(八)幂 指数 对数 的 运算

幂 指数 对数 的 运算
一．基础知识 1． 分数指数幂：=n
m a
；=-
n
m a
2． 对数的性质和运算法则： 恒等式①=N
a a log ；②=N a a log ；
③
=a N b b log log ④b a log 的关系a
b
log 1
;⑤=n a b m log 积、商、幂、方根的对数①=+N M a a log log ；
②=-N M a a log log ③=n
a M log
3． 指数式与对数式互换N b N a a b log =⇔=解决指数问题时常用取对数。

4．=n
m a )(
5．作出1,2
1,3,2,1,-==a x y a
的图象。

二．主要知识：
1．幂指数、对数的运算法则；
2．指数式与对数式的互化：log b
a a N N
b =⇔=．
三．主要方法：
1．重视指数式与对数式的互化；
2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；
3.．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．
四、例题分析
例1、(1)若0)](log [log log 432=x ，则x =___________ (2)对于1,0≠>a a ，下列说法中，正确的是（ ）
(A)N M N M a a log log ,==则若 (B) N M N M a a ==则若,log log (C) N M N M a a ==则若,log log 22 (D) 22log log ,N M N M a a ==则若 （3）已知n m <<1，令)(log log ,log ,)(log 22m c m b m a n n n n ===，则( ) (A)a<b<c (B)a<c<b (C)b<a<c (D)c<a<b
例2、求值或化简
(1) 2
13323121
)
()1.0()4()41(----
⨯
b a ab (2)
1
.0lg 10lg 5
lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+
例3、若32
12
1=+-x x ，求
2
3
222
32
3-+-+--
x x x x 的值。

例4、设+∈R z y x ,,，且z y x 643==。

（1） 求证：y
x z 21
11=- （2）比较z y x 6,4,3的大小
例5、已知过原点O 的一条直线与函数x y 8log =的图像交于A,B 两点，分别过点A,B 作y 轴的平行线与函数x y 2log =的图像交于C,D 两点，证明点C,D 和原点O 在同一直线.
例6．a 、b 为两个不同的正数，变量m ∈(0,1)∪(1,+∞). (1)求证：过A(a , log m a)、B(b, log m b)两点的直线恒过一定点；
(2)求上述定点恰为坐标原点的条件；
(3)②中若1＜a ＜b. 取m 1=2，m 2=8, 且log 2a =log 8b ，求A 、B 两点的坐标.
幂 指数 对数 的 运算 练 习
1：若定义在区间(－1，0）内的函数f (x )=lo g 2a （x ＋1）满足f (x )＞0，则a 的取值范围是( ) A. (0，21) B. (0，21) C. (2
1
，＋∞) D. （0，＋∞） 2： 3
log 9
log 28的值是( )
A.
3
2
B . 1 C.
2
3
D. 2
3：图中曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±2
1四个值，则相应于曲线c 1，c 2，
c 3，c 4的n 依次为( )
A. －2，21-，21，2
B. 2，2
1
，21-，－2
C. 21-
，－2，2，21 D. 2，2
1
，－2，21-
4：若lo g a 2＜lo g b 2＜0，则( )
A ．0＜a ＜b ＜1
B ．0＜b ＜a ＜1
C ．a ＞b ＞1
D ．b ＞a ＞1
5：设a 、b 、c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，那么( ) A.
b a
c 111+= B. b a c 122+= C. b a c 221+= D. b
a c 212+= 6：当0＜a ＜
b ＜1时，下列不等式中正确的是( ) A. (1-a )b
1
＞（1－a ）b B. （1＋a ）a ＞（1＋b ）b C. （1－a ）b ＞（1－a ）2b
D. （1－a ）a ＞（1－b ）b 7：若0＜a ＜1，则下列不等式中正确的是( )
A ．（1－a ）31
＞（1－a ）2
1 B ．lo g 1－a （1＋a ）＞0
C ．（1－a ）3＞（1＋a ）2
D ．（1－a ）（1
＋a ）
＞1
8、________,2log 6log 3
1
log ________,32log 63564==⋅⋅=x x 则若，
若__________3log ,2log 123==则a
9、_________)125(,2)5(12=-=-f x f x 则
10、的值为则且已知a b a b b a b a b a log log ,310
log log ,1-=+>>_________
11、求值或化简)0,0()1(3224>>⋅-b a ab b a =
)2(142log 2
112log 487log 222--+= ; 15
36lg 27lg 321240
lg 9lg 21
1)3(++--+= .
3332212..log 41,22
x x
x x
x --+=+若求的值
213.log 3,37,log b a ==已知：求
14、已知函数c bx x x f ++=2)(，满足)1()1(x f x f --=+-且3)0(=f ，当0≠x 时，试比较)(x b f 与)(x c f 的大小。

15、设)(3
421lg
)(R a a
x f x x ∈⋅++=，如果当)1,(-∞∈x 时)(x f 有意义，求a 的取值范围。

幂 指数 对数 的 运算答案
例题：
1（1）64 （2）B （3）D 2（1）
425 （2）－4 3、1
3
4（2）346x y z <<
6、①过定点(b
lg a lg b
lg a a lg b --,0)；②a b =b a ；③A ：(3,log 23) B ：(33,log 833)
练习：
1.B
2.A
3.B
4.B
5. D 6 A 7 D
8、56；125；11a + 9、0 10、－83 11（1）11
4
63a b - （2）3
2
- （3）0 12、73 13、22a ab a ab
+++ 14、、当0x >时，)(x b f ＜)(x c f ；当0x <时，)(x b f ＞)(x c f 15、3
4
a ≥-。