高中数学 两个向量的数量积课件 新人教B版选修2
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因此， AA', BB ' 分别和 CC ', C ' D ', D ' D
的数量积等于零；
CC ', DD ' 分 别 和 AA ', A ' B ', B ' B 的 数 量
积等于零；
从而可得
AB CD
( AA' A' B ' B ' B) (CC ' C ' D ' D ' D)
方法上：数形结合，等价转化，类比等， 注意“向量法”解决立体几何问题的优势
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
O ，作 OA a,OB b ，则 AOB 叫做向量 a
与 b 的夹角，记作 a, b ；
且规定 0 a,b ，
显然有 a, b b, a ；
若 a,b ，则称 a 与 b 互相垂直，
2 记作： a b ；
例 1．如图表示一个正方体，
求下列各对向量的夹角：
（1） AB 与 A 'C ' ；45° （2） AB与C ' A ' ；135°
且 a 3, b 1, c 4 ，
则 a b b c a c = －13 。
4、已知 a 1， b 1， 3a 2b 3 ，
则 3a b
11
。
5、已知 a 2 ，b 3 ，且 a 与 b 的夹角为
2 c 3a 2b ， d ma b ， 求当 m 为何值时 c d 。
A'B'C'D'
B
A
l
C' D'
A' B'
C
D
例4．已知长方体ABCD－A’B’C’D’， AB=AA’=2，AD=4，E为侧面AB’的中心, F为A’D’的中点，计算下列数量积：
BCED' 16 BFAB' 0 EFFC' 2
A'
F
D'
c B'
EA
a
C'bDB NhomakorabeaC
练习题 1、 下列命题： ① 若 a b 0 ，则 a ， b 中至少一个为 0 ； ② 若 a 0 且 a b a c ，则 b c ③ (a b) c a (b c) ；
(2 ) a b ab 0
(3) |a|2aa
(4 ) |ab|≤ |a||b|
5．空间向量数量积运算律：
( 1 )(a ) b ( a b ) a (b )
(2) abba
( 3 ) a ( b c ) a b a c
例2．已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD,
AC⊥BD，求证：AD⊥BC．
（3） AB与A ' D ' ；90° （4） AB与B ' A ' 。180°
D'
C'
A'
B'
D A
C B
引 例 ： 如 图 所 示 ， 正 方 体 ABCD-A'B'C'D',BE=EB',
D'FFC',如 何 确 定 AE与 CF的 夹 角 ？
如 何 求 AE与 CF的 数 量 积 ？
D'
F
3.1.3 两个向量的数量积
引 例 ： 如 图 所 示 ， 正 方 体 ABCD-A'B'C'D',BE=EB',
D'FFC',如 何 确 定 AE与 CF的 夹 角 ？
如 何 求 AE与 CF的 数 量 积 ？
D'
F
C'
A'
B'
D A
E C
B
1．空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量 a,b ，在空间任取一点
m3 2
6、已知 a 和 b 是非零向量，且 a = b = a b ，
求 a 与 a b 的夹角。
30°
7、已知 a 4 ， b 2 ，且 a 和 b 不共线，
求使 a b 与 a b 的夹角是锐角时 的
取值范围。
(－2，2)
小结
知识上：空间向量夹角和数量积的概念； 利用空间向量性质、运算率计算和证明几 何问题的方法与步骤
A B C D A 'B 'C 'D ' B
A
l
C' D'
A' B'
C
D
证明：因为 A’B’和 C’D’分别为 AB 和 CD 在 l 上的 正射影，又因为 α⊥β，所以 AA’//BB’，并且它们 都与 CC’，CD，DD’垂直， CC’//DD’，并且它们都与 AA’，A’B’，BB’垂直。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A
证明：
AD BC
B
( AB BD) ( AC AB)
D C
AB AC BD AC AB AB AB BD AB ( AC AB BD) AB DC 0 ．
证二：选取一组基底，设 AB a, AC b, AD c ，
∵ AB CD ，∴ a (c b) 0 ，即 a c b a ，
C'
A'
B'
D A
E C
B
3．向量的数量积：
已知向量 a, b ，则| a | | b | cos a,b 叫做 a, b 的 数量积，记作 a b ， 即 a b | a | | b | cos a,b ．
4．空间向量数量积的性质：
( 1 )a e |a |c o s a ,e
④ (3a 2b) (3a 2b) 9 a 2 4 b 2 ,
其中正确有个数为（ B ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
2、已知△ABC中，A，B，C所对的边为a,
b, c，且a=3, b=1, C=30°,
则 BC CA = 3 3
。
2
3、若 a ， b ， c 满足 a b c 0 ，
A
同理： a b b c ，，
∴ac bc，
∴ c (b a) 0 ，
B
∴ AD BC 0 ，即 AD BC ．
D C
例3．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A、 B在α内，并且它们在l上的正射影分别为 A’，B’；C，D在β内，并且它们在l上的正 射影分别为C’，D’，求证：
的数量积等于零；
CC ', DD ' 分 别 和 AA ', A ' B ', B ' B 的 数 量
积等于零；
从而可得
AB CD
( AA' A' B ' B ' B) (CC ' C ' D ' D ' D)
方法上：数形结合，等价转化，类比等， 注意“向量法”解决立体几何问题的优势
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
O ，作 OA a,OB b ，则 AOB 叫做向量 a
与 b 的夹角，记作 a, b ；
且规定 0 a,b ，
显然有 a, b b, a ；
若 a,b ，则称 a 与 b 互相垂直，
2 记作： a b ；
例 1．如图表示一个正方体，
求下列各对向量的夹角：
（1） AB 与 A 'C ' ；45° （2） AB与C ' A ' ；135°
且 a 3, b 1, c 4 ，
则 a b b c a c = －13 。
4、已知 a 1， b 1， 3a 2b 3 ，
则 3a b
11
。
5、已知 a 2 ，b 3 ，且 a 与 b 的夹角为
2 c 3a 2b ， d ma b ， 求当 m 为何值时 c d 。
A'B'C'D'
B
A
l
C' D'
A' B'
C
D
例4．已知长方体ABCD－A’B’C’D’， AB=AA’=2，AD=4，E为侧面AB’的中心, F为A’D’的中点，计算下列数量积：
BCED' 16 BFAB' 0 EFFC' 2
A'
F
D'
c B'
EA
a
C'bDB NhomakorabeaC
练习题 1、 下列命题： ① 若 a b 0 ，则 a ， b 中至少一个为 0 ； ② 若 a 0 且 a b a c ，则 b c ③ (a b) c a (b c) ；
(2 ) a b ab 0
(3) |a|2aa
(4 ) |ab|≤ |a||b|
5．空间向量数量积运算律：
( 1 )(a ) b ( a b ) a (b )
(2) abba
( 3 ) a ( b c ) a b a c
例2．已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD,
AC⊥BD，求证：AD⊥BC．
（3） AB与A ' D ' ；90° （4） AB与B ' A ' 。180°
D'
C'
A'
B'
D A
C B
引 例 ： 如 图 所 示 ， 正 方 体 ABCD-A'B'C'D',BE=EB',
D'FFC',如 何 确 定 AE与 CF的 夹 角 ？
如 何 求 AE与 CF的 数 量 积 ？
D'
F
3.1.3 两个向量的数量积
引 例 ： 如 图 所 示 ， 正 方 体 ABCD-A'B'C'D',BE=EB',
D'FFC',如 何 确 定 AE与 CF的 夹 角 ？
如 何 求 AE与 CF的 数 量 积 ？
D'
F
C'
A'
B'
D A
E C
B
1．空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量 a,b ，在空间任取一点
m3 2
6、已知 a 和 b 是非零向量，且 a = b = a b ，
求 a 与 a b 的夹角。
30°
7、已知 a 4 ， b 2 ，且 a 和 b 不共线，
求使 a b 与 a b 的夹角是锐角时 的
取值范围。
(－2，2)
小结
知识上：空间向量夹角和数量积的概念； 利用空间向量性质、运算率计算和证明几 何问题的方法与步骤
A B C D A 'B 'C 'D ' B
A
l
C' D'
A' B'
C
D
证明：因为 A’B’和 C’D’分别为 AB 和 CD 在 l 上的 正射影，又因为 α⊥β，所以 AA’//BB’，并且它们 都与 CC’，CD，DD’垂直， CC’//DD’，并且它们都与 AA’，A’B’，BB’垂直。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A
证明：
AD BC
B
( AB BD) ( AC AB)
D C
AB AC BD AC AB AB AB BD AB ( AC AB BD) AB DC 0 ．
证二：选取一组基底，设 AB a, AC b, AD c ，
∵ AB CD ，∴ a (c b) 0 ，即 a c b a ，
C'
A'
B'
D A
E C
B
3．向量的数量积：
已知向量 a, b ，则| a | | b | cos a,b 叫做 a, b 的 数量积，记作 a b ， 即 a b | a | | b | cos a,b ．
4．空间向量数量积的性质：
( 1 )a e |a |c o s a ,e
④ (3a 2b) (3a 2b) 9 a 2 4 b 2 ,
其中正确有个数为（ B ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
2、已知△ABC中，A，B，C所对的边为a,
b, c，且a=3, b=1, C=30°,
则 BC CA = 3 3
。
2
3、若 a ， b ， c 满足 a b c 0 ，
A
同理： a b b c ，，
∴ac bc，
∴ c (b a) 0 ，
B
∴ AD BC 0 ，即 AD BC ．
D C
例3．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A、 B在α内，并且它们在l上的正射影分别为 A’，B’；C，D在β内，并且它们在l上的正 射影分别为C’，D’，求证：