高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用课件新人教A版选修2_2

4
(0 ≤ x ≤ 2) ( 单 ( x 2)
位:N)的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=0 处
运动到 x=4 处(单位:m),则力 F(x)所做的功为
(B )
A. 44 J B. 46 J C. 48 J D. 50 J
4.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的 面积.

22 3
3
x2
|80
( 1 2
x2

4x)
|84
40 . 3
y 2x
S S2
1
y x4
另解2：将所求平面图形的面积看成位于y轴右边 的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取 y为积分变量
还需要把函数y=x-4变形为x=y+4，函数 y 2x
变形为 x y2
S
2
运动,如果物体沿着与F 相同的方向移动了s
(单位:m),则力F所做的功为W = Fs.
物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线运动，并 且物体沿着与Ｆ（x）相同的方向从x=a移动到 x=b（a<b），那么变力Ｆ（x）所做的功
F
y F(x)
Oa
x b
l
图1.7 4
解 在弹性限度内,拉伸(或
压缩)弹簧所需的力F x 与
解：如图，由x2-1=0得到抛物线 与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).
y
所求面积如图阴影所示：
所以：
S 2 (x2 1)dx 1 (x2 1)dx
1
1
x
( x3 x) 2 ( x3 x) 1 8 .
3
13
1 3
1.思想方法:数形结合及转化. 2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标，确定图形范围；(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
y
A
0a
bX
1
a
b
A2
a
b
曲边形
曲边梯形（三条直边，一条曲边） 面积 A=A1-A2
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b (a<b)所围成平面图形的面积S
y f (x)
y
y f (x)
y g(x)
oa
bx
(1)
y g(x) (2)
总结：当 x∈[a，b]有 f(x)>g(x)时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)
1.理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理. 2.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法. （重点、难点） 3.理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理. 4.体会定积分在物理中的应用（变速直线运动的路程、变力 沿直线做功）.（重点、难点）
探究点1 定积分在几何中的应用
类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及 x轴所围成平面图形的面积S
和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积
S＝
b
a

f

x

g

x dx
.
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2围成图形的面积 S.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组

y y
2x x2
得交点横坐标为x=0及x=1. 因此，所求图形的面积为
4
( y 4)dy
4 y2 dy
0
02
40 . 3
例3 求两抛物线y＝8－x2，y＝x2所围成的图形的面积．
解析 作出曲线y＝8－x2，y＝x2的草图， 所求面积为图中阴影部分的面积． 解方程组，yy＝ ＝8x－ 2 x2
得交点的横坐标为 x1＝－2 及 x2＝2.
因此，所求图形的面积为
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
1 xdx 1 x2dx
0
0
O
y
y2 x B
y x2
C
o
x
D A
【总结提升】 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
S＝-22 (8－x2)dx－-22x2dx
＝(8x－13x3) －13x3 ＝634.
【总结提升】
(1)求不分割图形面积的步骤为：画图形； 求交点(以确定积分上下限)；用定积分表 示再计算． (2)一般原则上函数－下函数作被积函数．
探究点3 变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0，则 此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
3.变速直线运动的路程 设物体运动的速度v=v(t) (v(t)≥0) ，则此物
体在时间区间[a, b]内运动的路程s为
4.变力沿直线所做的功
物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物
体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点，
则变力F(x) 所做的功为:
b
W a F (x)dx
编后语
有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都 不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
弹簧拉伸或压缩 的长度 x l
成正比,即F x = kx,其中常
数k是比例系数.
图1.7 4
由变力做功公式,得W =
l 0
kxdx
=
1 2
kx2
l 0
=
1 2
kl2
J.
答:
克服弹力所做的功为1 2
kl2
J.
1．曲线 y＝x3 与直线 y＝x 所围成图形的面积等于
A.1 (x－x3)dx
尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲， 怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。
2019/7/9
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you!
2019/7/9
－1
C．21(x－x3)dx 0
(C )
B.1 (x3－x)dx
－1
D．20 (x－x3)dx
－1
2.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长
6cm,克服弹力所做的功为( A )
A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J
3.
一
物
体
在
力
F(x)

10 3 x
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y y f (x)
y y f (x)
oa
bx
oa c b x
(1)
(2)
(3)
b
(1) S a f (x)dx
b
(2) S a f (x)dx
c
b
c
b
(3) S | a f (x)dx | c f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
曲边形面积的求解思路
S2 S1
y x4
本题还有其他解法吗？
另解1：将所求平面图形的面积分割成左右两个部分.
4
8
8
S S1 S2 0
2xdx [ 4
2xdx (x 4)dx] 4
4
8
8
8
8
(0 2xdx 4 2xdx) 4 (x 4)dx 0 2xdx 4 (x 4)dx
老师没提了一个问题，同学们就应当立即主动地去思考，积极地寻找答案，然后和老师的解答进行比较。通过超前思考，可以把注意力集中在对这些“难点”的理解 上，保证“好钢用在刀刃上”，从而避免了没有重点的泛泛而听。通过将自己的思考跟老师的讲解做比较，还可以发现自己对新知识理解的不妥之处，及时消除知识 的“隐患”。
s
10
3tdt
40
30dt
60 1.5t 90dt.
0
10
40

3 2
t2
10 0
30t
40 10



3 t2 4

90t

60 40
1 350m.
答 :汽车在这1min行驶 的路程是1 350m.
探究点4 变力做功
一物体在恒力F 单位:N的作用下做直线
导数及其应用 1.7 定积分的简单应用
引入1 求平面图形的面积:
y y f (x)
A
oa
bx
y
oa
y f2(x)
A
y f1( x)
bx
b
A a f ( x)dx
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
引入2 求运动物体的位移
y f (x)
S1
S3
S2
我们已经看到，定积分可以用来计算平面图形的 面积，求运动物体的位移，事实上，定积分有着广 泛的应用，下面我们就一起学习定积分的简单应用 吧！
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
v
v v(t)
t
Oa
b
30 A
B
20
10
C t/s o 10 20 30 40 50 60
解 : 由速度 时间曲线可知 : 图1.7 3
3t ,
0 t 10;
v t 30,
10 t 40;
1.5t 0, 40 t 60.
因此汽车在这1min行驶的路程是 :
直线y=x-4与x轴交点为(4,0).
因此，所求图形的面积为
将所求平面图形的面积分割成左右两个部分.
4
8
8
S S1 S2 0
2xdx [ 4
2xdx (x 4)dx] 4
2
23 x2
42
23 x2
8 1 (x 4)2
8
40 .
3
03
42
43
y 2x
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
解:作出直线y=x-4,曲线 y 2x y 2x S2
的图象如图所示，所求面积为图
S1
中阴影部分面积.
解方程组
y y
= =
x
2x -4
y x4
得直线y = x - 4与曲线y = 2x交点的坐标为8,4.