2024学年白城市实验高中高三数学上学期期中考试卷附答案解析

2024学年白城市实验高中高三数学上学期期中考试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设
0.2log 6a =，0.3log 6b =，0.4log 6c =，则（
）A.c b a
>> B.b c a
>> C.a c b
>> D.a b c
>>2.已知抛物线()2
:20C y px p =>的准线方程为=1x -，()1,0A -，P ，Q 为C 上两点，且
()1AP AQ λλ=>
，则下列选项错误．．
的是（）
A.5
OP OQ ⋅= B.8
AP AQ ⋅> C .若2λ=
，则2
PQ =
D.
若PQO S =△
PQ =3.已知向量()1,1a =-
，()2,b t =- ，若()a a b ⊥- ，则cos ,a b = （）
A.5
-
B.2
-
C.
5
D.
10
4.已知角()0,πα∈，且1
cos 23
α=，则sin α的值为（）
A.
6
B.
3
C.6
-
D.3
-
5.已知数列{}n a 满足2
121,2,2n n
a a a a +===，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()22023log 3S +=（）
A.1012
B.1013
C.2024
D.2026
6.已知在数列{}n a 中，156a =，1
11132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，则n a =（
）
A.
32
23
n
n - B.
2332
n
n - C.
1223
n
n - D.
2132
n
n -7已知平面向量()1,3a =- ，()4,2b =- ，若a b λ- 与b
垂直，则λ=（
）A.1
- B.1
C.2
- D.2
8.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v （单位：m/s ），
鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究发现()ln
0100
Q
v k k =>．当0.5m/s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当 1.5m/s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（）
A.12800
B.24800
C.25600
D.51200
二、多项选择题（本大题共4小题．每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则下列说法正确的有（）
A.函数|()|f x 是偶函数
B.函数(1)f x +的图象关于点(1,0)对称
C.函数(1)(1)f x f x ++-是偶函数
D.函数(1)(1)f x f x ++-是奇函数
10.若定义域为R 的函数()f x 在(4,)+∞上为减函数，且函数(4)y f x =+为偶函数，则（）
A.(2)(3)f f >
B.(2)(6)f f =C (3)(5)
f f = D.(3)(6)
f f >11.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出AB 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，
若测得km,30,60,452
CD ADB CDB ACD ACB ∠∠∠∠===== ，则下列计算结果正确的有（
）
A.22
AC =
B.34BC =
C.45DBC ∠=
D.4
AB =
12.以下函数求导正确的是(
)
A.若()2211
x f x x -=+，则()()22
41x f x x '=+B.若()2e x
f x =则()2e
x
f x '=
C.若(
)f x =，则(
)f x '=
D.设()f x 的导函数为()f x '，且()()2
32ln f x x xf x '=++，则()924
f '=-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列{}n L 为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…，即11L =，23L =，且(
)*
21n n n L L L n ++=+∈N .
设数列{}n L 各项依次除以4所得余数形成的数列为，则100a =______.14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x 的解析式______．
①()()()f xy f x f y =；②()f x '是偶函数；③()f x 在()0,∞+上单调递增．
15.设复数12,z z
满足：11212||||,(1z z z z a =+=，其中i 是虚数单位，a 是负实数，求
2
1
z z =________．16.已知曲线ln x y x
=
在0x x =处的切线经过点(0,2)-，则00x
x e =________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知集合{}
2A x x a =-<，集合2112x B x x ⎧⎫
-=<⎨⎬+⎩⎭
．（1）若2a =，求A B ；
（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围．18.已知(
)2cos 2sin f x x x x =-．（1）求函数()y f x =在R 上的单调增区间；
（2）将函数()y f x =的图象向左平移()0m m >个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =的图象关于直线π
3
x =对称，求m 取最小值时的()y g x =的解析式．19.已知函数()x
f x e ax =-.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）设函数()()22
1122
=-
-g x f x x a ，若0x ≥时，()0g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()26n n S n a =+，616a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证：13
68n T ≤<．
21.设函数3
221(),()243
f x x ax ax
g x x x c =
--=++（Ⅰ）试问函数()f x 能否在1x =-处取得极值，请说明理由;
（Ⅱ）若1a =-，当[3,4]x ∈-时，函数()()f x g x 与的图像有两个公共点，求c 的取值范围.
22.一半径为4m 的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计时．
（1）将点P 距离水面的高度z (m )表示为时间t (s )的函数；（2）点P 第一次到达最高点要多长时间？
（3）在点P 每转动一圈过程中，有多长时间点P 距水面的高度不小于(2＋)m ？
白城市实验高级中学2024-2025学年度高三上学期期中考试
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设
0.2log 6a =，0.3log 6b =，0.4log 6c =，则（
）A.c b a >> B.b c a
>> C.a c b
>> D.a b c
>>【答案】D 【解析】
【分析】作出函数0.2log y x =、0.3log y x =、0.4log y x =的图象，结合图象可得出a 、b 、c 的大小关系.
【详解】作出函数0.2log y x =、0.3log y x =、0.4log y x =的图象如下图所示：
因为0.2log 6a =，0.3log 6b =，0.4log 6c =，由图象可得a b c >>.故选：D.
2.已知抛物线()2
:20C y px p =>的准线方程为=1x -，()1,0A -，P ，Q 为C 上两点，且
()1AP AQ λλ=>
，则下列选项错误．．
的是（）
A.5
OP OQ ⋅= B.8
AP AQ ⋅>
C.若2λ=，则2
PQ = D.若PQO S =△PQ =【答案】C 【解析】
【分析】求得抛物线2:4C y x =，设直线:1PQ x ty =-，联立方程组求得124y y t +=，124y y ⋅=，
结合向量的数量积的运算，可得判定A 正确；由2212121
6642
y y AP AQ y y +⋅=+>+ ，可判定B 正确；
由2AP AQ =
，2
PQ =
，可判定C 错误；结合弦长公式和面积公式，可判定D 正确.【详解】由抛物线()2
:20C y px p =>的准线方程为1x =-，可得12
p
-=-，解得2p =，所以抛物线2:4C y x =，
设直线:1PQ x ty =-，且211,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
22,4y Q y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，联立方程组21
4x ty y x
=-⎧⎨=⎩，整理得2440y ty -+=，
则2Δ16160t =->，解得21t >，且124y y t +=，124y y ⋅=，
由()2121214516
y y OP OQ y y ⋅=+=+= ，所以A 正确；
由()2222212121212121166816442y y y y y y AP AQ y y y y ++⋅=+++=+>+= ，所以B 正确；
当2λ=时，由2AP AQ =
，可得122y y =，
则
1y =，2y =1y =-，2y =，所以17
2
PQ =
，所以C 错误；
由1211
22
PQO POA QOA S S S y y =-=⋅-=== ，
解得3t =±，所以12y y -=，则12PQ y y =-=，所以D 正确．
故选：C
3.已知向量()1,1a =-
，()2,b t =- ，若()a a b ⊥- ，则cos ,a b = （
）
A.5
-
B.2
-
C.
5
D.
10
【答案】D 【解析】
【分析】由向量垂直及数量积的运算律列方程得4t =-，再应用向量夹角的坐标表示求夹角余弦值.
【详解】因为()1,1a =-
，()2,b t =- ，
所以22a =
，2a b t ⋅=--
，
因为()a a b ⊥- ，所以()
()2220a a b a a b t ⋅-=-⋅=---=
，得4t =-，
所以()2,4b =--
，所以cos ,10
a b a b a b
⋅==
.故选：D.
4.已知角()0,πα∈，且1
cos 23
α=，则sin α的值为（）
A.
6
B.
3
C.6
-
D.3
-
【答案】B 【解析】
【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为2
1cos 212sin 3
αα=-=，
所以sin 3
α=±
，因为()0,πα∈，
所以sin 3
α=.故选：B .
5.已知数列{}n a 满足2
121,2,2n n
a a a a +===，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()22023log 3S +=（）
A.1012
B.1013
C.2024
D.2026
【答案】B
【分析】利用等比数列的定义判断得数列{}n a 的奇数项与偶数项分别为等比数列，再利用分组求和法求得2023S ，从而得解.【详解】因为2
121,2,
2n n
a a a a +===，所以数列{}n a 的奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项、2为公比的等比数列，故1
2212,2
n
n n n a a --==，
所以()()
2023132023242022S a a a a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()
1011
1012101321212231212
⨯--=+=---，
故()1013
220232log 3log 21013
S +==.
故选：B.
6.已知在数列{}n a 中，156a =，1
11132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
，则n a =（
）
A.
32
23n n
- B.
2332n n
- C.
1223n n
- D.
2132n n
-【答案】A 【解析】
【分析】依题意可得()1
122
3233
n n n n a a ++⋅-=⋅-，即可得到{}23n n a -是以43-为首项，2
3为公比的等
比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；
【详解】解:因为156a =，1
11132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
，所以1
12
2
213
n n n n a a ++⋅=⋅+，整理得
()11223233n n n n a a ++⋅-=⋅-，所以数列{}23n n a -是以14233a -=-为首项，2
3为公比的等比数列．所
以1
422333n n n a -⎛⎫
-=- ⎪
⎝⎭
，解得3223
n n
n a =
-．
7.已知平面向量()1,3a =- ，()4,2b =- ，若a b λ- 与b 垂直，则λ=（
）A.1- B.1
C.2
- D.2
【答案】D 【解析】
【分析】先求()4,32a b λλλ-=--+r
r ，利用向量垂直可得数量积为0，进而可得.【详解】由已知得()4,32a b λλλ-=--+r
r ，因为a b λ- 与b 垂直，所以()
0a b b λ-⋅= ，
得()()442320λλ---+=，解得2λ=，故选：D
8.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v （单位：m/s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究发现()ln
0100
Q
v k k =>．当0.5m/s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当 1.5m/s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（）
A.12800
B.24800
C.25600
D.51200
【答案】D 【解析】
【分析】根据题意得16ln2k =
，再结合对数运算解方程11.5ln 6ln2100
Q
=即可.
【详解】解：因为0.5m /s v =时，800Q =，所以8000.5ln
3ln2100k k ==，解得16ln2
k =，所以， 1.5m /s v =时，11.5ln 6ln2100
Q =
，即9ln 9ln 2ln 2100Q
==，所以
92100
Q
=，解得51200Q =．故选：D ．
二、多项选择题（本大题共4小题．每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则下列说法正确的有（）
A.函数|()|f x 是偶函数
B.函数(1)f x +的图象关于点(1,0)对称
C.函数(1)(1)f x f x ++-是偶函数
D.函数(1)(1)f x f x ++-是奇函数
【答案】AD 【解析】
【分析】利用函数的奇偶性定义判断ACD ，由奇函数图象的平移判断B.【详解】对于A ：令()()g x f x =，()()()()g x f x f x g x ∴-=-=-=，
()f x ∴为偶函数，A 正确；
对于B ：()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向左移1个单位可得到()1f x +图像，故()1f x +对称中心为()1,0-，B 错误；对于C ，令()(1)(1)h x f x f x =++-，如果()f x x =，则()2h x x =，
由(2)4,(2)4,(2)(2)h h h h -=-=-≠，
此时，(1)(1)f x f x ++-不是偶函数，故C 错误；
对于D ，()(1)(1)(1)(1)()h x f x f x f x f x h x -=-++--=---+=- ，
(1)(1)f x f x ∴++-为奇函数，故D 正确.
故选：AD .
10.若定义域为R 的函数()f x 在(4,)+∞上为减函数，且函数(4)y f x =+为偶函数，则（）
A.(2)(3)f f >
B.(2)(6)f f =
C.(3)(5)f f =
D.(3)(6)
f f >【答案】BCD 【解析】
【分析】根据条件，分析函数()f x 的单调性和对称性，再根据()f x 的性质逐项分析即可.【详解】因为()4f x +是偶函数，所以()f x 的图像关于直线4x =对称，即当(),4x ∈-∞时，()f x 单调递增，当()4,x ∞∈+时，单调递减，对于A ，()()()2,3,4,32,32f f ∈-∞>∴>，错误；对于B ，()()42642,26f f -=-==，正确；对于C ，()()34541,35f f -=-==，正确；
对于D ，()()()()()()35,5,64,,65,653f f f f f =∈+∞><=，正确；故选：BCD.
11.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出AB 的距离，测量者可以在河岸边选
定两点C ，D ，若测得km,30,60,452
CD ADB CDB ACD ACB ∠∠∠∠===== ，则下列计算结果正确的有（
）
A 22
AC =
B.34BC =
C.45DBC ∠=
D.4
AB =
【答案】CD 【解析】
【分析】由已知利用三角形的内角和定理可求DBC ∠的值，由正弦定理可求得BC 的值．
在ACD 中可求60DAC ∠=︒，可得2
AC DC ==，在ABC V 中，由余弦定理即可计算得解AB 的值．
【详解】解：在BCD △中，180DBC CDB ACD ∠=︒-∠-∠-45ACB ∠=︒，
由正弦定理得
2sin sin 30sin sin 454
DC BC BDC DBC =∠=︒=
∠︒ ．在ACD 中60ADC ADB CDB ∠=∠+∠=︒ ，60ACD ∠=︒，
60DAC ∴∠=︒，
32
AC DC ∴==
，在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC =+-
333452482428
︒=+-⨯=
．()4
AB km ∴=
．故选：CD
12.以下函数求导正确的是(
)
A.若()2211
x f x x -=+，则()()2241x f x x '=+B.若()2e x
f x =则()2e
x
f x '=C.若(
)f x =
，则(
)f x '=
D.设()f x 的导函数为()f x '，且()()2
32ln f x x xf x '=++，则()9
24
f '=-
【答案】ACD 【解析】
【分析】利用求导法则逐项检验即可求解.【详解】对于A ，()()()()
()
222
2
2
2
2112411x x x x
x
f x x
x
+--⋅'=
=
++，故A 正确；
对于B ，()22e 22e x
x
f x =⋅='，故B 错误；
对于C ，()()()(
)111
222121212212
f x x x x --'⎡⎤'=-=⋅-⋅=-=
⎢⎥⎣⎦C 正确；
对于D ，()()1
232f x x f x
''=++，所以()924f '=-，故D 正确．
故选：ACD .
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列{}n L 为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…，即11L =，23L =，且(
)*
21n n n L L L n ++=+∈N .
设数列{}n L 各项依次除以4所得余数形成的数列为，则100a =______.【答案】3【解析】
【分析】根据递推关系可得{}n a 的周期性，故可求100a .
【详解】{}n L 的各项除以4的余数分别为1,3,0,3,3,2,1,3,0,....，故可得{}n a 的周期为6，且前6项分别为1,3,0,3,3,2，而100616443a a a ⨯+===，故答案为：3.
14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x 的解析式______．
①()()()f xy f x f y =；②()f x '是偶函数；③()f x 在()0,∞+上单调递增．【答案】()f x x =（满足条件即可）【解析】
【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可》【详解】解：如()f x x =，
()f xy xy =，()()f x f y xy =，故()()()f xy f x f y =，()1f x '=是偶函数，
又()f x 在()0,∞+上单调递增，故答案为：()f x x =（满足条件即可）
15.设复数12,z z
满足：11212||||,(1z z z z a =+=，其中i 是虚数单位，a 是负实数，求
2
1
z z =________．
【答案】2
-【解析】
【分析】利用复数的摸的性质及复数的运算性质，进行运算即可求出答案.【详解】解：1121112121212||||()()()()z z z z z z z z z z z z z =+⇒=++=++，∴1111122122++z z z z z z z z z z =+，
122122+z z z z z z ，
又12(1z a =+
，则12(1z z a =，222+a z z ，∴22=2z z a -，
∴
2221122
z z z z z z ==-.故答案为：1+3i
2
-
.16.已知曲线ln x y x
=在0x x =处的切线经过点(0,2)-，则00x
x e =________．
【解析】
【分析】求得2
1ln x
y x
-'=，根据导数的几何意义和斜率公式，列出方程求得0001ln ln 2x x x -=+即可求得.
【详解】由题意，函数ln x y x =，可得21ln x
y x -'=，则0
002
00
ln 21ln x x x x x +-=，所以0001ln ln 2x x x -=+，可得00122ln x x -=
，所以00x
x e =
.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知集合{}
2A x x a =-<，集合2112x B x
x ⎧⎫
-=<⎨⎬+⎩⎭
．
（1）若2a =，求A B ；
（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}
24x x -<<（2）(]
,1-∞【解析】
【分析】（1）当2a =时，化简集合A ，集合B ，再根据集合的并集运算可得解；（2）A B A = 即A B ⊆，抓住集合A 是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解.【小问1详解】
若2a =，由22x -<，解得04x <<，则{}
04A x x =<<，又
21
12
x x -<+，即
302x x -<+等价于()()023x x +-<，解得23x -<<，则{}
23B x x =-<<，
{}24A B x x ∴⋃=-<<.
【小问2详解】
由A B A = 等价于A B ⊆，
当0a ≤时，集合A =∅，符合A B ⊆；
当0a >时，由2x a -<，解得22a x a -<<+，即{}
22A x a x a =-<<+，又{}
23B x x =-<<，
22
23
a a -≥-⎧∴⎨+≤⎩，解得01a <≤，综上，实数a 的取值范围是(]
,1-∞.
18.已知()2cos 2sin f x x x x =-．（1）求函数()y f x =在R 上的单调增区间；
（2）将函数()y f x =的图象向左平移()0m m >个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =的图象关于直线π
3
x =对称，求m 取最小值时的()y g x =的解析式．
【答案】（1）πππ,π36k k ⎡⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦()k ∈Z （2）π
()2sin()16
g x x =-+-【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，由正弦型函数即可求函数()y f x =在R 上的单调增区间；
（2）根据三角函数的图象变换与函数的对称性即可得所求.【小问1详解】
()2
cos 2sin 2cos 212sin 216f x x x x x x x π⎛
⎫=-=+-=+- ⎪⎝
⎭，.
因为πππ2π22π262k x k -
+≤+≤+，k ∈Z ，所以ππ
ππ36
k x k -+≤≤+，k ∈Z 故函数()y f x =在单调增区间为πππ,π36k k ⎡
⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
()k ∈Z ；【小问2详解】
将()f x 向左平移m 个单位得到()()1π2sin 216f x x m ⎡
⎤=++
-⎢⎥⎣
⎦
将1()f x 纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍得到π
()2sin(2)16
g x x m =++-，又因为()y g x =的图象关于直线π
3x =对称，则πππ2π362
m k ++=+，k ∈Z 解得：π
,2
k m k =
∈Z 因为0m >，所以当1k =时，min π2m =，故π
()2sin()16
g x x =-+-.19.已知函数()x
f x e ax =-.
（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()22
1122
=--g x f x x a ，若0x ≥时，()0g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析
（2）2ln 2
≤≤-a 【分析】（1）根据a 分类讨论，利用导数求出函数的单调区间；
（2）化简()g x ，利用导数求出()()min 01g x g a ''==-，分类讨论，分别求出()min g x ，令()min 0g x ≥求解即可.【小问1详解】
()x f x e ax =-，()x f x e a '=-.
当0a ≤时，()0f x '>，()x
f x e ax =-在R 上单调递增.
当0a >时，令()0x
f x e a '=-=，得ln x a =.
ln x a <时，()0f x '<，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，ln x a >时，()0f x '>，()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，
故当0a ≤时，()f x 的单调递增区间是R ；
当0a >时，()f x 的单调递减区间是(),ln a -∞，单调递增区间是()ln ,a +∞.【小问2详解】
()()22221111
2222x g x f x x a e ax a =--=---，
()x g x e x a '=--，()1x g x e ''=-，
∵0x ≥，
∴()10x
g x e ''=-≥，()g x '在[)0,+∞上单调递增，
()()min 01g x g a ''==-.
当10a -≥，即1a ≤时，
()min 10g x a '=-≥，()g x 在[)0,+∞上单调递增，
则()()2
min 10102
g x g a ==-≥，a ≤≤，
故1a ≤≤.
当10a -<，即1a >时，
()min 10g x a '=-<，
00x ∃>，()0000x g x e x a '=--=，即00x a e x =-或00x e a x =+，
00x x <<时，()0g x '<，()g x 在()00,x 上单调递减，0x x >时，()0g x '>，()g x 在()0,x +∞上单调递增，
则()()()()
()
000002
2
00min 111
2022
2
x
x x x x g x g x e x a e e e e ==-
+=-=-≥，02x e ≤，
∴00ln 2x <≤.
令函数()x
h x e x =-，且0ln 2x <≤，
()10x h x e '=-≥，()x h x e x =-在(]0,ln 2上单调递增，()12ln 2h x <-≤，
∵00x
a e x =-（0ln 2x <≤），∴12ln 2a <≤-.
综上，实数a 的取值范围是2ln 2≤-a .
20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()26n n S n a =+，616a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证：13
68n T ≤<．
【答案】（1）24n a n =+；
（2）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合1(2)n n n a S S n -=-≥探讨数列{}n a 的特征，再求出通项公式即得.（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性推理即得.【小问1详解】
依题意，当1n =时，111226a S a ==+，解得16a =，当2n ≥时，()()112226(1)6n n n n n a S S n a n a --=-=+--+，
整理得1(2)6(1)n n n a n a --+=-，即有1(1)6n n n a na +-+=，两式相减得112n n n a a a -+=+，因此数列{}n a 为等差数列，由16a =，616a =，得公差61
261
a a d -=
=-，
所以数列{}n a 的通项公式1(1)24n a a n d n =+-=+．【小问2详解】由（1）知，11111()(24)42
n n b na n n n n ===-++，因此111111111111[(1()()()()()]43243546112
n T n n n n =
-+-+-+-+⋅⋅⋅++--++11113111
(1()42128412
n n n n =+--=-+++++，则3111(8412
n T n n =
-+++，显然数列{}n T 是递增数列，即有138n T T ≤<，而11
6T =，
所以1368
n T ≤<．
21.设函数3
221(),()243
f x x ax ax
g x x x c =
--=++（Ⅰ）试问函数()f x 能否在1x =-处取得极值，请说明理由;
（Ⅱ）若1a =-，当[3,4]x ∈-时，函数()()f x g x 与的图像有两个公共点，求c 的取值范围.
【答案】（1）f(x)在x=-1处无极值.（2）或c=
【详解】解：
22.一半径为4m 的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计时．
（1）将点P 距离水面的高度z (m )表示为时间t (s )的函数；（2）点P 第一次到达最高点要多长时间？
（3）在点P 每转动一圈过程中，有多长时间点P 距水面的高度不小于(2＋)m ？【答案】（1）z ＝4sin 2()156
t ππ
-＋2；（2）5s ；（3）2.5s .【解析】
【分析】（1）设角φ(0)2
π
ϕ-<<是以Ox 为始边，OP 0为终边的角，可知以Ox 为始边，OP 为终边的角为
215
π
t ＋φ，结合进而t ＝0时求得ϕ的值，则函数的表达式可得；（2）令最大值为6，即4sin(2666
z t ππ
=-+=可求得时间；
（3）由z ＝4sin 2(
)156
t ππ
-＋2≥2＋.【详解】（1）由题意可知，水轮沿逆时针方向旋转，如图，建立平面直角坐标系．
设角φ(0)2
π
ϕ-
<<是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．由OP 在t s 内所转过的角为4260π⨯t ＝215πt ，可知以Ox 为始边，OP 为终边的角为215
π
t ＋φ，故P 点的纵
坐标为4sin 2()15t π
ϕ+，则z ＝4sin 2()15
t π
ϕ+＋2.
21当t ＝0时，z ＝0，可得sin φ＝－12.因为－2π
<φ<0，所以φ＝－6
π，故所求函数关系式为
z ＝4sin 2()156
t π
π-＋2.
（2）z ＝4sin 2()156t π
π
-＋2＝6，得sin 2()156t π
π
-＝1，取215π
t －6π＝2π
，解得t ＝5，
故点P 第一次到达最高点需要5s.
（3）z ＝4sin 2()156t π
π
-＋2≥2＋
sin 2(156t ππ-
≥2，解得154≤t ≤25
4.
在点P 每转动一圈过程中，有2.5s 的时间点P 距水面的高度不小于(2＋。