河北省武邑中学高三下学期第一次质检考试理数试题 1

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，若错误！未找到引用源。

，则实数错误！未找到引用源。

的取值范围为（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C
2. 若复数错误！未找到引用源。

（其中错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

为虚数单位）的实部与虚部相等，则错误！未找到引用源。

（）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
【答案】A
【解析】∵错误！未找到引用源。

，且复数错误！未找到引用源。

的实部与虚部相等，
∴错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

，故选A.
3. 在等差数列错误！未找到引用源。

中，若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值是（）
A. -5
B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】B
【解析】∵数列错误！未找到引用源。

为等差数列且错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

等价于错误！未找到引用源。

，
故错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，故选B.
4. 已知双曲线错误！未找到引用源。

的一条渐近线为错误！未找到引用源。

，则它的离心率为（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】A
【解析】由双曲线错误！未找到引用源。

的一条渐近线为错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

，
故错误！未找到引用源。

，故选A.
5. 将6名留学归国人员分配到甲、乙两地工作，若甲地至少安排2人，乙地至少安排3人，则不同的安排方法数为（）
A. 120
B. 150
C. 55
D. 35
【答案】D
6. 若不等式错误！未找到引用源。

成立的必要条件是错误！未找到引用源。

，则实数错误！未找到引用源。

的取值范围是（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】A
【解析】由错误！未找到引用源。

得：错误！未找到引用源。

，∵不等式错误！未找到引用源。

成立的必要条件是错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

，故选A.
7. 在区间错误！未找到引用源。

内随机取两个实数错误！未找到引用源。

，则满足错误！未找到引用源。

的概率为（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】D
【解析】由题意可得，错误！未找到引用源。

的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足错误！未找到引用源。

的区域为图中阴影部分，面积为错误！未找到引用源。

∴满足错误！未找到引用源。

的概率是错误！未找到引用源。

，故选D.
点睛：本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是准确求出区域的面积，属于中档题；该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可.
8. 如图所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的体积为（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C
9. 如图，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

分别是函数错误！未找到引用源。

的一段图象与
两条直线错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

的两个交点，记错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

图象大致是（）
A. B. C. D.
【答案】C
10. 已知错误！未找到引用源。

为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式错误！未找到引用源。

的展开式中的常数项是（）
A. 20
B. -20
C. 540
D. -540
【答案】D
【解析】根据程序框图，得初始值：错误！未找到引用源。

；第一次循环：错误！未找到引用源。

；
第二次循环：错误！未找到引用源。

；第三次循环：错误！未找到引用源。

；第四次循环：错误！未找到引用源。

，
∵错误！未找到引用源。

，跳出循环，输出错误！未找到引用源。

，∴二项式错误！未找到引用源。

的通项为：错误！未找到引用源。

，令错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

，
∴展开式中的常数项是错误！未找到引用源。

，故选D.
11. 如图所示点错误！未找到引用源。

是抛物线错误！未找到引用源。

的焦点，点错误！未找到引用源。

分别在抛物线错误！未找到引用源。

及圆错误！未找到引用源。

的实线部分上运动，且错误！未找到引用源。

总是平行于错误！未找到引用源。

轴，则错误！未找到引用源。

的轴长的取值范围是（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】B
点睛：本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键；由抛物线性质抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等可得错误！未找到引用源。

，从而可得错误！未找到引用源。

的周长错误！未找到引用源。

，确定B点横坐标的范围，即可得到结论.
12. 设函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上存在导数错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，有错误！未找到引用源。

，在错误！未找到引用源。

上错误！未找到引用源。

，若错误！未找到引用源。

，则实数错误！未找到引用源。

的取值范围为（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】A
【解析】令错误！未找到引用源。

，∵错误！未找到引用源。

，
∴函数错误！未找到引用源。

为奇函数，∵错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，
故函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上是减函数，故函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上也是减函数，
由错误！未找到引用源。

，可得错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上是减函数，
∴错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

，解得：错误！未找到引用源。

，故选A.
点睛：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题；令错误！未找到引用源。

，由错误！未找到引用源。

，可得函数错误！未找到引用源。

为奇函数，利用导数可得函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上是减函数，错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

，可得错误！未找到引用源。

，由此解得错误！未找到引用源。

的范围.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

的夹角为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

方向上的投影为__________．
【答案】错误！未找到引用源。

14. 在正方体错误！未找到引用源。

中，点错误！未找到引用源。

在线段错误！未找到引用源。

上运动，则异面直线错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

所成的角错误！未找到引用源。

的取值范围是__________．
【答案】错误！未找到引用源。

15. 对于错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

为公比）的无穷等比数列错误！未找到引用源。

（即项数是无穷项），我们定义错误！未找到引用源。

（其中错误！未找到引用源。

是数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项的和）为它的各项的和，记为错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

，则循环小数错误！未找到引用源。

的分数形式是__________．
【答案】错误！未找到引用源。

【解析】错误！未找到引用源。

，故答案为错误！未找到引用源。

.
点睛：本题通过新定义对于错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

为公比）的无穷等比数列错误！未找到引用源。

（即项数是无穷项），我们定义错误！未找到引用源。

（其中错误！未找到引用源。

是数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项的和）为它的各项的和，“新定义”问题，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题错误！未找到引用源。

的分数形式主要是将其转化为等比数列的和，只要能正确运用这一特征，问题就能迎刃而解.
16. 对于定义在错误！未找到引用源。

上的函数错误！未找到引用源。

，若存在距离为错误！未找到引用源。

的两条直线错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

，使得对任意错误！未找到引用源。

都有错误！未找到引用源。

恒成立，则称函数错误！未找到引用源。

有一个宽度为错误！未找到引用源。

的通道．给出下列函数：①错误！未找到引用源。

；②错误！未找到引用源。

；③错误！未找到引用源。

；④错误！未找到引用源。

．其中在区间错误！未找到引用源。

上通道宽度可以为1的函数有
__________．（写出所有正确的序号）
【答案】①③④
考点：新概念问题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 在错误！未找到引用源。

中，已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

．
（1）求角错误！未找到引用源。

的大小和错误！未找到引用源。

边的长；
（2）若点错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

内运动（包括边界），且点错误！未找到引用源。

到三边的距离之和为错误！未找到引用源。

，设点错误！未找到引用源。

到错误！未找到引用源。

的距离分别为错误！未找到引用源。

，试用错误！未找到引用源。

表示错误！未找到引用源。

，并求错误！未找到引用源。

的取值范围．
【答案】（1）错误！未找到引用源。

;（2）错误！未找到引用源。

．
【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式化简，求出错误！未找到引用源。

，然后利用余弦定理求得错误！未找到引用源。

的长；（2）利用三角形的面积相等用错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

表示错误！未找到引用源。

，然后利用线性规划知识求得错误！未找到引用源。

的取值范围.
试题解析：（1）因为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，
即错误！未找到引用源。

．
解得：错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

；
又因为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

；
18. 某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9．5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记错误！未找到引用源。

表示抽到“极幸福”的人数，求错误！未找到引用源。

的分布列及数学期望．
【答案】（1）众数：8．6；中位数：8．75;（2）错误！未找到引用源。

．
（3）所以错误！未找到引用源。

的分布列为：
错误！未找到引用源。

．
（3）错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

的可能取值为0,1,2,3，
∵错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

．
所以错误！未找到引用源。

的分布列为：
错误！未找到引用源。

．
另解：错误！未找到引用源。

．
19. 如图，在四棱锥错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，平面错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

．
（1）求证：平面错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

；
（2）若直线错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

所成的角的正弦值为错误！未找到引用源。

．求二面角错误！未找到引用源。

的余弦值．
【答案】（1）见解析;（2）错误！未找到引用源。

．
（2）由（1），平面错误！未找到引用源。

的一个法向量是错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，
设直线错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

所成的角为错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

，
∵错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

．
设平面错误！未找到引用源。

的一个法向量为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，
由错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，不妨令错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，
显然二面角错误！未找到引用源。

的平面角是锐角，
∴二面角错误！未找到引用源。

的余弦值为错误！未找到引用源。

．
点睛：本题只要考查了空间向量在立体几何中的应用之证明面面垂直、二面角平面角的向量求法，难度中档；主要是通过直线的方向向量互相垂直即向量的数量积为0，得到线面垂直，由线面垂直得到面面垂直；直线的方向向量与平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，大多数情况下是根据图形判断该角的范围.
20. 已知椭圆错误！未找到引用源。

的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线错误！未找到引用源。

的顶点，直线错误！未找到引用源。

与椭圆错误！未找到引用源。

交于错误！未找到引用源。

两点，且点错误！未找到引用源。

的坐标为错误！未找到引用源。

，点错误！未找到引用源。

是椭圆错误！未找到引用源。

上的任意一点，点错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

．（1）求椭圆错误！未找到引用源。

的方程；
（2）求点错误！未找到引用源。

的轨迹方程；
（3）当错误！未找到引用源。

三点不共线时，求错误！未找到引用源。

面积的最大值．
【答案】（1）错误！未找到引用源。

;（2）错误！未找到引用源。

;（3）错误！未找到引用源。

的面积最大值错误！未找到引用源。

，点错误！未找到引用源。

为错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

．
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

．
由错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

，
即错误！未找到引用源。

．①
同理，由错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

．②
①×②得错误！未找到引用源。

．③
由于点错误！未找到引用源。

在椭圆错误！未找到引用源。

上，则错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

，
代入③式得错误！未找到引用源。

．
当错误！未找到引用源。

时，有错误！未找到引用源。

，
当错误！未找到引用源。

，则点错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

，
此时点错误！未找到引用源。

对应的坐标分别为错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

，其坐标也满足方程错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

点错误！未找到引用源。

的轨迹方程为错误！未找到引用源。

．
21. 已知函数错误！未找到引用源。

．
（1）当错误！未找到引用源。

时，求错误！未找到引用源。

的极值；
（2）若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

存在两个极值点错误！未找到引用源。

，试比较错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

的大小；
（3）求证：错误！未找到引用源。

．
【答案】（1）错误！未找到引用源。

，没有极大值;（2）见解析.
（2）错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

由错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，
设错误！未找到引用源。

，当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

设错误！未找到引用源。

当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上递减，错误！未找到引用源。

，
即错误！未找到引用源。

恒成立．
（3）当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

恒成立，即错误！未找到引用源。

恒成立，
设错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

．
∴错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，…，错误！未找到引用源。

．
∴错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22. 选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形错误！未找到引用源。

是圆内接四边形，错误！未找到引用源。

的延长线交于点错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

．
（1）求证：错误！未找到引用源。

；
（2）当错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

时，求错误！未找到引用源。

的长．
【答案】（1）见解析;（2）错误！未找到引用源。

．
（Ⅱ）由条件得错误！未找到引用源。

. 6分
设错误！未找到引用源。

，根据割线定理得错误！未找到引用源。

，
即错误！未找到引用源。

所以错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

,即错误！未找到引用源。

. 10分
考点：1、相似三角形；2、割线定理.
23. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线错误！未找到引用源。

的参数方程为错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

为参数），以原点错误！未找到引用源。

为极点，以错误！未找到引用源。

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线错误！未找到引用源。

的极坐标方程为错误！未找到引用源。

．
（1）求曲线错误！未找到引用源。

的直角坐标方程；
（2）设错误！未找到引用源。

是曲线错误！未找到引用源。

上的点，错误！未找到引用源。

是曲线错误！未找到引用源。

上的点，求错误！未找到引用源。

的最小值．
【答案】（1）见解析;（2）错误！未找到引用源。

．
∵错误！未找到引用源。

是曲线错误！未找到引用源。

的点，错误！未找到引用源。

是曲线错误！未找到引用源。

上的点，
∴错误！未找到引用源。

的最小值等于错误！未找到引用源。

到直线错误！未找到引用源。

的距离的最小值．
设错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

到直线错误！未找到引用源。

的距离为错误！未找到引用源。

．
则错误！未找到引用源。

．
∴错误！未找到引用源。

的最小值为错误！未找到引用源。

．
点睛：本题主要考查了曲线的参数方程与直角坐标方程之间的互化以及曲线的极坐标方程与普通方程之间的互化，在互化过程中主要利用消参法以及利用错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

实现互化的；在该题中还涉及转化为点到直线的距离公式，利用二次函数配方求最值的思想.
24. 选修4-5不等式选讲
已知错误！未找到引用源。

是常数，对任意实数错误！未找到引用源。

，不等式错误！未找到引用源。

都成立．
（1）求错误！未找到引用源。

的值；
（2）设错误！未找到引用源。

，求证：错误！未找到引用源。

．
【答案】（1）错误！未找到引用源。

;（2）见解析;
考点：1.绝对值不等式的性质；2.不等式的证法；3.基本不等式.。