2020届天津市和平区上学期高三试测数学试题

2020届天津市和平区上学期高三阶段性试测数学试题
一、单选题
1．已知集合A ={x ||x ﹣1|<2},B ={﹣1,0,1,2},则A ∩B 等于( ) A ．{0,1,2} B ．{﹣1,0,1,2}
C ．{﹣1,0,2,3}
D ．{0,1,2,3}
【答案】A
【解析】求出集合A ，再根据交集概念计算． 【详解】
由题意{|12}{|212}{|13}A x x x x x x =-<=-<-<=-<<， ∴{0,1,2}A B ⋂=． 故选：A. 【点睛】
本题考查集合的交集运算，确定集合中的元素是解题关键． 2．圆锥的高缩小为原来的1
3
，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的（ ） A ．
23
B ．
32
C ．
43
D ．
34
【答案】C
【解析】先求得圆锥原来的体积，再求得变换后圆锥的体积，由此求得新圆锥体积和原来体积的关系，从而得出正确选项. 【详解】
设一个圆锥的底面半径为r ，高为h ，则其体积2
13
V r h π=； 圆锥的高缩小为原来的1
3
，底面半径扩大为原来的2倍，则所得圆锥的底面半径为2r ，高为13
h ，
体积为()22111
42339V r h r h ππ=⋅⋅=.∴2
12449133
r h V V r h ππ==.∴它的体积是原来体积的43
. 故选：C. 【点睛】
本小题主要考查圆锥体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.
3．>0”是“x >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】判断两个命题的真假，即p q ⇒和q p ⇒的真假，可得结论． 【详解】
0x >时，0>，0>时0x <或0x >，0>推不出0x >，
0>是0x >的必要不充分条件． 故选：B. 【点睛】
本题考查充分必要条件的判断．解题时判断两个命题p q ⇒和q p ⇒的真假后可得结论．
4．已知a =20.9,b =0.92,c =log 20.9,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A ．c <a <b B ．b <c <a
C ．a <b <c
D ．c<b <a
【答案】D
【解析】与中间值0和1比较后可得． 【详解】
∵0.921>，200.91<<，2log 0.90<，∴c b a <<． 故选：D. 【点睛】
本题考查实数的比较大小，对幂或对数来讲，常常利用指数函数、幂函数的单调性比较，对数常常用对数函数单调性比较，不同类型的数借助中间值如1，0等比较． 5．已知函数y =f (x )的图象与函数y 1
1x =-的图象关于原点对称,则( ) A ．f (x )1
1x
=
- B ．f (x )11x =+ C ．f (x )=11x + D ．f (x )1
1
x =-
+ 【答案】B
【解析】利用点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --求解． 【详解】
设(,)P x y 是函数()y f x =图象上的任意一点，它关于原点的对称点为(,)Q x y --，
由题意Q 在函数11y x =-图象上，∴11y x -=--，即11y x =+．1
()1
f x x =+．
故选：B. 【点睛】
本题考查函数图象的对称性．掌握对称性是解题基础．如函数()y f x =的图象关于点
(,)a b 对称的图象的解析式是2(2)y b f a x =--，关于直线x a =对称的图象的函数解
析式是(2)y f a x =-． 6．已知f (x 6π+
)=2sin(3π-x )cos(6
π
+x )﹣l(x ∈R ),则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】C
【解析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，求出()f x 后可求周期，判断奇偶性． 【详解】 f (x 6π+
)=2sin(3π-x )cos(6π+x )﹣l 22cos ()1cos[2()]66
x x ππ=+-=+，
∴()cos 2f x x =，它是偶函数，最小正周期为22
T π
π==． 故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数的奇偶性与周期性，考查诱导公式与二倍角公式．解三角函数问题方法一般都是利用三角恒等变换公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数（或余弦函数）的性质求解．
7．已知抛物线220y px p =>()上一点 1 M m (，)到其焦点的距离为5，双曲线2
2
1
y x a -=的
左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =( )
A ．2
B ．2
C ． 22
D ．41
【答案】D 【解析】略
8．数列{a n }满足a 1=﹣3,a n 111
1
n n a a ++-=
+,其前n 项积为T n ,则T 2019等于( )
A ．
12
B ．1
C ．
32
D ．﹣3
【答案】A
【解析】由已知式得出111n
n n
a a a ++=
-，然后由13a =-代入依次求出数列的前几项，可归纳出数列是周期数列，从而易用求解． 【详解】 由a n 111
1n n a a ++-=
+,得111n n n n a a a a +++=-，即111n n n
a a a ++=-，
又13a =-，∴212
a =-
，31
3a =，42a =，53a =-，
∴数列{}n a 是周期数列，周期为4.12341a a a a =， ∴201945043312312
T T T a a a ⨯+====． 故选：A. 【点睛】
本题考查数列的周期性．方法是归纳法，通过求出数列的前几项，归纳出周期性结论．是数列的常用方法．
9．已知f (x )=k (x +1),其中k >0.设g (x )是定义在R 上的周期函数,且g (x )的周期为2,当
x ∈(0,2]时,g (x )2,012,123
x x x ⎧<≤⎪
=⎨<≤⎪⎩.若在区间(0,6]上,关于x 的方程f (x )=g (x )恰有4个不同的
实数根,则k 的取值范围是( )
A ．(221,19)∪(215,16)
B ．[
221,19)∪(215,1
6) C ．[221,19)∪[215,16
)
D ．[221,19]∪[215,16
]
【答案】C
【解析】作出函数()f x 和()g x 的图象，由图象观察两者有四个交点时情形及范围． 【详解】
方程f (x )=g (x )有4个解，即函数()f x 和()g x 的图象有4个交点，作出两函数图象，
()g x 是周期为2的周期函数，()y f x =的图象是过点(1,0)P -的直线，如图，
分别计算直线(1)y k x =+过2
22(5,1),(4,),(5,),(6,)333时的斜率依次为：1212615921
，，，， 当(1)y k x =+过点(5,1)时，又过点2(3,)3
， ∴
21219k ≤<或21156
k ≤<． 故选：C. 【点睛】
本题考查方程根的个数，解题关键是转化为函数图象交点个数．由数形结合思想求解直观易懂．
二、填空题
10．已知a ∈R ,且a >0,i 为虚数单位,|a i
i
+|=2,则a 的值为_____. 3【解析】利用复数模的性质直接计算模． 【详解】
2121
a i a i a i i +++====，又0a >，∴3a = 3 【点睛】
本题考查复数模的运算，利用模的性质进行计算更加方便．即1212z z z z =，
11
22
z z z z =． 11．8
3(2x
x
的展开式中，常数项为___________.
【答案】
16
7 【解析】试题分析：38r 838r
8
1r )1()21()1()2(r
r r r r r x C x x C T ---+-=-=，令0348=-r
，则6=r ，所以常数项为
16
7)1()21(6668=-C .
【考点】二项式系数的性质
点评：本题是基础题，考查二项式定理系数的性质，通项公式的应用，考查计算能力 12．设△ABC 的内角A ､B ､C 所对边的长分别为a ､b ､c ,若3sin A =5sin B ,b +c =2a ,则cos C 的值为_____. 【答案】1
2
-
【解析】用正弦定理把已知角的关系转化为边的关系，这样三角形的三边长可以用其中一边长表示，然后由余弦定理计算． 【详解】
∵3sin 5sin A B =，∴35a b =，由352a b b c a =⎧⎨+=⎩得35
75b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴222
222
94912525cos 32225
a a a a
b c
C ab
a a +
-+-=
=
=-⨯．
故答案为：12
-
． 13．已知圆C 的圆心坐标是(c ,0),半径是r .若直线x +2y +3=0与圆C 相切于点P (1,﹣2),则c =_____,r =_____. 【答案】2
【解析】由过切点的半径与切线垂直可求得c ，然后由两点间距离求得r ． 【详解】 由题意
21
()112
c -⨯-=--，解得2c =
，所以r == 故答案为：2
【点睛】
本题考查圆的切线的性质．掌握切线性质是解题关键．性质：过切点的半径与切线垂直．
14．已知x >0,y >0,则代数式M =(3x +2y )(16
x y
+)中的x 和y 满足_____时,M 取得最小值,
其最小值为_____. 【答案】y =3x 27
【解析】利用基本不等式求解，注意条件． 【详解】
16218218(32)()1515227y x y x
M x y x y x y x y
=++=++≥+⨯=，当且仅当
218y x
x y
=即3y x =时等号成立． 故答案为：3y x =；27. 【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查取最值时的条件：一正二定三相等．
15．如图,菱形ABCD 的边长为3,对角线AC 与BD 相交于O 点,|AC |=23,E 为BC 边(包含端点)上一点,则|EA |的取值范围是_____,EA ED ⋅的最小值为_____.
【答案】22,23⎡⎤⎣⎦ 23
4.
【解析】AE BC ⊥时，AE 长度最短，E 与C 重合时，AE 长度最长．然后以)以O 为原点,BD 所在直线为x 轴建立如图所示直角坐标系，设出B 点坐标，把向量数量积用坐标表示后可求得最小值． 【详解】
根据菱形性质可得OC 3=,则BO 6=
.
(1)作AF ⊥BC ,则AF 236
223
=
=此时AE 最短,当E 与C 重合时,AE 最长,故
2223AE ≤≤,即|EA |∈22,23⎡⎤⎣⎦;
(2)以O 为原点,BD 所在直线为x 轴建系如图:
则A 3)B (6-C (0,3-D 6,0), 所以BC :y 23x =设E (m ,2
3则2
221223
,236,3322224EA ED m m m m ⎛⋅=-+=++ ⎝⎭
,其中m 6,0⎡⎤∈⎣⎦
对称轴为m 66,0⎡⎤=⎣⎦,故当m 6
=时EA ED ⋅最小,最小值为234. 故答案为：[22,23]；234
． 【点睛】
本题考查向量的模和向量的数量积，向量模的范围可由几何图得出，而数量积的最值通过建立坐标系，用坐标运算把数量积表示一个函数，由函数知识求解．这样只要计算即可．
三、解答题
16．某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是:前3天均为
12,后2天均为3
4
,且每一天出现雾霾与否是相互独立的. (1)求未来5天至少一天停止课间操的概率;
(2)求未来5天组织课间操的天数X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)
127
128
.(2)见解析,数学期望为2. 【解析】（1）可以求出五天都可以出操的概率，然后用对立事件概率公式计算；
（2）天数X 的可能取值为0,1,2,3,4,5,分别计算概率得分布列，由分布列可计算期望． 【详解】
(1)课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操. 预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是: 前3天均为
12,后2天均为3
4
,且每一天出现雾霾与否是相互独立的. ∴未来5天每天都组织课间操的概率为: P 13
2
111
()()2
4
128
==
, ∴未来5天至少一天停止课间操的概率: P =1﹣P 1=11127
128128-
=
. (2)未来5天组织课间操的天数X 的可能取值为0,1,2,3,4,5, P (X =0)32
139()()2
4
128
==, P (X =1)31
122
2313111333()()()2
44224
128C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=
⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭, P (X =2)2
221213233211311311146()()()()()224224424128C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=
⎪ ⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
, P (X =3)1
222213233211111131330()()()()()224224424128C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=
⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, P (X =4)2
2231321111139()()()224244128
C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯=
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, P (X =5)3
2
111()()2
4
128
==, ∴X 的分布列为:
数学期望E (X )933463091012345128128128128128128
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2. 【点睛】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查对立事件概率，考查随机变量概率分布列和数学期望．属于中档题，还考查了学生的数据处理能力．
17．如图,四边形ABCD为直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC=2,AD=3,四边形ABEF为平行四边形,AB=1,BE=2,∠EBA=60°,平面ABEF⊥平面ABCD.
(1)求证:AE⊥平面ABCD;
(2)求平面ABEF与平面FCD所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)21 7
.
【解析】（1）在平行四边形ABEF中求得AE的长，用勾股定理逆定理证明AE AB
⊥，然后由面面垂直的性质定理得线面垂直；
（2）以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系,写出各点坐标，求出平面法向量，由法向量夹角得二面角．
【详解】
(1)证明:∵四边形ABEF为平行四边形,AB=1,BE=2,∠EBA=60°,
∴AE22
12212603
cos
+-⨯⨯⨯︒=
∴AB2+AE2=BE2,∴AB⊥AE,
∵平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB.
∴AE⊥平面ABCD.
(2)解:∵四边形ABCD为直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC=2,AD=3,
∴以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),E3),F(﹣3C(1,2,0),D(0,3,0),
FE =(1,0,0),FC =(2,2,3
-
设平面FCD的法向量n =(x,y,z),
则
2230
n FE x
n FC x y z
⎧⋅==
⎪
⎨
⋅=+-=
⎪⎩
,取y3
=得n =3
平面ABEF的法向量m =(0,1,0),
设平面ABEF与平面FCD所成锐二面角的平面角为θ,
则cosθ
321
7
m n
m n
⋅
===
⋅
∴平面ABEF 与平面FCD
所成锐二面角的余弦值为217
.
【点睛】
本题考查面面垂直的性质定理，考查用空间向量法求二面角．空间向量法求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）是立体几何中常用方法，关键是建立空间直角坐标系．
18．已知等差数列{a n }中,a 4+a 7=20,且前9项和S 9=81.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)求数列2n a n n b a =⋅的前n 项和T n .
【答案】(1)a n =2n ﹣1.(2)()
212124241339n n n n T +-=⋅+--. 【解析】（1）用基本量法求出数列的首项和公差，得通项公式；
（2）用错位相减法求和．
【详解】
(1)设公差为d 的等差数列{a n }中,a 4+a 7=20,且前9项和S 9=81.
所以47120989812a a a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩
,整理得112920989812a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得:d =2,a 1=1.
所以a n =1+2(n ﹣1)=2n ﹣1. (2)数列b n =a n 2n a =(2n ﹣1)⋅22n ﹣1,
所以()132********n n T n -=⋅+⋅++-⋅①,
()352141232212n n T n +=⋅+⋅+
+-⋅②, ①﹣②得:﹣3T n =2•21+2•23+…+2•22n ﹣1﹣(2n ﹣1)•22n +1﹣2,
整理得()()132121322222122n n n T n -+-=+++--⋅-, 解得()
212124241339n n n n T +-=
⋅+--. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查求数列的和．解题方法是基本量法，
错位相减法．
19．已知椭圆C :2222x y a b +=l (a >b >0)经过点,1),且离心率e 2
=. (1)求椭圆C 的方程;
(2)若直线l 与椭圆C 相交于A ､B 两点,且满足∠AOB =90°(O 为坐标原点),求|AB |的取值范围.
【答案】(1)22184x y +=;(2)[
【解析】（1）点的坐标代入可得一个关系式22611a b +=，离心率得2
c a =，结合222a b c =+可求得,a b ，得椭圆方程；
（2）当直线l 的斜率不存在时, 设直线l 为:x =m ,代入计算AB ，当直线的斜率存在时,设直线为:y =kx +m ,A (x ,y ),B (x ',y '),代入椭圆中整理，由韦达定理得,x x xx ''+，代入0OA OB ⋅=得出,k m 的关系，计算AB ，用换元法转化为求二次函数的取值范围得出结论．
【详解】
(1)由题意:e c a ==,2261a
b +=1,a 2=b 2+
c 2,解得:a 2=8,b 2=4,所以椭圆的方程为:22
184
x y +=; (2)当直线l 的斜率不存在时,设直线l 为:x =m ,A (x ,y ),B (x ',y '),代入椭中:y 2=4(128m -), ∠AOB =90°,∴OA OB ⋅=0,∴x x '+y y '=m 2
﹣4(128m -)=0,∴m 283=,
∴|AB |=|y ﹣y '3
=; 当直线的斜率存在时,设直线为:y =kx +m ,A (x ,y ),B (x ',y '),代入椭圆中整理得:
(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2﹣8=0,
x +x '2412km k -=+,x x '22
2812m k -=+,yy '=k 2xx '+km (x +x ')+m 2
2222222222
22222842812121212k m k k m m k m m k k k k k
--+-=++=++++, ∵∠AOB =90°,∴x x '+y y '=0,∴2m 2﹣8+m 2﹣8k 2=0,∴3m 2=8+8k 2,
|AB |
===,
令t 2112k =+∈(0,1],所以|AB |=当t 12=,g (t )=112-(t 2﹣t )最大为98
,t =1时,g (t )取得最小值1,
综上所述:|AB |的取值范围[
3]. 【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题．解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
20．已知函数f (x )=ax +blnx (a ,b ∈R )在点(1,f (1))处的切线方程为y 12=
x ﹣1. (1)求a ､b 的值;
(2)当x >1时,f (x )k x +
<0恒成立,求实数k 的取值范围; (3)设g (x )=e x 12
-x ,求证:对于x ∈(0,+∞),g (x )﹣f (x )>2恒成立. 【答案】(1)a 12=-,b =1.(2)k ∈1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦.(3)见解析 【解析】（1）求导数，利用切线方程可得(1),(1)f f '，从而可求得,a b ；
（2）x >1时,f (x )k x
+
<0恒成立,转化为()k xf x <-恒成立，求()xf x -的最小值即可； （3）g (x )﹣f (x )﹣2=e x 12-x ﹣(12-x +lnx )﹣2=e x ﹣lnx ﹣2>0在x ∈(0,+∞)上恒成立. ⇔e x ﹣x ﹣1>lnx ﹣x +1在x ∈(0,+∞)上恒成立.这样只要求得()e 1x F x x =--的最小值，()ln 1G x x x =-+的最大值，即可证明．
【详解】
(1)f ′(x )=a b x
+. 函数f (x )=ax +blnx (a ,b ∈R )在点(1,f (1))处的切线方程为y 12=
x ﹣1. ∴(1)f '=a +b 12=
,f (1)=a 12=-1, 解得a 12
=-,b =1. (2)f (x )12
=-x +lnx , 当x >1时,f (x )k x
+<0恒成立, 等价于:k 21()2min x xlnx <-,x ∈(1,+∞).
令u (x )12
=x 2﹣xlnx ,x ∈(1,+∞). 则u ′(x )=x ﹣lnx ﹣1,
令v (x )=x ﹣lnx ﹣1,x ∈(1,+∞).
∴v ′(x )=11x
->0, ∴u ′(x )=x ﹣lnx ﹣1>u ′(1)=0,
∴u (x )在x ∈(1,+∞)上单调递增.
∴k ≤u (1)12
=. ∴k ∈1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
. (3)证明:设g (x )=e x 12-
x , g (x )﹣f (x )﹣2=e x 12-x ﹣(12
-x +lnx )﹣2=e x ﹣lnx ﹣2>0在x ∈(0,+∞)上恒成立. ⇔e x ﹣x ﹣1>lnx ﹣x +1在x ∈(0,+∞)上恒成立.
令F (x )=e x ﹣x ﹣1,x ∈(0,+∞).G (x )=lnx ﹣x +1,x ∈(0,+∞).
F ′(x )=e x ﹣1,x ∈(0,+∞).
则F ′(x )>F ′(0)=0,
∴F(x)>F(0)=0.
G′(x)
11
1
x x x
-
=-=,
可得x=1时,函数G(x)取得极大值即最大值,
∴G(x)≤G(1)=0.
∴g(x)﹣f(x)﹣2>0在x∈(0,+∞)上恒成立.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性与最值，用导数证明不等式，研究不等式恒成立，解题关键是问题的转化，难度较大．利用导数证明不等式恒成立问题的常用方法：
(1)将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接证得不等式．
(2)直接将不等式转化成某个函数最值问题．若证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)．
(3)将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明：在证明不等式中，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值证明，如证f(x)≥g(x)在D上成立，只需证明f(x)min≥g(x)max即可．。