高中数学选修2-1精品课件：3.1.2 空间向量的数乘运算

(3)∵N 是 C′D′的中点，∴A→N＝12(A→C′＋A→D′) ＝12[(A→B＋A→D＋A→A′)＋(A→D＋A→A′)] ＝12(A→B＋2A→D＋2A→A′)＝12a＋b＋c. (4)∵CQ∶QA′＝4∶1， ∴A→Q＝A→C＋C→Q＝A→C＋45(A→A′－A→C) ＝15A→C＋45A→A′＝15A→B＋15A→D＋45A→A′ ＝15a＋15b＋45c.
(2)两向量共线的充要条件
对空间任意两个向量a，b (b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一
的实数λ，使a＝λb.
(3)共线向量的推论 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对 于空间任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使O→P ＝O→A＋ta，①.其中向量 a 叫做直线 l 的__方__向__向__量___.在 l 上取A→B ＝a，则①式可化为O→P＝O→A＋tA→B，②.此推论可以用来判断任意 三点共线.
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要
条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
【预习评价】 已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外一点 O 满足O→M＝ 13O→A＋13O→B＋13O→C，试判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共 面.
提示 ∵O→A＋O→B＋O→C＝3O→M，∴O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋ (O→M－O→C)＝B→M＋C→M，即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， ∴向量M→A，M→B，M→C共面.
题型二 向量共线问题 【例 2】 如图，四边形 ABCD 和 ABEF
都是平行四边形，且不共面，M，N 分别是 AC，BF 的中点，则C→E与M→N是 否共线？ 解 方法一 ∵M，N 分别是 AC，BF 的中点，且四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形， ∴M→N＝M→A＋A→F＋F→N ＝12C→A＋A→F＋12F→B.①
又∵M→N＝M→C＋C→E＋E→B＋B→N＝－12C→A＋C→E－A→F－12F→B，② ①＋②得 2M→N＝C→E， ∴C→E∥M→N，即C→E与M→N共线. 方法二 ∵M，N 分别是 AC，BF 的中点，且四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形，
∴M→N＝A→N－A→M＝12(A→B＋A→F)－12A→C
题型一 空间向量的数乘运算 【例 1】 如图，在平行六面体 ABCD－
A1B1C1D1 中，设A→A1＝a，A→B＝b，A→D＝c， M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点， 试用 a，b，c 表示以下各向量：
(1)A→P；(2)A→1N；(3)M→P＋N→C1.
பைடு நூலகம்
解 (1)∵P 是 C1D1 的中点， ∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋12D→1C1 ＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b. (2)∵N 是 BC 的中点， ∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－a＋b＋12B→C ＝－a＋b＋12A→D＝－a＋b＋12c.
(3)∵M 是 AA1 的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋(a＋c＋12b)＝12a＋12b＋c. 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1 ＝12A→D＋A→A1＝12c＋a， ∴M→P＋N→C1＝(12a＋12b＋c)＋(a＋12c) ＝32a＋12b＋32c.
【预习评价】 若向量2a－b和3a＋mb共线，则实数m＝________. 解析 因为 2a－b 和 3a＋mb 共线，故存在实数 λ，使得 2a－b ＝λ(3a＋mb)，故 3λ＝2，且 λm＝－1， 解得 m＝－32. 答案 －32
知识点3 共面向量 (1)共面向量的概念 平行于__同__一__个__平__面__的向量，叫做共面向量. (2)三个向量共面的充要条件
4∶1，用 a，b，c 表示以下向量：
(1)A→P；(2)A→M；(3)A→N；(4)A→Q.
解 (1)∵P 是 CA′的中点， ∴A→P＝12(A→C＋A→A′)＝12(A→B＋A→D＋A→A′) ＝12(a＋b＋c). (2)∵M 是 CD′的中点， ∴A→M＝12(A→C＋A→D′)＝12(A→B＋2A→D＋A→A′) ＝12(a＋2b＋c).
3.1.2 空间向量的数乘运算
学习目标 1.掌握空间向量的数乘运算.2.理解共线向量定理及 推论.3.理解共面向量定理及推论.
知识点1 空间向量的数乘运算 (1)向量的数乘：与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘 积仍然是一个向量，记作_λ_a__，称为__向__量__的__数__乘__运算.当 λ>0时，λa与向量a方向相__同____；当λ<0时，λa与向量a方向 __相__反__；λa的长度是a的长度的__|_λ_| _倍. (2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律： 分配律：_λ_(a_＋__b_)_＝__λ_a_＋__λ_b_，结合律：__λ(_μ_a_)_＝__(_λμ_)_a___.
＝12(A→B＋A→F)－12(A→B＋A→D)
＝12(A→F－A→D)＝12(B→E－B→C)＝12C→E. ∴M→N∥C→E，即M→N与C→E共线.
【预习评价】 3(2a－b)＋2(－a－3b)＝________. 解析 原式＝6a－3b－2a－6b＝4a－9b. 答案 4a－9b
知识点2 共线向量 (1)共线向量定义
如果表示空间向量a，b的有向线段所在的直线_互__相__平__行__或__重__合__， 则向量a，b叫做_共__线__向__量____或__平__行__向__量__，记作a∥b.
规律方法 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形进行 求解.如果要表示的向量与已知向量起点相同，一般用加法， 否则用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，则用数乘.
【训练 1】 如图所示，在平行六面体 ABCD －A′B′C′D′中，A→B＝a，A→D＝b，A→A′＝c， P 是 CA′的中点，M 是 CD′的中点，N 是 C′D′ 的中点，点 Q 在 CA′上，且 CQ∶QA′＝