初中数学竞赛指导概要

初中数学竞赛指导
实数
在初中阶段，我们从有理数开始逐步对实数有了认识，知识有理数和无理数统称实数，并掌握了有关有理数、无理数的运算．我们关于数学问题的讨论范围，也慢慢地从有理数到了实数．关于实数其数系如下表所示：
实数⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎭⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩
正整数整数0负整数有理数有限小数或无限循环数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 在本章中，我们主要讨论有理数的重要概念（相反数和绝对值）的应用，以及有理数运算中的一些技巧，并对有理数中的整数，从知识拓展的角度，研究整数的性质，如整除性、质数与合数、完全平方数等．然后对实数的另一部分无理数的一些运算，进行适当强化，应对升入高一级学校继续学习的需求．
第一讲 巧算有理数
例题剖析
例1 计算13529537373737
++++． 分析：容易看出，分母相同，分子是1，3，5，…，295都是奇数．而1+295•恰好是37的8倍．如果把这个式子“倒过来写”，两式处于相同位置的项相加其和均为8．•注意到这样的和有74个，问题容易得解．
解：原式=
13529537373737++++ =（12953737+）+（32933737+）+…（1471493737
+） =74×29637
=592． 评注：本例求和可用公式S=1()2
n n a a +．其中a 1表示首项，a n 表示末项，n 表示项数．上式中的两项和（12953737+），…，（1471493737+），共有74个，即项数的一半2n ．
例2 计算（
12+13+…+12006）（1+12+…+12005）-（1+12+…＋12006）（12＋13＋…＋12005
）． 分析：观察上式括号内的各项，把两式各加上1就与另外两式相同．根据这一特点，可用字母代换而化简．
解：设x=1+12＋…＋12005，y=1+12＋…＋12006，则y-x=12006
． 原式=（y-1）x-y （x-1）
=xy-x-xy+y=y-x ．
∴原式=12006
． 评注：观察问题中各算式的特点，巧妙地用字母进行代换，使问题大大简化，变得易解． 例3 计算120050
0001个×2006999个9-12006999个9．
分析：我们采取“同形缩数”的办法，先解决计算101×99-199的问题，容易得知，这
个问题可仿照（100+1）×99-199=9900+99-199=9900-100=9800来做，然后类比，原式易解．
解：原式=（120060000个0+1）×2006999个9-12006999个9
=2006999个92006000个0
+2006999个9-2006999个9 =2006999个92006000个0
-12006000个0 =20059998个92006000个0
评注：在本例的计算中，应用了乘法分配律和加法结合律，使看似复杂的问题，经类比，较容易地找到了解题方法．
例4 计算1
21321432198761()()()()112123123412349
+-+-++-+-++-+-++。

分析：把式中各括号里的数排成下表，再观察表中这些数的特征，容易发现，只要利用交换律、结合律重新分组，把分母相同的数放在一组里（如表中斜行里的数），就容易求出和来．
11
2
112
-
321
123
-
4321
1234
--
……
987721 123389 --
解：原式＝（129
111
+++）-（
128
222
+++）+（
127
333
+++）-…-（
12
88
+）
+1
9
=
1
1
（1+2+…9）-
1
2
（1+2+…+8）+
1
3
（1+2+…+7）-…-
1
8
（1+2）+
1
9 =45-
1
2
×36+
1
3
×28-
1
4
×21+…-
3
8
+
1
9
=45-18+
2821106
3
3467
-+-+-
3
8
+
1
9
=33
5
504
评注：按一定规律将求和式中的各数，重新分组排序，是解决这类求和问题的关键．例5 计算
20062007200720062006200620072007
2552
⨯-⨯
分析：考虑到同分母时分子的特殊性，可简化运算，化繁为易．
解：原式＝
1
10
×20062007×20072006-
1
10
×20062006×20072007
=
1
10
（20062006+1）×20072006-
1
10
（20072006+1）×20062006
＝
1
10
（20072006-20062006）
=
1
10
×10000=1000．
评注：一般地，由关系式（a+1）b-（b+1）a=b-a，本例中a=20062006，b=20072007，容易得到答案．
巩固练习
1．填空题：
（1）计算-21285
314
-×78
3
31
+78
3
31
×0.375-78
3
31
×
1
8
-=________．
（2）求和123384 55555555
++++=________．
（3）计算1-2+3-4+5-6+7-…+4999-5000=________．
（4）计算66666×55555-66665×22222=________．
2．选择题：
（1）计算3-6+9-12+…-2007等于（）
（A）1005 （B）1004 （C）1003 （D）-2007
（2）计算2005-{2004-2005×[2004-2003×（2004-2005）2006]}得（）（A）2003 （B）2004 （C）2005 （D）2006
3．将1，-1
2
,
1
3
,-
1
4
,
11
56
，-,…按一定规律排成下表：
1 第1行
-
1
2
1
3
第2行
-1
4
11
56
-第3行
1111
78910
--第4行
11111
1112131415
--第5行
……
那么第11行中，自左向右数第5的一个数是多少？求第63行中，自右向左数第11的一个数与1的和．
4．五个数（-1），（-2），（-3），1，2中，设其中各个数之和为N1，•任选两数之积的和为N2，任选三个数之积的和为N3，任选四个数之积的和为N4，五个数之积为N5，求和N1+N2+N3+N4+N5．
5．计算：1+1
2
+
1
3
+
2
3
+
1
4
+
22312341259
4445555606060
+++++++++++的和．
6．计算2-22+23-24+25-26+…+-22006．7．观察按下列规律排成的一列数：
1，1
2
，
21231234123451
13214321543216
，，，，，，，，，，，，，，…
在这列数中，从左起第n个数记为F（n），当F（n）=
2
2007
时，求n的值和这n个数
的积．
8．用2007减去它的1
2
，再减去余下的
1
3
，再减去余下的
1
4
，…，依此类推，•直到最后
减去余下的
1
2007
，经过一系列相减后，求最后得到的差数．
答案:
1．（1）-100；（2）1344；（3）-2500；（4）2222200000 2．（1）A；（2）D．
3．第5的一个数是-1
60
；自右向左数第11的一个数为-
1
2006
，与1的和为
2005
2006
．
4．和为（-3）+（-5）+15+4+（-12）=-1．
5．886 6．2
3
（1-22006）．
7．这列数可分组（1），（1
2
，
2
1
），（
1
3
，
23
21
，），（
1234
4321
，，，），…各组数的
个数依次为1，2，3，4，…．
按此规律
2
2007
应在第2008组（
1232008
2008200720061
，，，，），中，该组前
面共有1+2+3+…+2007=2015028个数，
∴F（n）=
2
2007
时，n=2015028+2=•2015030．
又因各组的数之积为1，
所以这2015030个数的积为
121 200820072015028
⨯=．
8．最后得到的差数是1．。