2024届湖北省潜江市重点名校中考五模数学试题含解析

2024届湖北省潜江市重点名校中考五模数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．﹣1
2
的绝对值是（）
A．﹣1
2
B．
1
2
C．﹣2 D．2
2．如图，△ABC纸片中，∠A＝56,∠C＝88°．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD．则∠BDE的度数为（）
A．76°B．74°C．72°D．70°
3．如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（）
A．40°B．60°C．80°D．100°
4．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）
A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短D．经过两点，有且仅有一条直线
5．人的大脑每天能记录大约8 600万条信息，数据8 600用科学记数法表示为（ ）
A ．0.86×104
B ．8.6×102
C ．8.6×103
D ．86×102 6．计算：9115()515÷⨯-得（ ） A ．-95 B ．-1125 C ．-15 D ．1125
7．关于x 的分式方程
230x x a +=-解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a = C ．4a = D ．10a =
8．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =10°，以A 为圆心，任意长为半径画弧交AB 于M 、AC 于N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于D ，下列四个结论：
①AD 是∠BAC 的平分线；
②∠ADC =60°；
③点D 在AB 的中垂线上；
④S △ACD ：S △ACB =1：1．
其中正确的有（ ）
A ．只有①②③
B ．只有①②④
C ．只有①③④
D ．①②③④
9．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：
①△AEF ∽△CAB ；②CF=2AF ；③DF=DC ；④tan ∠CAD=22
．其中正确的结论有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
10．某公司有11名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示，已知这11个数据的中位数为1． 部门 人数
每人所创年利润(单位：万元) A
1 19
B 3 8
C7 x
D 4 3
这11名员工每人所创年利润的众数、平均数分别是()
A．10，1 B．7，8 C．1，6.1 D．1，6
11．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
12．已知二次函数y=（x+a）（x﹣a﹣1），点P（x0，m），点Q（1，n）都在该函数图象上，若m＜n，则x0的取值范围是（）
A．0≤x0≤1B．0＜x0＜1且x0≠1 2
C．x0＜0或x0＞1 D．0＜x0＜1
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表：
班级平均分中位数方差
甲班92.595.541.25
乙班92.590.536.06
数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下：
①这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；
②甲班学生中数学成绩95分及以上的人数少；
③乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小．
上述评估中，正确的是______.(填序号)
14．欣欣超市为促销，决定对A，B两种商品统一进行打8折销售，打折前，买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元，打折后，小敏买50件A商品和40件B商品仅需________元．
15．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1=x 2
（x≥0）与y 2=23x （x≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DE AB
=______．
16．已知一个圆锥体的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面展开图面积是___．（结果保留π）
17．一次函数y=kx+b 的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是_____．
18．一组数据10，10，9，8，x 的平均数是9，则这列数据的极差是_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是BD 的中点，过点 C 作AD 的垂线 EF 交直线 AD 于点 E ．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）连接BC ，若AB=5，BC=3，求线段AE 的长．
20．（6分）如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2
y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．
（1）求点B 的坐标；
（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．
①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；
②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．
21．（6分）如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，tanA ＝2cos ∠BCD ，
(1)求证：BC ＝2AD ；
(2)若cosB ＝34
，AB ＝10，求CD 的长.
22．（8分）如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，连接DE ．
（1）求证：四边形ABED 是菱形；
（2）若∠ABC ＝60°，CE ＝2BE ，试判断△CDE 的形状，并说明理由．
23．（8分）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，试判定△ABC 的形状．
24．（10分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，E 是对角线AC 上一点，且AC ·
CE=AD ·BC . （1）求证：∠DCA=∠EBC ；
（2）延长BE 交AD 于F ，求证：AB 2=AF ·
AD ．
25．（10分）如图，沿AC 方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD=120°，BD=520m ，∠D=30°．那么另一边开挖点E 离D 多远正好使A ，C ，E 三点在一直线上(3取1.732，结果取整数）？
26．（12分）如图，四边形ABCD 的四个顶点分别在反比例函数y=与y=（x ＞0，0＜m ＜n ）的图象上，对角线BD ∥y 轴，且BD ⊥AC 于点P ．已知点B 的横坐标为1．
（1）当m=1，n=20时．
①若点P 的纵坐标为2，求直线AB 的函数表达式．
②若点P 是BD 的中点，试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD 能否成为正方形？若能，求此时m ，n 之间的数量关系；若不能，试说明理由．
27．（12分）如图，抛物线2
y ax bx c =++()0a ≠与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x =–1，P 为抛物线上第二象限的一个动点．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）当点P 的纵坐标为2时，求点P 的横坐标；
（3）当点P 在运动过程中，求四边形PABC 面积最大时的值及此时点P 的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、B
【解题分析】
根据求绝对值的法则，直接计算即可解答．
【题目详解】
111
-=--=，
()
222
故选：B．
【题目点拨】
本题主要考查求绝对值的法则，掌握负数的绝对值等于它的相反数，是解题的关键．
2、B
【解题分析】
直接利用三角形内角和定理得出∠ABC的度数，再利用翻折变换的性质得出∠BDE的度数．
【题目详解】
解：∵∠A=56°，∠C=88°，
∴∠ABC=180°-56°-88°=36°，
∵沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
∴∠CBD=∠DBE=18°，∠C=∠DEB=88°，
∴∠BDE=180°-18°-88°=74°．
【题目点拨】
此题主要考查了三角形内角和定理，正确掌握三角形内角和定理是解题关键．
3、D
【解题分析】
根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【题目详解】
解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=60°，
∴∠2=∠A+∠3=40°+60°=100°．
故选D．
【题目点拨】
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4、C
【解题分析】
用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选C．
【题目点拨】
根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．
5、C
科学记数法就是将一个数字表示成a ×
10的n 次幂的形式，其中1≤|a |＜10，n 表示整数．n 为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n 次幂．
【题目详解】
数据8 600用科学记数法表示为8.6×
103 故选C ．
【题目点拨】
用科学记数法表示一个数的方法是
（1）确定a ：a 是只有一位整数的数；
（2）确定n ：当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
6、B
【解题分析】
同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化．
【题目详解】
919111551551515⎛⎫⎛⎫÷⨯-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-1125 故选B.
【题目点拨】
本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
7、D
【解题分析】
根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可．
【题目详解】
解：把x=4代入方程230x x a
+=-，得 23044a
+=-， 解得a=1．
经检验，a=1是原方程的解
故选D ．
点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为2．
8、D
【解题分析】
①根据作图过程可判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可推知∠CAD＝10°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB是等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”性质可以证明点D 在AB的中垂线上；④利用10°角所对的直角边是斜边的一半，三角形的面积计算公式来求两个三角形面积之比.
【题目详解】
①根据作图过程可知AD是∠BAC的角平分线，①正确；②如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝10°，∴∠CAB＝60°，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2＝∠CAB＝10°，∴∠1＝90°－∠2＝60°，即∠ADC＝60°，②正确；③∵∠1＝∠B＝10°，∴AD＝BD，∴点D在AB的中垂线上，③正确；④如图，∵在直角△ACD中，∠2＝10°，∴CD＝AD，∴BC＝CD＋BD＝AD＋AD＝AD，S△DAC＝AC∙CD＝AC∙AD.∴S△ABC＝AC∙BC＝AC∙AD＝AC∙AD，∴S△DAC：S△ABC＝AC∙AD：AC∙AD＝1:1，④正确.故选D.
【题目点拨】
本题主要考查尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的外角以及等腰三角形的性质，熟练掌握有关知识点是解答的关键.
9、A
【解题分析】
①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；
②正确．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AE
BC
=
AF
CF
，由AE=
1
2
AD=
1
2
BC，推出
AF
CF
=
1
2
，即CF=2AF；
③正确．只要证明DM垂直平分CF，即可证明；
④正确．设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有b
a
=
2a
b
，即b2a，可得tan∠CAD=
CD
AD
=
2
b
a
=
2
2
．
【题目详解】
如图，过D作DM∥BE交AC于N．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∴∠EAC=∠ACB．∵BE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AE
BC
=
AF
CF
．
∵AE=1
2
AD=
1
2
BC，∴
AF
CF
=
1
2
，∴CF=2AF，故②正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=1
2
BC，∴BM=CM，∴CN=NF．
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故③正确；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有b
a
=
2a
b
，即b=2a，∴tan∠CAD=
CD
AD
=
2
b
a
=
2
2
．故④正
确．
故选A．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
10、D
【解题分析】
根据中位数的定义即可求出x的值，然后根据众数的定义和平均数公式计算即可．
【题目详解】
解：这11个数据的中位数是第8个数据，且中位数为1，
5
x
∴=，
则这11个数据为3、3、3、3、1、1、1、1、1、1、1、8、8、8、19，
所以这组数据的众数为1万元，平均数为119387543
6
15
⨯+⨯+⨯+⨯
=万元．
故选：D．
【题目点拨】
此题考查的是中位数、众数和平均数，掌握中位数的定义、众数的定义和平均数公式是解决此题的关键．
11、B
【解题分析】
由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.
故选B.
12、D
【解题分析】
分析：先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答．
详解：二次函数y =（x +a ）（x ﹣a ﹣1），当y =0时，x 1=﹣a ，x 2=a +1，∴对称轴为：x =
122x x +=12
当P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随x 的增大而减小，由m ＜n ，得：0＜x 0≤12
； 当P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得：12＜x 0＜1． 综上所述：m ＜n ，所求x 0的取值范围0＜x 0＜1．
故选D ．
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、①③
【解题分析】
根据平均数、中位数和方差的意义分别对每一项进行解答，即可得出答案．
【题目详解】
解：①∵甲班的平均成绩是92.5分，乙班的平均成绩是92.5分，
∴这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；
故①正确；
②∵甲班的中位数是95.5分，乙班的中位数是90.5分，
∴甲班学生中数学成绩95分及以上的人数多，
故②错误；
③∵甲班的方差是41.25分，乙班的方差是36.06分，
∴甲班的方差大于乙班的方差，
∴乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小；
故③正确；
上述评估中，正确的是①③；
故答案为：①③．
【题目点拨】
本题考查平均数、中位数和方差，平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
14、1
【解题分析】
设A 、B 两种商品的售价分别是1件x 元和1件y 元，根据题意列出x 和y 的二元一次方程组，解方程组求出x 和y 的值，进而求解即可．
【题目详解】
解：设A 、B 两种商品的售价分别是1件x 元和1件y 元，
根据题意得63=54{34=32
x y x y ++， 解得x=8
{y=2．
所以0.8×（8×50+2×40）=1（元）．
即打折后，小敏买50件A 商品和40件B 商品仅需1元．
故答案为1．
【题目点拨】
本题考查了利用二元一次方程组解决现实生活中的问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
15、3﹣【解题分析】
首先设点B 的横坐标，由点B 在抛物线y 1=x 2（x≥0）上，得出点B 的坐标，再由平行，得出A 和C 的坐标，然后由CD 平行于y 轴，得出D 的坐标，再由DE ∥AC ，得出E 的坐标，即可得出DE 和AB ，进而得解.
【题目详解】
设点B 的横坐标为a ，则()2,B a a
∵平行于x 轴的直线AC
∴())
220,,,A a C a 又∵CD 平行于y 轴
∴)
2,3D a
又∵DE ∥AC
∴()23,3E a a
∴(3,DE a AB a ==
∴DE AB
=3【题目点拨】
此题主要考查抛物线中的坐标求解，关键是利用平行的性质.
16、8π
【解题分析】
根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷
2公式即可求出． 【题目详解】
∵圆锥体的底面半径为2，
∴底面周长为2πr=4π，
∴圆锥的侧面积=4π×4÷2=8π．
故答案为：8π．
【题目点拨】
灵活运用圆的周长公式和扇形面积公式．
17、2x <
【解题分析】
试题解析：根据图象和数据可知，当y>0即图象在x 轴的上方，x>1．
故答案为x>1．
18、1
【解题分析】
先根据平均数求出x ，再根据极差定义可得答案．
【题目详解】 由题意知101098x 5
++++=9， 解得：x=8，
∴这列数据的极差是10-8=1，
故答案为1．
【题目点拨】
本题主要考查平均数和极差，熟练掌握平均数的计算得出x 的值是解题的关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）证明见解析
（2）16 5
【解题分析】
（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、平行线的判定得到OC∥AE，得到OC⊥EF，根据切线的判定定理证明；（2）根据勾股定理求出AC，证明△AEC∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【题目详解】
（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠BAC，
∵点C是BD的中点，
∴∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴22
AB BC
-=4，
∵∠EAC=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴AE AC AC AB
=，
∴AE=
216
5 AC
AB
=．
【题目点拨】
本题考查的是切线的判定、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
20、（1）点B 的坐标为（1，0）.
（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD 长度的最大值为
94
. 【解题分析】
（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．
②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.
【题目详解】
解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0），
∴点B 的坐标为（1，0）.
（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0
=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.
∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.
∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=
⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=
⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴
3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，
∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：
3k b 0b 3
-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩.
∴直线AC 的解析式为y x 3=--.
∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).
又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).
∴()2
2239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-
∴线段QD 长度的最大值为94
.
21、（1）证明见解析；（2）CD ＝.
【解题分析】
（1）根据三角函数的概念可知tanA ＝CD AD ，cos ∠BCD ＝CD BC
，根据tanA ＝2cos ∠BCD 即可得结论；（2）由∠B 的余弦值和（1）的结论即可求得BD ，利用勾股定理求得CD 即可．
【题目详解】
(1)∵tanA ＝
CD AD ，cos ∠BCD ＝CD BC
，tanA ＝2cos ∠BCD ， ∴CD AD ＝2·CD BC ， ∴BC ＝2AD.
(2)∵cosB ＝BD BC ＝34
，BC ＝2AD ， ∴BD AD ＝32
. ∵AB ＝10，∴AD ＝
25×10＝4，BD ＝10－4＝6，
∴BC ＝8，∴CD .
【题目点拨】
本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算.熟练掌握三角函数的概念是解题关键.
22、见解析
【解题分析】
试题分析：（1）先证得四边形ABED 是平行四边形，又AB=AD ， 邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四边形ABED 是菱形，∠ABC=60°，所以∠DEC=60°，AB=ED ，又EC=2BE ，EC=2DE ，可得△DEC 是直角三角形．
试题解析：梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
又AB=AD，
∴四边形ABED是菱形；
（2）∵四边形ABED是菱形，∠ABC=60°，
∴∠DEC=60°，AB=ED，
又EC=2BE，
∴EC=2DE，
∴△DEC是直角三角形，
考点：1．菱形的判定；2．直角三角形的性质；3．平行四边形的判定
23、等腰直角三角形
【解题分析】
首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．【题目详解】
解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，
∴a4－b4－a2c2+b2c2=0，
∴（a4－b4）－（a2c2－b2c2）=0，
∴（a2+b2）（a2－b2）－c2（a2－b2）=0，
∴（a2+b2－c2）（a2－b2）=0
得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，
即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
考点：勾股定理的逆定理．
24、(1)见解析；(2)见解析.
【解题分析】
（1）由AD∥BC得∠DAC=∠BCA, 又∵AC·CE=AD·BC∴AC AD
BC CE
=，∴△ACD∽△CBE ,
∴∠DCA=∠EBC,
（2）由题中条件易证得△ABF∽△DAC∴AB AF
AD DC
=，又∵AB=DC，∴2
AB AF AD
=⋅
【题目详解】证明：
（1）∵AD ∥BC ，
∴∠DAC=∠BCA ,
∵AC ·
CE=AD ·BC ， ∴AC AD BC CE
=, ∴△ACD ∽△CBE ,
∴∠DCA=∠EBC ,
（2）∵AD ∥BC ，
∴∠AFB=∠EBC ,
∵∠DCA=∠EBC ，
∴∠AFB=∠DCA ,
∵AD ∥BC ，AB=DC,
∴∠BAD=∠ADC ,
∴△ABF ∽△DAC , ∴AB AF AD DC
=, ∵AB=DC ，
∴2AB AF AD =⋅.
【题目点拨】
本题重点考查了平行线的性质和三角形相似的判定，灵活运用所学知识是解题的关键.
25、450m.
【解题分析】
若要使A 、C 、E 三点共线，则三角形BDE 是以∠E 为直角的三角形，利用三角函数即可解得DE 的长．
【题目详解】
解：ABD 120∠=︒，D 30∠=︒，
AED 1203090∠∴=︒-︒=︒，
在Rt ΔBDE 中，BD 520m =，D 30∠=︒，
1BE BD 260m 2
∴==，
()
22
∴=-=≈．
DE BD BE2603450m
答：另一边开挖点E离D450m，正好使A，C，E三点在一直线上．
【题目点拨】
本题考查的知识点是解直角三角形的应用和勾股定理的运用，解题关键是是熟记含30°的直角三角形的性质.
26、（1）①直线AB的解析式为y=﹣x+3；理由见解析；②四边形ABCD是菱形，（2）四边形ABCD能是正方形，理由见解析.
【解题分析】分析：（1）①先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论；
②先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；
（2）先确定出B（1，），进而得出A（1-t，+t），即：（1-t）（+t）=m，即可得出点D（1，8-），即可得出结论．详解：（1）①如图1，
∵m=1，
∴反比例函数为y=，当x=1时，y=1，
∴B（1，1），
当y=2时，
∴2=，
∴x=2，
∴A（2，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=-x+3；
②四边形ABCD是菱形，
理由如下：如图2，
由①知，B（1，1），
∵BD∥y轴，
∴D（1，5），
∵点P是线段BD的中点，
∴P（1，3），
当y=3时，由y=得，x=，
由y=得，x=，
∴PA=1-=，PC=-1=，
∴PA=PC，
∵PB=PD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）四边形ABCD能是正方形，理由：当四边形ABCD是正方形，∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0），当x=1时，y==，
∴B（1，），
∴A（1-t，+t），
∴（1-t ）（+t ）=m ，
∴t=1-，
∴点D 的纵坐标为+2t=+2（1-）=8-，
∴D （1，8-），
∴1（8-）=n ，
∴m+n=2．
点睛：此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD 是平行四边形是解本题的关键．
27、（1）二次函数的解析式为223y x x =--+，顶点坐标为（–1，4）；（2）点P 横坐标为2–1；（3）当3x 2
=-时，四边形PABC 的面积有最大值
758，点P （31524
-，）． 【解题分析】 试题分析: （1）已知抛物线2y ax bx c =++ ()0a ≠与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其
对称轴l 为x =﹣1，由此列出方程组，解方程组求得a 、b 、c 的值，即可得抛物线的解析式，把解析式化为顶点式，直接写出顶点坐标即可；（2）把y=2代入解析式，解方程求得x 的值，即可得点P 的横坐标，从而求得点P 的坐标；
（3）设点Ｐ（x ，y ），则2--23y x x =+ ,根据
OBC OAP OPC BCPA S S S S ∆∆∆=++四边形得出四边形PABC 与x 之间的函数关系式，利用二次函数的性质求得x 的值，即可求得点P 的坐标.
试题解析:
（1）∵抛物线2y ax bx c =++ ()0a ≠与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x =
﹣1，
∴0312a b c c b a
⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=-⎩ ， 解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，
∴二次函数的解析式为2--23y x x =+ =()2
14x -++，
∴顶点坐标为（﹣1，4）
（2）设点P （x ，2），
即2--23y x x =+=2，
解得1x ﹣1（舍去）或2x =1，
∴点P ﹣1，2）.
（3）设点Ｐ（x ，y ），则2
--23y x x =+ , OBC OAP OPC BCPA S S S S ∆∆∆=++四边形,
∴ 2339332222BCPA
S x x x =--+-四边形＝23375228x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ ∴当32x =-时，四边形PABC 的面积有最大值758
. 所以点P （315,24
-）. 点睛：本题是二次函数综合题，主要考查学生对二次函数解决动点问题综合运用能力，动点问题为中考常考题型，注意培养数形结合思想，培养综合分析归纳能力，解决这类问题要会建立二次函数模型，利用二次函数的性质解决问题.。