辅助函数在高等数学解题中的作用

辅助函数在高等数学解题中的作用
【摘要】本文介绍了解题中一个常用有效的方法—辅助函数解题法.通过微分学、无穷级数、方程根等方面问题的研讨，说明了辅助函数在高等数学解题中的重要作用.
【关键词】辅助函数；微分中值定理
引言
一、在求方程的根中的应用
（一）解方程
（二）求矩阵函数的特征根
二、在微分学中的应用
（一）结合微分中值定理证明等式及不等式
引理1（罗尔（Rolle）中值定理）若函数满足如下条件：
（ⅰ）在闭区间上连续，
（ⅱ）在开区间内可导，
（ⅲ），
则在内至少存在一点，使得.
引理2（拉格朗日（Lagrange）中值定理）若函数满足如下条件：
（ⅰ）在闭区间上连续，
（ⅱ）在开区间内可导，
则在内至少存在一点，使得
现利用上面两个定理证明下面两例题：
例3：设在上可微，证明：存在使成立
.
证明：设辅助函数
则在上连续，在上可导，
又，故由Rolle定理知存在，使.
即，
故命题得证.
例4：证明不等式.
分析：观察不等式，发现中间部分正好是对数，左端是分式（右端也可以看成是分式），而对数的导数正好是分式，因而不难想到借助拉格朗日定理来证明.
二）论证方程根的存在性
三、在无穷级数中的应用
（一）求和式的极限
（二）求级数的和
它的是构造相对应的函数项级数，结合微分法或积分法，从而求出原级数的和.
三、结束语
通过引入辅助函数还可解决其他的数学问题.辅助函数法是解题中的一个常用有效的方法，在我们解决各类数学问题时，可通过观察，大胆猜测、推理，利用转化思想，构造出合适的辅助函数，直接或间接利用函数的性质来解决问题，从而达到事半功倍的效果.。