高中数学4-4幂函数课时作业新人教B版必修第二册

4．4 幂函数
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝5x D．y＝(x＋1)3
2．函数y＝x
1
3
的图象是( )
3．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( ) A.①y＝x
1
3，②y＝x2，③y＝x
1
2，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x
1
2，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x
1
2，④y＝x－1
D．①y＝x3，②y＝x
1
2，③y＝x2，④y＝x－1
4．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )
A ．y ＝x 1
3 B ．y ＝x 2
C ．y ＝x 3
D ．y ＝x －2
5．(多选)下列不等式在a <b <0的条件下能成立的是( ) A ．a －1
>b －1 B ．a 13<b 1
3 C ．b 2
<a 2
D ．a －
23>b －2
3 6．设a ＝(错误!未定义书签。

)
错误!未定义书签。

，b ＝(错误!未定义书签。

)35
，c ＝(错误
!未定义书签。

)错误!未定义书签。

，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜c ＜a
7．(多选)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n
在第一象限的图象，已知n 取±2，±1
2
四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )
A ．－2，－12，12，2
B ．2，12，－1
2，－2
C ．－12，－2，2，12
D ．2，12，－2，－1
2
8．若(a ＋1)－错误!未定义书签。

<(3－2a)－错误!未定义书签。

，则a 的取值范围是( ) A ．(12，23) B ．(23，32)
C ．(23，2)
D ．(3
2
，＋∞)
9．(多选)定义域和值域相等的函数为“等域函数”，下列幂函数为“等域函数”的是( ) A ．y ＝x 3
B ．y ＝x －
1
3
C．y＝x 1
2 D．y＝x2
10．0.16−1
2，0.25
−1
4，6.25
1
4从小到大依次是________．
11．若幂函数f(x)＝x m2－2m－3 (m∈Z)的图象与坐标轴无公共点，且关于原点对称，则实数m的取值集合为________．
12．已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，满足：
(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域．
13．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线．设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么，αβ等于________．
14．已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x －m －1
(m ∈R )为偶函数．
(1)则f (1
2
)＝________；
(2)若f (2a ＋1)＝f (a )，则实数a 的值为________．
4．4 幂函数
1．答案：B
解析：函数y ＝5x
是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3
的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5
是幂函数．
2．答案：B
解析：∵当x >1时，x >x 1
3；当x ＝1时，x ＝x 1
3，所以A 、C 、D 均不正确，选B.
3．答案：B
解析：因为y ＝x 3
的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2
为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②，同理可得出选项B 正确．
4．答案：B
解析：∵A ，C 项在(－∞，0)上为增函数；D 项中y ＝x －2
＝1x
2在(－∞，0)上也是增函数，
故选B.
5．答案：ABC
解析：分别构造函数y ＝x －1
，y ＝x
错误!未定义书签。

，y ＝x 2
，y ＝x －
2
3，其中函数y ＝x －1
，y
＝x 2
在(－∞，0)上为减函数，故A 、C 成立，
而y ＝x
错误!未定义书签。

，y ＝x －
23为(－∞，0)上的增函数，从而B 成立，D 不成立．
6．答案：B
解析：由于函数y ＝(25)x
在它的定义域R 上是减函数，∴a ＝(错误!未定义书签。

)
错误!未定义书签。

>b ＝(错误!未定义书签。

)
错误!未定义书签。

>0.由于函数y ＝x 2
5
在它的定义域R
上是增函数，且35>2
5，故有c ＝(错误!未定义书签。

)错误!未定义书签。

>a ＝(错误!未定义书签。

)错误!未定义书签。

，故a ，b ，c 的大小关系是b ＜a ＜c ，故选B.
7．答案：B
解析：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n
递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝1
2；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－
1
2
，曲线C 4的n ＝－2，故选B. 8．答案：B
解析：令f (x )＝x －
12＝
1
x
，∴f (x )的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，
故原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，
解得23<a <3
2
.
9．答案：ABC
解析：y ＝x 3
的定义域和值域都为R ，A 正确；y ＝x －
1
3的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)，B 正确；y ＝x 错误!未定义书签。

的定义域和值域都为[0，＋∞)，C 正确；y ＝x 2
的定
义域为R ，值域为[0，＋∞)，D 错误．
10．答案：0.25－14<6.2514<0.16－
1
2
解析：∵0.25－
14＝0.5－1
2<0.16－
1
2，0.25－
14＝4错误!未定义书签。

<6.2514，6.2514＝2.512
＝0.4－
1
2
<0.16－
12，∴0.25－
14＜6.2514＜0.16－
1
2.
11．答案：{0，2}
解析：幂函数f (x )＝xm 2
－2m －3(m ∈Z )的图象与坐标轴无公共点，且关于原点对称，可得m 2
－2m －3＜0(m ∈Z )，并且m 2
－2m －3为奇数，解得m ＝0，或m ＝2，则实数m 的取值集合为{0，2}．
12．答案：f (x )＝x 3
[0，27]
解析：因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，所以m ＝－1，0，1.因为对任意x ∈R ，都有f (－
x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，
当m ＝－1时，f (x )＝x 2
，只满足条件(1)而不满足条件(2)； 当m ＝1时，f (x )＝x 0
，条件(1)(2)都不满足；
当m ＝0时，f (x )＝x 3
，条件(1)(2)都满足，且在区间[0，3]上是增函数，所以x ∈[0，3]时，函数f (x )的值域为[0，27].
13．答案：1
解析：因为BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，点B (0，1)， 所以M (13，23)，N (23，13)，分别代入y ＝x α，y ＝x β
，
则α＝log 1323，β＝log 231
3，
所以α·β＝log 1323·log 231
3＝1.
14．答案：(1)16 (2)－1或－1
3
解析：(1)由m 2
－5m ＋7＝1，得m ＝2或3， 当m ＝2时，f (x )＝x －3
是奇函数，∴不满足题意， ∴m ＝2舍去；
当m ＝3时，f (x )＝x －4，满足题意， ∴f (x )＝x －4
， ∴f (12)＝(12
)－4
＝16.
(2)由f (x )＝x －4
为偶函数和f (2a ＋1)＝f (a )可得|2a ＋1|＝|a |，即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，解得a ＝－1或a ＝－1
3
.。