(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：平面向量的概念 课时同步练习

6．1 平面向量的概念
[A 基础达标]
1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a 共线的单位向量是a
|a|.
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a
|a|
，故④也是错误的．
2．下列说法正确的是( )
A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行
B ．终点相同的两个向量不共线
C ．若|a|>|b|，则a>b
D ．单位向量的长度为1
解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．
3．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )
A.AB →＝OC →
B.AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|
D.AD →＝FC →
解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →的方向不同，故AD →≠FC →
，故选D. 4．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →
是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量
D ．起点相同的向量
解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO →，BO →，CO →
是模相等的向量．
5．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a
|a |
＝b ，其中正确的有( )
A ．①④⑤
B ．③
C ．①②③⑤
D ．②③⑤
解析：选B.①|a |>|b |不正确，a 是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a ∥b ，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a 是非零向量，故|a |>0正确；④|b |＝1，故④不正确；⑤a
|a |
是与a 同向的单位向量，不一定与b 同向，故不正确．
6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →
|＝________．
解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →
|＝ 2. 答案： 2
7．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →
(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →
长度的最小值为________．
解析：根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 的长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为53
2
.
答案：532
8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →
是共线向量，则m ＝________．
解析：因为A ，B ，C 不共线， 所以AB →与BC →
不共线． 又m 与AB →，BC →
都共线， 所以m ＝0. 答案：0
9.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图． (1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC →
共线的向量； (2)求证：BE →＝FD →
.
解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC →共线的向量有：CF →，BC →，CB →，BF →，FB →，ED →
，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →.
(2)证明：在▱ABCD 中，AD 綊BC . 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点， 所以ED 綊BF ，
所以四边形BFDE 是平行四边形， 所以BE 綊FD ， 所以BE →＝FD →.
10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →
分别满足什么条件时，四边形ABCD 满足下列情况．
(1)四边形ABCD 是等腰梯形； (2)四边形ABCD 是平行四边形． 解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →
不平行．
因为AB →∥CD →
，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD →|＝|BC →
|，同时两向量不平行．
(2)AD →＝BC →(或AD →∥BC →)．
若AD →＝BC →
，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．
[B 能力提升]
11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是 ( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →
模的3倍 D ．CB →与DA →
不共线
解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →
所在直线平行，向量方向相同，故共线．
12.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )
A.AD →＝BC →
B.AC →＝BD →
C.PE →＝PF →
D.EP →＝PF →
解析：选D.由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →
≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.
13．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D .若AC →的模为2，BC →
的模为3，AD →的模为1，则DB →
的模为________．
解析：如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E . 因为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ， 所以|AC →|＝|AE →|. 因为△ADE ∽△BDC ，
所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC →|，故|DB →|＝32.
答案：3
2
14．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．
(1)作出向量AB →，BC →，CD →
； (2)求向量AD →
的模．
解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →
， 如图所示．
(2)由题意得，
△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．
所以|AD →
|＝5 5.
[C 拓展探究]
15．如图，A 1，A 2，…，A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2，…，A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的2倍的向量有多少个？
解：模等于半径的向量只有两类，一类是OA →i (i ＝1，2，…，8)，共8个；另一类是A i O →
(i ＝1，2，…，8)，也有8个．两类共计有16个．以A 1，A 2，…，A 8中四点为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一个是正方形A 1A 3A 5A 7，另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍，故模为半径的2倍的向量共有4×2×2＝16(个)．。