12,13第10讲1点的运动学

第 10 讲教案（1）
题
目
点的运动学
本讲计划学时 1 对应教材章(课)节第6章
教学目的掌握描述点的运动的三种方法。

教学进程
序号本讲主要环节（内容）时间(分)
1 点的运动——矢量法10/10
2 点的运动——直角坐标法10/20
3 点的运动——自然法30/50
板书设计
第6章点的运动学
一、矢径法：
二、直角坐标法：
三、自然法（轨迹已知）：
教学内容、方法、手段设计及教学重点、难点分析
教学内容、方法设计：
点的运动学是物理中曾经学过的内容，只是原来的重点是坐标法和自然法，在这里主要用提问和讨论的方法教学，使学员了解矢径法的思想和在定性分析中的应用；回忆坐标法和自然法，掌握其运动方程、速度和加速度。

其中重点是自然法，应注意讲解自然轴系（主要是密切面、法平面和副法线），并应强调加速度包含切向和法向加速度。

教学手段：
板书与多媒体相结合，并结合工程实际机构讲解。

教学重点：
点的加速度计算（切向、法向加速度）；
教学难点：
第二篇运动学
引言
运动学是研究物体运动的几何规律的科学。

一、运动学的研究对象、任务
1．研究对象
点和刚体，通称物体。

有些问题也涉及到刚体系。

2．研究任务
（1）研究物体的机械运动的几何性质，如运动方程、速度和加速度等，不考虑引起运动状态改变的原因。

（2）研究机构传动规律，介绍常见工程机构的运动学参数计算。

二、常用概念
强调：
惯性参考系的概念，首先建立起运动相对性的概念。

参考体：为描述物体运动而选定的其他物体；
参考系：建立在参考体上的坐标系；
通常所选的是惯性参考系，即建立在相对于地球静止或匀速直线运动的物体上，如地面、机器底座等。

有时也会选取运动的参考体，建立动坐标系。

相对于不同的参考系，运动的形式可能会发生改变，因此，大家要建立一个运动具有相对性的概念。

三、运动分类
点的运动：直线、曲线；
刚体的运动：平动、定轴转动、平面运动、定点运动、一般运动。

四、学习运动学的目的
1、学习动力学的基础
受力分析和运动分析是学习动力学的两大基础。

2、学习机械原理和设计传动机构的基础。

第六章点的运动学
设计：
举例明确点的运动学解决的问题。

研究对象：几何点，称为动点，有时简称为点。

研究任务：研究点在空间运动的几何性质，即点相对于某坐标系运动的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。

下面分三种方法介绍点的运动学研究。

§6-1 矢量法
设计：
由雷达跟踪目标的动画或火车运行路线等例子引出矢量法。

用矢径
描述点
在空间的位置随时间的变化。

1．点的运动方程—矢量形式
反映点
在空间运动时，
随时间的变化,即矢量法表示的动点M的运动方程。

2．点运动的轨迹—矢端曲线
动点
运动过程中，矢径
末端在空间描绘出一条连续曲线，即为点
的运动轨迹，亦称矢端曲线（或称矢径端图）。

3．点的速度矢量v
（1）点在时间间隔
内的平均速度
设点
沿轨迹运动，
瞬时在
点，用
来描述。

瞬时在
点，用
描述。

在
时间间隔内，点
的位移为
，即矢径在
内的增量。

在
内点
的平均速度为
方向沿
方向。

（见图）
（2）点的瞬时速度
设问：
是否正确？
由图可知，当
时，
的极限位置为曲线在点
处的切线。

此时
的极限即为
方向沿M点的切线方向。

4．点的加速度矢量a
（1）速度矢端曲线（即速度端图）
将各不同瞬时的速度
…（图（a）所示），平行移动到同一出发点O1 (任选)，以光滑曲线连接各速度端点
，
…。

此曲线称为速度矢端曲线，简称速度端图。

例如雷达跟踪飞机，就可以绘制出任意时刻飞机的速度，从而绘制出速度端图。

（2）点的平均加速度
在
时间间隔内，速度由
改变为
，所以
如图所示，则
点
在
内的平均加速度方向沿。

（3）点的瞬时加速度
当
时，
，方向沿速度端图的切线方向，即
*．小结
矢量法的相关概念：
（1）矢径
，运动方程
（2）轨迹—矢端曲线
（3）有限位移
（4）速度
（5）加速度
（6）矢量端图
*．矢量法的特点
此法只适于定性分析并引入上述相关概念。

不宜用于定量分析。

§6-2 直角坐标法
当点的运动轨迹未知时，常用直角坐标法描述点的运动规律。

1．点的运动方程和轨迹方程
取直角坐标系
，如图所示，点
在运动过程中，其坐标
，
，
随时间而变化。

（1）运动方程
由图知
由于i、j、k是不变的常矢量，因此上式中只有三个直角坐标是随时间单值连续变化的，由此可以得出直角坐标形式的运动方程式为
（2）点的轨迹方程
回答：
是否正确？
消去式中的参数时间
，可得到点的轨迹方程—空间曲线方程：
因此运动方程也可称为点
的运动轨迹的参数方程。

2．点的速度
v=vxi+ vyj+ vzk
又
所以
3．点的加速度
a=axi+ ayj+ azk
点的全加速度是三个分量的矢量和，方向由方向余弦确定：
方向：
，
，。

§6-3 自然法
设计：
由生活中确定火车位置的问题引出自然法。

当点的运动轨迹为已知曲线时，宜用自然法描述其运动，物理意义更明确、直观。

1．弧坐标
（1）弧坐标
坐标原点O—在已知轨迹上任选一点。

弧坐标s—沿轨迹从O到点M的弧长。

坐标正方向—坐标原点O的某一侧为正向。

2．弧坐标形式的运动方程
运动方程
3．自然轴系
自然轴系的形成如图。

（1）过点M作轨迹的切线T，取τ为切线单位矢量。

（2）过点M作一平面垂直于τ，称为法平面。

（3）法平面与密切面的交线，称为主法线，取n为主法线单位矢量，正向指向曲线凹侧。

（4）过点M，在法平面内作一直线MBn，MB线称为次法线（或称副法线），取b为副法线单位矢量，且满足下式：
τ、n、b构成一个以点M为坐标原点，并跟随点M一起运动的直角坐标系，称为自然轴系。

τ、n、b称为自然轴。

自然法—即指用弧坐标建立运动方程，并研究点的速度和加速度沿自然轴系各分量的物理意义。

4．点的速度
如图，
分别讨论速度的大小和方向。

（1）速度的绝对值
所以
（2）速度的方向
由§6-1知
沿切线方向
当
时，
与
同向，点沿轨迹正向运动。

当
时，
与
反向，点沿轨迹负向运动。

5．点的加速度
强调切向加速度、法向加速度的物理意义。

上式第一项反映速度大小随时间的变化率，方向沿切线方向，称为切向加速度
、
第二项反映速度方向随时间的变化率，称为法向加速度an。

可以证明满足下式。

式中
为轨迹曲线在点M处的曲率半径。

结论：
其中：
、
，
、
an恒指向曲线凹侧
*．小结
自然法适用于描述点沿已知轨迹的运动
（1）运动方程式
（2）点的速度
（3）点的加速度
讨论：
（1）
，点作加速运动，
与
同向。

（2）
，点作减速运动，
与
反向。

[例1] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l， = t。

求： A、 B 两点的运动方程、速度及加速度。

解：
方法一：坐标法
建立直角坐标系如图。

1、A、B两点运动方程分别为：
，
；
，
；
2、速度、加速度
，
；
，。

方法二：自然法
A、B轨迹比较明显，A点为一圆弧，B点则是水平直线，因此用自然法也比较简单。

1. A点运动方程、速度和加速度
以 A点在水平位置时作为自然坐标的原点，则任意时刻A点坐标为：
；
速度：
加速度：
，。

2. B点运动方程、速度和加速度
以O为坐标原点，则任意时刻B点坐标为：
，即其自然法的运动方程与坐标法一致。

由此可见，对于直线运动，两种方法是完全一致的，因此不必区分。

上例两种方法比较可见，当点的运行轨迹比较简单直观时，用自然法比较方便；但当点的运行轨迹比较复杂时，用坐标法比较方便，可以比较简单的找出点的坐标，即运动方程，并通过求导解出速度和加速度。

[例2] 半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动。

轮缘上一点M ，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角 =t，其中是常量。

试求M点的运动方程，瞬时速度和加速度。

O
分析：由于轨迹比较复杂，因此考虑用坐标法。

解：建立坐标系如图。

确定动点M的坐标：
求导得：
，
，
，。

[例3]若上例改为求轮缘上M点的切向加速度和法向加速度，并求轨迹的最大曲率半径。

分析：若直接用自然法，显然轨迹不容易确定。

因此对于这种问题，通常两种方法交叉使用，先按上例中求出直角坐标表示的速度、加速度，从而求出全速度和全加速度，再去求解切向和法向加速度及最大曲率半径。

解：1.速度、加速度
，。

2.切向和法向加速度及最大曲率半径
，
，
由此例可见，解题的方法并不是唯一的，当轨迹复杂而又要求其切向加速度和法向加速度，并求轨迹的最大曲率半径等数据时，可以交叉应用两种方法。