 C0 = 17. 0 时, 随 变化, F( xn) 与分角线相交的情况.
切点 A 重合; 当 超越此值时, 在 C 点处系统与分角
线分离, 交点 C 消失, 系统与分角线只有一个交点
D , 此时系统只有围绕稳定不动点 D 的吸引子[ 4] .
2. 2 突变行为走向分析
在系统发生突变过程的区域, 交点 E 为不稳定
不动点, 其系统值 x E 与系统状态参数 C0 及系统参
10 22 06 ;
摘 要: 通过对一类混沌系统突变行为的分析发 现, 在其突变区域, 系统可出现 2 个由稳定 不动点决 定的混沌吸 引
子. 随着系统参数的变化, 当某个吸引子的吸引域逾越不稳定不动点界限或临界状 态时, 系 统将突变 到另一吸引 子
上, 并且在系统参数变化范围相同的区域, 若系统参数变化的趋势不同, 系统的动力学 行为不同. 在突变 区域, 通 过
Catastrophe Analysis of Dynamic Behaviour for A Chaotic System
x n+ 1 = x n , 系统斜率 F!( x n ) = 1; 随着 的继续增
大, 系统与分角线出现 3 个交点, 交点 E 为不稳定不
动点, D 点和 C 点为稳定不动点, 在此区域可出现围
绕稳定不动点 C, D 的 2 混沌吸引子; 当 增 大到
3. 86 时, 系统再次与分角线相切, 交点 C 减小到与
对于高阶次突变系统, 由于系统与分角线的交 点可更多, 在突变区域可出现多个由稳定不动点决 定的吸引子, 当某一吸引子的吸引域逾越不稳定不 动点界限或临界点时, 也会发生突变[ 5- 7] .
3 初始值对系统动力学行为的影响
对于系统( 1) , 由于在突变区域, 以不稳定不动 点( 虚线) 为界线, 不动点把迭代数值分为了 2 个混 沌区域, 如图 8 所示.
当 一定时, 以不稳定不动点为界限, 如果初始 值大于不稳定不动点, 迭代将围绕稳定不动点 C 进 行, 如果初始值小于不稳定不动点, 迭代将围绕稳定 不动点 D 进行. 因此, 通过对初始值的调节, 可以实 现对系统动力学行为迭代范围的控制. 在图 8 中, 当
= 3. 73 时, 若选定的 初始值小于不 稳定不动 点
中国学术期刊光盘版?将对我国科学研究技术开发及其管理手段的高度信息化对图书情报和新闻出版管理手段的现代化对促进我国学术期刊国际地位的提高产生重大影响并必将对学术领域信息高速公路的建设和国民经济信息化建设产生积极的推动作用
第31卷 第3期 V ol. 31 N o. 3
宁夏大学学报( 自然科学版) Journal o f N ing x ia U niver sity( N atural Science Edit ion)
时, 混沌系统( 1) 随系统参数增大或减小时的分岔
情况. 可以看出: 随着 的增大, 原稳定不动点 C 决
定的吸引子始终未超越不稳定不动点( 虚线) , 直到
越过临界值 3. 73 时, 交点 C 消失, 系统值才突变到
另一稳定不动点 D 决定的吸引子上; 随着 的减小,
当其越过另一临界值 3. 47 时, 原不动点 D 消失, 系
到另一临界值 3. 86 时, 不稳定不动点 C 消失, 吸引
子突变到 D 决定的吸引子上. 减小时的情况与此
类似, 系统也发生 3 次突变.
系统状态参数 C0 略有变动时, 系统的动力学行
为会略有不同, 但仍会在特定区域出现突变. 图 4, 5
分别给出了 C0 = 16. 0, 系统参数
[ 3. 4, 3. 95]
3. 5 时, 由稳定不动点 C 决定的吸引子处于混沌状
态; 当系统参数 增大超过临界值 3. 5 时, 系统与分
角线交点由 1 个增至 3 个, 出现另一稳定不动点 D
及不稳定不动点 E , 由于吸引子不能跨越不稳定不
动点( 虚线) 同时占据 2 吸引子空间, 因此 = 3. 5
时, 系统从由原稳定不动点 C 决定的吸引子( 混沌状
x E = 0. 743, 迭代将围绕不动点 D 进行, 系统为混 沌状态; 若选定的初始值大于不稳定不动点, 迭代将 围绕不动点 C 进行, 系统为二周期轨道. 如图 9 所 示, = 3. 73 时, 取迭代次数 n = 300, 当初始值选定 为 0. 4 时, 系统处于混沌状态; 当初始值选定为 0. 8 时, 系统处于二周期轨道[ 8] .
[ 5] 何岱海, 徐健学, 陈永 红. 一两维 平面映 射系统 奇怪 动 力学行为[ J] . 物理学报, 1999, 48( 9) : 1611 1617.
[ 6] 陆君安, 吕金虎, 陈士华. Chen∀ s 混 沌吸引子 及其特 征 量[ J] . 控制理论与应用, 2002, 19( 2) : 308 310.
[ 3] 王改云, 虞厥邦, 古天祥. 控制 离散映 射系统 混沌 的一 种方法[ J] . 物理学报, 2001, 50( 12) : 2307 2310.
[ 4] 周平. 控制离散非线 性系统 中不稳 定不动 点的一 种方 法[ J] . 物理学报, 1999, 48( 10) : 1804 1809.
统突变到稳定不动点 C 决定的吸引子上.
图 4 C0 = 16. 0, 增大时系统( 1) 的分岔图
图 5 C0 = 16. 0, 减小时系统( 1) 的分岔图
2. 3 突变区域吸引子 为了更清楚地了解混沌系统的突变行为, 图 6
22 6
宁夏大学学报( 自然科学版)
第 31 卷
给出了 C0 = 17. 0 时, 随 的增大, 系统在突变区域 的吸引子. 可以看出: C0 = 17. 0 时, 随着系统参数 的增大, 突变区域出现 2 吸引子, 吸引子以不稳定不 动点( 虚线) 为界线, 除个别误差点外不会逾越不稳 定不动点而同时占据 2 吸引子空间.
数 有关, 即
ห้องสมุดไป่ตู้
xE= -
p 3
cos
q+
p sin q+
2 3
,
式中:
p=
-3 -
1 3
+
1
, q=
1 3
arccos
-
3
227 -
1 3
+
1 C0
2
-
1 3
+
-3 12
-
1 3
+
1
.
将 C0 = 17. 0 时不稳定不动点的系统值 x E 随系
统参数变化的情况分别绘制在图 1, 2 的分岔图中,
用虚线表示. 如图 1 所示, 随着 的增大, 当 小于
3. 86] , 系统出现 2 吸引子. = 3. 5 时系统由混沌
状态突变到下叶( 域值较小) 吸引子上; 当 增大到
3. 78 时, 系统由下叶吸引子突变到上叶( 域值较大)
吸引子上; 当 增大到 3. 86 时, 系统又由上叶吸引
子突变回混沌状态. 由图 2 可以看出, 对于同样区域 ( [ 3. 5, 3. 86] ) , 随着 的减小, 系统也出现 2 吸 引子, 并产生突变现象, 但走向不同, 即虽然系统参 数的变化范围相同, 但是随着系统参数变化趋势的 不同, 其动力学行为却不同.
a 初值为 0. 4 时
b 初值为 0. 8 时 图 9 = 3. 73, 迭代次数 n = 300 时系统的状态
4 结语
通过对突变系统突变行为的分析发现, 在系统 突变区域可出现 2 个由稳定不动点决定的混沌吸引 子, 随着系统参数的变化, 当某个吸引子的吸引域逾 越不稳定不动点界限或临界状态时, 系统将突变到 另一吸引子上. 并且在此区域, 随着系统参数变化趋 势的不同, 系统的动力学行为要发生变化. 据此, 在 突变区域, 通过适当调节系统的初始值, 可对系统的 动力学行为走向加以控制, 这对分析和调节复杂混 沌系统的非线性动力学行为具有重要的理论意义.
图 6 C0 = 17. 0 时的吸引子
图 8 C0 = 17. 0 时, 由初值决定的 2 吸引子
图 7 C0 = 16. 0 时的吸引子
图 7 给出了 C0 = 16. 0 时, 随 的增大, 系统在 突变区域的吸引子. 可以看出: 随着 的增大, 突变 区域只出现一围绕稳定不动点 C 的吸引子, 即在此 区域, 该吸引子不会突变到另一吸引子上, 只在临界 点才发生突变.
2 010 年9 月 Sep. 2010
文章编号: 0253 2328( 2010) 03 0224 04
一类混沌系统动力学行为的突变分析
屈双惠1, 杨志宏1, 于津江1, 郝建红2, 侯维娜3
( 1. 石家庄学院 物理学系、电气信息工程系, 河北 石家 庄 050035; 2. 华北电力大学 电气与电子工 程学院, 北京 3. 重庆邮电大学 光互联网及无线信 息网络研究中心, 重庆 400065)
本文通过对一类混沌系统突变行为的研究, 具 体分析了产生突变行为的原因. 利用这一现象, 通过 适当选取系统的初始值, 可对系统的动力学行为走 向加以控制[ 1- 2] .
1 动力学模型
考虑如下的非线性动力学模型,
x n+ 1 = F( x n ) = C0 x n [ 0. 75 - ( - 0. 25) x n +
态) 突变到另一稳定不动点 D 决定的吸引子上; 随
着 的继续增大, 不动点 D 决定的吸引子进入混沌
状态, 其吸引域不断逼近不稳定不动点, 在 = 3. 78
时将超越不稳定不动点, 由于同一吸引子不能跨越
不稳定不动点同时占据 2 吸引子空间, 此时其吸引
子将突变回由不动点 C 决定的吸引子上; 当 增大
第3期
屈双惠等: 一类混沌系统动力学行为的突变分析
227
参考文献:
[ 1] 蔡国梁, 谭振梅 . 一个新的混沌系统的动力学分 析及混 沌控制[ J] . 物理学报, 2007, 56( 11) : 6230 6236.
[ 2] 刘汝军. 离散系统自 适应参 数的混 沌同 步[ J] . 山 东大 学学报: 理学版 , 2005, 40( 1) : 47 50.
[ 8] 戴栋, 马西奎. 基于 间歇性参数自适应控制的混沌同 步 [ J] . 物理学报, 2001, 50( 7) : 1237 1240.
图 3 C 0 = 17. 0 时, 系统( 1) 的 F( x n ) 曲线
较小时, 系统与分角线只有一个交点 C, 为稳
定不动点, 此时系统只有围绕该稳定不动点 C 的吸
引子; 当 增大到 3. 5 时, 系统与分角线相切, 另一
稳定 不动 点 D ( 与 切 点 B 重 合) 开 始 出现, 此 时
2(
-
1)
x
2 n
-
(
-
1)
x
3 n
]
,
( 1)
式中 C 0为系统状态参数. 选取 C 0 = 17. 0, 系统参数
[ 3. 4, 3. 95] , 通过计算机仿真来观察系统( 1) 的
动力学行为. 随着 的变化趋势的不同, 可分别得到
如图 1, 2 所示的分岔情况.
由图 1 可以看出, 随着 的增加, 在 [ 3. 5,
适当选取系统的初始值, 可改变系统的动力学行 为走向.
关键词: 突变系统; 吸引域; 临界状态
分类号: ( 中图) O415
文献标志码: A
混沌现象是发生在确定性系统中的一种不确定 行为, 具体表现在混沌系统具有分维吸引子和对初 值的敏感性, 由于非线性动力学系统的运动状态失
稳而出现分岔乃至混沌状态是非常普遍的现象. 非 线性动力学系统中系统参数的变化还可能使混沌吸 引子突然产生、消失或合并, 即发生突变. 突变现象 在非线性系统中普遍存在, 当系统参数变化到某一 临界状态时, 系统的动力学行为会突然发生变化.
图 1 C0 = 17. 0, 增大时系统( 1) 的分岔图
图 2 C0 = 17. 0, 减小时系统( 1) 的分岔图
收稿日期: 2010 06 11 基金项目: 华北电力大学博士基金资助项目( kH0433) ; 国际科技合作资助项目( 2007DFA 71250) ; 河北省教育 厅科学研究
计划资助项目( Z2010167)
作者简介: 屈双惠( 1978 ) , 女, 讲师, 硕士, 主要从事理论物理研究.
第3期
屈双惠等: 一类混沌系统动力学行为的突变分析
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2 突变行为分析
2. 1 发生突变行为的条件 系统( 1) 之所以会在 [ 3. 5, 3. 86] 出现 2 个吸
引子, 是因为在此区域系统出现 2 个稳定不动点, 围 绕这 2 个稳定不动点形成了 2 个混沌吸引子. 为了分 析系统产生稳定不动点的情况, 图 3 给出了当 C0 = 17. 0 时, 随 变化, F( xn) 与分角线相交的情况.
切点 A 重合; 当 超越此值时, 在 C 点处系统与分角
线分离, 交点 C 消失, 系统与分角线只有一个交点
D , 此时系统只有围绕稳定不动点 D 的吸引子[ 4] .
2. 2 突变行为走向分析
在系统发生突变过程的区域, 交点 E 为不稳定
不动点, 其系统值 x E 与系统状态参数 C0 及系统参
10 22 06 ;
摘 要: 通过对一类混沌系统突变行为的分析发 现, 在其突变区域, 系统可出现 2 个由稳定 不动点决 定的混沌吸 引
子. 随着系统参数的变化, 当某个吸引子的吸引域逾越不稳定不动点界限或临界状 态时, 系 统将突变 到另一吸引 子
上, 并且在系统参数变化范围相同的区域, 若系统参数变化的趋势不同, 系统的动力学 行为不同. 在突变 区域, 通 过
Catastrophe Analysis of Dynamic Behaviour for A Chaotic System
x n+ 1 = x n , 系统斜率 F!( x n ) = 1; 随着 的继续增
大, 系统与分角线出现 3 个交点, 交点 E 为不稳定不
动点, D 点和 C 点为稳定不动点, 在此区域可出现围
绕稳定不动点 C, D 的 2 混沌吸引子; 当 增 大到
3. 86 时, 系统再次与分角线相切, 交点 C 减小到与
对于高阶次突变系统, 由于系统与分角线的交 点可更多, 在突变区域可出现多个由稳定不动点决 定的吸引子, 当某一吸引子的吸引域逾越不稳定不 动点界限或临界点时, 也会发生突变[ 5- 7] .
3 初始值对系统动力学行为的影响
对于系统( 1) , 由于在突变区域, 以不稳定不动 点( 虚线) 为界线, 不动点把迭代数值分为了 2 个混 沌区域, 如图 8 所示.
当 一定时, 以不稳定不动点为界限, 如果初始 值大于不稳定不动点, 迭代将围绕稳定不动点 C 进 行, 如果初始值小于不稳定不动点, 迭代将围绕稳定 不动点 D 进行. 因此, 通过对初始值的调节, 可以实 现对系统动力学行为迭代范围的控制. 在图 8 中, 当
= 3. 73 时, 若选定的 初始值小于不 稳定不动 点
中国学术期刊光盘版?将对我国科学研究技术开发及其管理手段的高度信息化对图书情报和新闻出版管理手段的现代化对促进我国学术期刊国际地位的提高产生重大影响并必将对学术领域信息高速公路的建设和国民经济信息化建设产生积极的推动作用
第31卷 第3期 V ol. 31 N o. 3
宁夏大学学报( 自然科学版) Journal o f N ing x ia U niver sity( N atural Science Edit ion)
时, 混沌系统( 1) 随系统参数增大或减小时的分岔
情况. 可以看出: 随着 的增大, 原稳定不动点 C 决
定的吸引子始终未超越不稳定不动点( 虚线) , 直到
越过临界值 3. 73 时, 交点 C 消失, 系统值才突变到
另一稳定不动点 D 决定的吸引子上; 随着 的减小,
当其越过另一临界值 3. 47 时, 原不动点 D 消失, 系
到另一临界值 3. 86 时, 不稳定不动点 C 消失, 吸引
子突变到 D 决定的吸引子上. 减小时的情况与此
类似, 系统也发生 3 次突变.
系统状态参数 C0 略有变动时, 系统的动力学行
为会略有不同, 但仍会在特定区域出现突变. 图 4, 5
分别给出了 C0 = 16. 0, 系统参数
[ 3. 4, 3. 95]
3. 5 时, 由稳定不动点 C 决定的吸引子处于混沌状
态; 当系统参数 增大超过临界值 3. 5 时, 系统与分
角线交点由 1 个增至 3 个, 出现另一稳定不动点 D
及不稳定不动点 E , 由于吸引子不能跨越不稳定不
动点( 虚线) 同时占据 2 吸引子空间, 因此 = 3. 5
时, 系统从由原稳定不动点 C 决定的吸引子( 混沌状
x E = 0. 743, 迭代将围绕不动点 D 进行, 系统为混 沌状态; 若选定的初始值大于不稳定不动点, 迭代将 围绕不动点 C 进行, 系统为二周期轨道. 如图 9 所 示, = 3. 73 时, 取迭代次数 n = 300, 当初始值选定 为 0. 4 时, 系统处于混沌状态; 当初始值选定为 0. 8 时, 系统处于二周期轨道[ 8] .
[ 5] 何岱海, 徐健学, 陈永 红. 一两维 平面映 射系统 奇怪 动 力学行为[ J] . 物理学报, 1999, 48( 9) : 1611 1617.
[ 6] 陆君安, 吕金虎, 陈士华. Chen∀ s 混 沌吸引子 及其特 征 量[ J] . 控制理论与应用, 2002, 19( 2) : 308 310.
[ 3] 王改云, 虞厥邦, 古天祥. 控制 离散映 射系统 混沌 的一 种方法[ J] . 物理学报, 2001, 50( 12) : 2307 2310.
[ 4] 周平. 控制离散非线 性系统 中不稳 定不动 点的一 种方 法[ J] . 物理学报, 1999, 48( 10) : 1804 1809.
统突变到稳定不动点 C 决定的吸引子上.
图 4 C0 = 16. 0, 增大时系统( 1) 的分岔图
图 5 C0 = 16. 0, 减小时系统( 1) 的分岔图
2. 3 突变区域吸引子 为了更清楚地了解混沌系统的突变行为, 图 6
22 6
宁夏大学学报( 自然科学版)
第 31 卷
给出了 C0 = 17. 0 时, 随 的增大, 系统在突变区域 的吸引子. 可以看出: C0 = 17. 0 时, 随着系统参数 的增大, 突变区域出现 2 吸引子, 吸引子以不稳定不 动点( 虚线) 为界线, 除个别误差点外不会逾越不稳 定不动点而同时占据 2 吸引子空间.
数 有关, 即
ห้องสมุดไป่ตู้
xE= -
p 3
cos
q+
p sin q+
2 3
,
式中:
p=
-3 -
1 3
+
1
, q=
1 3
arccos
-
3
227 -
1 3
+
1 C0
2
-
1 3
+
-3 12
-
1 3
+
1
.
将 C0 = 17. 0 时不稳定不动点的系统值 x E 随系
统参数变化的情况分别绘制在图 1, 2 的分岔图中,
用虚线表示. 如图 1 所示, 随着 的增大, 当 小于
3. 86] , 系统出现 2 吸引子. = 3. 5 时系统由混沌
状态突变到下叶( 域值较小) 吸引子上; 当 增大到
3. 78 时, 系统由下叶吸引子突变到上叶( 域值较大)
吸引子上; 当 增大到 3. 86 时, 系统又由上叶吸引
子突变回混沌状态. 由图 2 可以看出, 对于同样区域 ( [ 3. 5, 3. 86] ) , 随着 的减小, 系统也出现 2 吸 引子, 并产生突变现象, 但走向不同, 即虽然系统参 数的变化范围相同, 但是随着系统参数变化趋势的 不同, 其动力学行为却不同.
a 初值为 0. 4 时
b 初值为 0. 8 时 图 9 = 3. 73, 迭代次数 n = 300 时系统的状态
4 结语
通过对突变系统突变行为的分析发现, 在系统 突变区域可出现 2 个由稳定不动点决定的混沌吸引 子, 随着系统参数的变化, 当某个吸引子的吸引域逾 越不稳定不动点界限或临界状态时, 系统将突变到 另一吸引子上. 并且在此区域, 随着系统参数变化趋 势的不同, 系统的动力学行为要发生变化. 据此, 在 突变区域, 通过适当调节系统的初始值, 可对系统的 动力学行为走向加以控制, 这对分析和调节复杂混 沌系统的非线性动力学行为具有重要的理论意义.
图 6 C0 = 17. 0 时的吸引子
图 8 C0 = 17. 0 时, 由初值决定的 2 吸引子
图 7 C0 = 16. 0 时的吸引子
图 7 给出了 C0 = 16. 0 时, 随 的增大, 系统在 突变区域的吸引子. 可以看出: 随着 的增大, 突变 区域只出现一围绕稳定不动点 C 的吸引子, 即在此 区域, 该吸引子不会突变到另一吸引子上, 只在临界 点才发生突变.
2 010 年9 月 Sep. 2010
文章编号: 0253 2328( 2010) 03 0224 04
一类混沌系统动力学行为的突变分析
屈双惠1, 杨志宏1, 于津江1, 郝建红2, 侯维娜3
( 1. 石家庄学院 物理学系、电气信息工程系, 河北 石家 庄 050035; 2. 华北电力大学 电气与电子工 程学院, 北京 3. 重庆邮电大学 光互联网及无线信 息网络研究中心, 重庆 400065)
本文通过对一类混沌系统突变行为的研究, 具 体分析了产生突变行为的原因. 利用这一现象, 通过 适当选取系统的初始值, 可对系统的动力学行为走 向加以控制[ 1- 2] .
1 动力学模型
考虑如下的非线性动力学模型,
x n+ 1 = F( x n ) = C0 x n [ 0. 75 - ( - 0. 25) x n +
态) 突变到另一稳定不动点 D 决定的吸引子上; 随
着 的继续增大, 不动点 D 决定的吸引子进入混沌
状态, 其吸引域不断逼近不稳定不动点, 在 = 3. 78
时将超越不稳定不动点, 由于同一吸引子不能跨越
不稳定不动点同时占据 2 吸引子空间, 此时其吸引
子将突变回由不动点 C 决定的吸引子上; 当 增大
第3期
屈双惠等: 一类混沌系统动力学行为的突变分析
227
参考文献:
[ 1] 蔡国梁, 谭振梅 . 一个新的混沌系统的动力学分 析及混 沌控制[ J] . 物理学报, 2007, 56( 11) : 6230 6236.
[ 2] 刘汝军. 离散系统自 适应参 数的混 沌同 步[ J] . 山 东大 学学报: 理学版 , 2005, 40( 1) : 47 50.