第5章2k和3k因子设计

图(a)中,B1,B2线近似平行,而在图(b),B1,B2 线明显地不平行而相交,这说明在第一种情况下, 因子A、B之间没有交互作用。 第二种情况下,因子A、B之间有交互作用。 交互作用是不能忽视的,有时它比因子的作用还 大,不考虑到这一点就可能会犯大的错误,而因子 设计方法是不会漏掉交互作用的,因此说,因子设 计是有效的设计方法,特别是当交互作用存在的 时候。
2. 方差分析 m cy 定义 若有线性组合 满足约束条件 r 1cr 0 ,则称这样 的线性组合为对照(contrast)。并记为 (对照)C= c y 有了这个定义,则C的离差平方和为
m r 1 r r
m
r 1
r
r
Sc=
( Cr yr ) 2
r 1
m
n C
SB=(-30)2/4×3=75.00
SAB=(10)2/4×3=8.33 参照第2章方差分析中,求总离差平方和ST和误差平方和SE。

2 2 y... （330） ST yijk ＝282＋252＋ 292－ ＋ ＝323.00 2*2*3 12 i 1 j 1 k 1 2 2 3
22设计效果计算代数符号表 因子水平组合 因子效果 I A B l + a + + b + + ab + + +
AB + +
上表从纵向看,每列按l,a,b,ab配上该列顺序的+、-号构成的和式,就是该列 因子的(对照)定义式。 上表有如下性质： (1) 除I列外,各列中“+”号、“-”号个数相等; (2) 任意两列(包括I列)同行系数乘积之和为0,这叫正交性。
r 1
m

2 (对照） C
2 r
n Cr2
r 1
m
根据上面我们可以定义因子A,B交互作用A×B的总效果分别为： (对照)A=ab+a-b-l (对照)B=ab+b-a-l (对照)AB=ab+l-a-b 它们都是ab,a,b和l的线性组合,组合系数只有1和(-1),满足 cr 0 r 1 同时有
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第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ章
2k和3k因子设计
5.1因子设计的一般概念
很多试验包含着两个、三个或更多的 因子,对这些因子产生的效果都要进行研 究。 一般来说,对这种类型的试验,因子设 计方法是最有效的。 使用因子设计方法,在每一个完全的 试验或试验的多次重复中,各个因子的各 个水平的所有可能的组合都要考虑。
用与前面完全类似的方法,推出B的效果B为: B=(对照)B/4n
(对照)B=b+ab+bc+abc-l-a-c-ac
它也是由两部分组成:前4项是图3中立方体的后面(B在高水平),都取 “+”后4项是立方体的前面(B在低水平),都取“-”。 完全类似,C的效果C为 C=(对照)C/4n (对照)C=c+ac+bc+abc-l-a-b-ab 其中前4项是立方体的顶部(C在高水平),都取“+”,后4项是立方体的 底部(C在低水平),都取“-”。 交互作用A×B的总平均效果AB是下面两部分的平均: ① C在低水平时,A效果在B的两个水平下的平均差,即 1/2 [(ab-b)/n-(ac-l)/n]=1/2n［ab+l-a-b］ ②C在高水平时,A效果在B的两个水平下的平均差,即 1/2 [(abc-bc)/n-(ac-c)/n]=1/2n［abc+c-ac-bc］
SE=ST-SA-SB-SAB=323.00-208.33-75.00-8.33=31.34 方差分析表如下：
方差来源 因子A 因子B AB 误差E 总和T 平方和 208.33 75.00 8.33 31.34 323.00 自由度 1 1 1 8 11 均方 208.33 75.00 8.33 3.92 F 53.15 19.13 2.13
因子A的平均效果:在B的低水平下为 1/n[a-l] 在B的高水平下为 1/n[ab-b] 总平均效果是这两个数的平均值,即 A=1/2n｛［ab-b］+［a-l］｝=1/2n［ab+a-b-l］ 因子B的平均效果:在A的低水平下为 1/n［b-l］ 在A的高水平下为 1/n［ab-a］
总平均效果是这两个数的平均值,即 B=1/2n｛［ab-a］+［b-l］｝=1/2n［ab+b-a-l]
因子A的效果A是右边(高水平)两项 之和减去左边(低水平)两项之和,再被 2n除; A =1/2n［ab+a-b-l］ 因子B的效果B是上边(高水平)两项 之和减去下边(低水平)两项之和,再被 2n除; B=1/2n［ab+b-a-l] 交互作用A×B的效果AB是右上方 (两高水平)与左下方(两低水平)两项之 和减去左上方(A低B高)与右下方(A高 B低)两项之和,再被2n除。 AB =1/2n［ab+l-a-b］
5.2 2k因子设计
假设试验中共有k个因子,每个因子都只有两个水平。 这些水平可以是数量性的:如温度、压力或时间的两个值; 也可以不是数量性的;如两个机器,两种操作方法。 因子的出现与不出现两种情况,这些都是质量性的。 这种设计的安排总共有2k个不同的组合,若每种组合下取一 个观察值,总观察值共有2k个,因此叫2k因子设计。 我们对2k设计作如下假设:(1)因子是固定的;(2)设计 是完全随机的;(3)一般都满足正态性;(4)反应近似于线性。
二. 23设计
23因子设计有3个因 子A,B,C,每个因子都是两 个水平。这里有主要效果 A,B,C,两两交互作用的效 果为AB,AC,BC,3个因子 交互作用的效果为ABC。 为便于计算这些效果,做一 个立方体。 按照与22设计类似的原 则和方法定出立方体各顶 点的记号,如图－3所示。
图-3 23设计的因子水平组合
(对照)AB=90+80-100-60=10 因子A,B和交互作用A×B的平均效果分别为(注意: n=3) A=1/2×3(对照)A=50/6=8.33
B=1/2×3(对照)B=-30/6=-5.00
AB=1/2×3(对照)AB=10/6=1.67 再由前面公式得平方和分别为 SA=(50)2/4×3=208.33
解:先考虑第一种情况(a) 因子A的主要效果可看成是在A的第一个水平下的平均 反应与在第二个水平下的平均反应之差,记为A,即 A=(40+52)/2 – (20+30)/2=21 类似地,因子B的主要效果是: B=(30+52)/2 – (20+40)/2=11 再考虑第二种情况(b): 因子A的主要效果是: A=1 因子B的主要效果是: B=-9 分别画出这两种情况的图形：如图-1：
AB=1/2 {1/2n［ab+l-a-b］+1/2n［abc+cac-bc]} 即 AB=1/4n［ab+abc+l+c-a-b-ac-bc］ 可记为 AB=(对照)AB/4n
(对照)AB=ab+abc+l+c-a-b-ac-bc (对照)AB由两部分组成,如图3所示。 ①4项为“+”,其中两项为ab,abc是A,B都在 高水平,两项为l,c是A,B都在低水平。 ②4项为“-”,其中两项为a,ac是A在高水 平,B在低水平,两项为b,bc是A在低水平,B 在高水平
交互作用A×B的平均效果AB定义如下:
它是在B的高水平下与在B的低水平下,A的平均效果之差的平均值,即 AB=1/2n｛［ab-b］-［a-l］｝=1/2n［ab+l-a-b］
也可看成在A的高水平下与在A的低水平下,B的平均效果之差的平均 值。即
AB=1/2n｛［ab-a］-［b-l］｝=1/2n［ab+l-a-b］ 这里介绍一个方便的记忆方法:看图中的正方形。
一个因子的效果是由因子水平的改变而引起的反应的变化,经 常称为主要效果 设某一试验有两个因子A和B,因子A有两个水平A1,A2,因子B有 两个水平B1,B2,试验所得结果数据:
B1 B2
A1 20 A2 40 30 52
B1 B2
A1 20 A2 50 40 12
(a)
试考查因子A、B的效果。
(b)
计算效果A: 当B,C都在低水平时为: 1/n (a-l) 当B在高水平,C在低水平时为: 1/n (ab-b) 当B在低水平,C在高水平时为: 1/n(ac-c) 当B,C都在高水平时为: 1/n (abc-bc) 4项总平均效果为 A=1/4 (1/n (a-l)+1/n (ab-b)+1/n (acc)+1/n (abc-bc) =1/4n［a+ab+ac+abc-l-b-c-bc］ 方括号内的部分是8项构成的代数和(参 看图3所示),前4项是立方体右半部(A在高 水平)4个顶点数值之和(都为+),后4项是立 方体左半部(A在低水平)4个顶点数值之和 (都为-),这正好是(对照)A。 由此可将效果A写成: A= (对照)A/4n 其中 (对照)A=a+ab+ac+abc-l-b-c-bc
解: 用前面的分析方法解这个问题: 由上表很容易求出 l=28+25+27=80 a=36+32+32=100 b=18+19+23=60 ab=31+30+29=90
由此得 (对照)A==ab+a-b-l=90+100-60-80=50
(对照)B=90+60-100-80=-30
3.
22设计的符号规则 各因子的线性组合式按顺序l,a,b,ab写出来,称为标准顺序,用 这个标准顺序表示因子的效果,各项的系数如下表所示： l a b ab 效果A -1 +1 -1 +1 B -1 -1 +1 +1 AB +1 -1 -1 +1
如果我们引进符号I表示整个试验的总和全用“+”号,把 “+1”、“-1”,简写为“+”、“-”,并把行与列交换,这样就 得出一个完整的符号表,如下表所示：
全部试验得出的数据,如表所示,
试分析因子A,B和交互作用A×B对化学反应的影响。
因素水平组合
i
实验值（n=3)yik
1 2 3
和yi
记号
Al Ah Al Ah
Bl Bl Bh Bh
28 25 27 36 32 32 18 19 23 31 30 29 ∑=330
80 100 60 90
l a b ab
m
C
r 1
m
2 r
=4。
因此,A,B,AB的平方和分别为

SA=1/4n(对照)2A=［ab+a-b-l］2/4n SB=1/4n(对照)2B=［ab+b-a-l］2/4n SAB=1/4n(对照)2AB=［ab+l-a-b］2/4n
例题：考虑一个化学反应过程,这里有两个因素:因素A为反应物的浓 度,它有两个水平,15%,25%,因素B为催化剂的是否使用,有两个水 平:不用、用,每种组合作3次试验。因素各水平的组合情况为: A(low) 15% A(high) 25% A(low) 15% A(high) 25% B(low) 不用催化剂 B(low) 不用催化剂 B(high) 用催化剂 B(high) 用催化剂
一、22设计
下图为22设计的因子水平组合
图-2 22设计的因子水平组合
2k设计中最简单的就是22设计,这种情况只有两个因子,每个因 子两个水平,这两个水平可以很一般地用“低”(low)和 “高”(high)这种形象的方法表示。 假设在每一种水平组合下作n次重复观察,即取n个观察值。 1. 因子效果（效应）表达
为分析问题的方便,我们引进下列记号:
A表示因子A的效果,B表示因子B的效果,AB表示交互作用A×B 的效果。 a表示因子A在高水平、因子B在低水平情况下观察值之和;b表 示因子A在低水平,因子B在高水平情况下观察值之和;ab表示因子 A,B都在高水平情况下观察值之和,l表示因子A,B都在低水平情况 下观察值之和。
对A,B给出α=0.01,对AB给出α=0.05,查出F 0.01(1,8)=11.26, F0.05(1,8)=5.23, FA=53.15＞11.26, FB=19.13＞11.26, FAB=2.13＜5.23。 所以,因子A,B化学反应均有显著影响,A的影响更显著,交互作用 A×B无显著影响。 以上所用的这种方法,通常叫做2k因子设计的标准分析方法。