2019学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教版(5)

2019学年度下学期期末考试
高二数学（理）试卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共60分） 1．设全集U ＝｛1,3,5,7｝，集合M ＝｛1，|a －5|｝，M ⊆U ，U C M ＝｛5，7｝，则实数a 的 值为 ( )
A ． 2或－8
B ．－8或－2
C ．－2或8
D ．2或8
2．已知命题3
121,0:x x x p >>∀，则命题p 的否定为 ( ) A.3121,0x x x ≤≤∀ B.3
121,0x x x ≤>∀ C.31
02
1
00,0x x x ≤≤∃
D.3
102100,0x x x ≤>∃
3．函数x x x f -+=22lg
)(，则)2
()2(x
f x f +的定义域为 ( ) A ．)4,0()0,4( - B ．)4,1()1,4( -- C ．)2,1()1,2( -- D ．)4,2()2,4( -- 4．已知幂函数2
23()(22)n n
f x n n x -=+-()n Z ∈的图像关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是
减函数，则n =（ ） A ．3--
B ．1或2
C ．1
D ．2
5．方程0122
=++x ax 至少有一个负根的充要条件是 ( ) A ．10≤<a B ．1<a
C ．1≤a
D ．10≤<a 或0<a
6．已知定义域为R 的函数)(x f 满足：对任意实数b a ,有)()()(b f a f b a f ⋅=+，且0)(>x f ，若2
1
)1(=f ，则)2(-f ＝ ( ) A ．2
B ．4
C ．
2
1
D ．
4
1 7．已知A ＝B ＝｛1，2，3，4，5｝，从集合A 到B 的映射f 满足：①)3()2()1(f f f ≤≤ )5()4(f f ≤≤；②f 的象有且只有2个，求适合条件的映射f 的个数为 ( ) A ．10
B ．20
C ．30
D ．40
8．函数()ln |1|ln |1|f x x x =--+的大致图像为（ ）
A. B. C. D.
9．已知函数)12(+=x f y 是定义在R 上的奇函数，函数)(x g 的图象与)(x f y =的图象关于直线x y =对称，则)(x g ＋)(x g -的值为 ( ) A ．2 B ．0 C ．1 D ．不确定
10．若函数)1,0(),(log )(3
≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21
(-
内单调递增，则a 的取值范围是 ( ) A ．)1,4
1[
B ．)1,4
3[
C ．),49(+∞
D ．)4
9,1(
11．对于三次函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x = 的导数，()f x ''是
()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”。

经过探究发
现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。

设函数
32115()33212g x x x x =-+-，则122018
()()()201920192019
g g g ++⋅⋅⋅+=( )
A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
12．已知函数32|log |,0
()41,0x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩
，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1234,,,x x x x ，且满足：
1234x x x x <<<， 则22
13
23432
x x x x x x +-的取值范围是（ ）
A. )+∞
B. 83
(3,]9
C. [3,)+∞
D. 83]9
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知条件p ：1|34|≤-x ；条件q ：0)1()12(2
≤+++-a a x a x ，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是
14．已知函数3)()(3
++=a x x f ，对任意R x ∈，都有)1(6)1(x f x f --=+，则=-+)2()2(f f
15．已知函数25
()21
x x f x +=-，则函数()f x 的值域为
16．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，在)2
1,0(上单调递减，且)()1(x f x f -=-，给出下列四个结论：
①0)1(=f ； ②)(x f 是以2为周期的函数； ③)(x f 在)1,2
1(上单调递减； ④)1(+x f 为奇函数。

其中正确命题序号为
三、解答题（共70分） 17（本题满分10分）
已知集合P ＝]2,2
1[，函数)22(log 2
2+-=x ax y 的定义域为Q 。

（Ⅰ）若P Q φ≠，求实数a 的范围；
（Ⅱ）若方程2)22(log 2
2=+-x ax 在]2,2
1[内有解，求实数a 的范围。

18（本题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且
1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点.
（Ⅰ）求证：1B F ⊥平面AEF ； （Ⅱ）求锐二面角1B AE F --的余弦值.
19（本题满分12分）
某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为A 、B 、C 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.
F
E C 1
B 1
A 1
C
B
A
（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；
（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.
20（本题满分12分）
已知二次函数2
()1f x a x b x
=++(0,)a b R >∈，设方程()f x x =有两个实根12,x x （Ⅰ）如果1224x x <<<，设函数()f x 的图象的对称轴为0x x =，求证：0 1.x >-；（Ⅱ）如果102x <<，且()f x x
=的两实根相差为2，求实数b 的取值范围。

精 品
21（本题满分12分）
已知函数()()lg ,,01mx f x n m n R m x ⎛⎫
=+∈>
⎪+⎝⎭
的图象关于原点对称. （Ⅰ）求m ，n 的值； （Ⅱ）若函数()()2lg 221
x
x
x
b
h x f ⎛⎫
=--
⎪+⎝⎭
在()0,1内存在零点，求实数b 的取值范围.
22（本题满分12分）
已知0a ≥，函数()()
22x f x x ax e =-+．
（I ）当x 为何值时， ()f x 取得最大值？证明你的结论； （II ） 设()f x 在[]
1,1-上是单调函数，求a 的取值范围；
（III ）设()()21x
g x x e =-，当1x ≥时， ()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围．
南昌二中2017－2018学年度下学期期末考试
高二数学（理）试卷参考答案
一、选择题：DDBCC BDBAB CD 二、填空题：13．2
1
0≤≤a ；14．－20；15．(,5)(1,)-∞-⋃+∞；16．①②④ 三．解答题
17．（1）P ＝{
}
022|2
>+-x ax x ， P Q φ≠，∴不等式0222>+-x ax 在]2,2
1[上有解，由0
222
>+-x ax 得x x a 222+-
>，而4)2
2(min 2-=+-x x
， ∴.4->a （2） 4222
=+-x ax 在]2,21[有解，即求x x
a 222+=的值域，].12,23[∈∴a
18．（Ⅰ）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥. 又 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴面ABC ⊥面11BB C C ， ∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥. 设11AB AA ==，
则113
2
B F EF B E =
==.∴22211B F EF B E +=， ∴1B F EF ⊥. 又AF
EF F =，∴ 1B F ⊥平面AEF .
（Ⅱ）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11AB AA ==，
则11(0,0,0),(0,)2F A B E
，1
()2
AE =-，
1(22
AB =-
.由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ， ∴可取平面AEF
的法向量1(0,2
m FB ==. 设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =
，
由11
0,0,0,222020,022
x y z n AE z n
AB z x y z ⎧
--+=⎪⎧=-=⎪⎪⇒⇒⎨
⎨
=-=⎪⎪
⎩-++=⎪
⎩
∴可取(3,1,n =-. 设锐二面角1B AE F --的大小为θ，
C
则cos |cos ,|||||
m n
m n m n θ=<
>=
=
03(1)1⨯
+-+⨯
.
=
，∴所求锐二面角1B AE F -- 19．（Ⅰ）由题意，保费X 元与保单的期望利润E(X)元的关系为：(1500000E(X X P P --=赔付赔付）），则分别
设A 、B 、C 三类工种的保费上限分别为a,b,c
则可得55554411(1)(500000)0.2101022(1)(500000)0.2101011(1)(500000)0.21010a a a b a b c c c ⎧-+-⨯=⎪⎪
⎪
-+-⨯=⎨⎪
⎪
-+-⨯=⎪⎩
解得 6.2512.562.5a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
故A 、B 、C 三类工种的保费上限分别为6.25元，12.5元，62.5元
（Ⅱ）若按（Ⅰ）中计算的各类上限购买，则保险公司获得期望利润为所售出保险总价格的20%，该企业购买保险需花费：
20000×60%×6.25+20000×30%×12.5+20000×10%×62.5=275000元 故保险公司获得期望利润为275000×20%=55000元。

即保险公司在这宗交易中的期望利润为55000元。

20.（1）设2
()()(1)1g x f x x ax b x =-=+-+，且0a >，则由条件x 1<2< x 2<4
得(2)04210(4)016430g a b g a b <+-<⎧⎧⇒⎨⎨>+->⎩⎩1263042016430a b a b a b --+>⎧⇒⇒->⎨+->⎩
0421 1.22b b
a b x a a
⇒>⇒
<⇒=->- （2）
1263031
4216430
42a b a b a a b --+>⎧⇒-<<-⎨
+->⎩31142428a a a ⇒-<-⇒> 11402,(0)0,(2)02a x g g b -<<>∴<⇒<
，11,84
a b >∴< 又2222
2121129()()44(1)4416
x x x x x x b a a -=+-=⇒-=+>
74b ⇒>或1.4b <综上：1.4b <
21．（Ⅰ）函数()()lg ,,01mx f x n m n R m x ⎛⎫
=+∈>
⎪+⎝⎭
的图象关于原点对称，
所以()()0f x f x -+=，所以lg lg 011mx mx n n x x -⎛⎫⎛⎫
+++=
⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭
，
所以111mx mx n n x x -⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪-++⎝⎭⎝⎭
，即()222
2
1101m n x n x ⎡⎤+-+-⎣⎦=-， 所以()22
10
{10 0
n m n m -=+-=>，解得1n =-， 2m =；
（Ⅱ）由()()
212lg 2lg lg 2212121x x
x x x
x x b b h x f -⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
()2
21lg
22x x x
b -=--，由题设知()0h x =在()0,1内有解，即方程()
2
2122x x
x b -=--在()0,1内有
解.()
()
2
2
1
2
2
1212x
x x
b +=+-=+-在()0,1内递增，得27b <<.
所以当27b <<时，函数()()221
x x b
h x f x =+-+在()0,1内存在零点. 22：（I ）∵0a ≥， ()()
22x
f x x ax e =-+∴
/2()[2(2)2]x
f x x a x a e =-+-+
由()22120x a x a -+-+=
得1x a =-则120x x <<
∴()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上单调递减，在[]
12,x x 上单调递增 又0x <时()0f x <，且()f x 在(]
20,x 上单调递增，∴()20f x > ∴()f x
有最大值，当1x a =- （II ）由（I ）知
11{ 112a a a a
-≤-≤⇒-≥≥-2a ⇒≥或2
2
02
{ 133a a a a ≤<+≥-+ 2a ⇒≥或02
3
{ 3
44a a a ≤<⇒≥≥
（Ⅲ）当1x ≥时()()f x g x ≤，即2
2(2)(1)x
x
x ax e x e -+≤-
22
(1)2(1)2x x
x e x x ax x e a x -+⇔-+≤-⇔≤，令2
(1)()x x e x h x x
-+=
(1)x ≥ 则22
/
2
(1)()0x x x e x h x x
-++=>，∴()h x 在[1,)+∞上单调递增，
∴1x ≥时，()(1)1h x h ≥=，∴21a ≤，又0a ≥，所以a 的取值范围是1[0,]2。