2022年山东省德州市九上期中数学试卷(含答案)

2022年山东省德州市九上期中数学试卷
1.下列汽车标志中，是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
2.下列关于圆的叙述正确的有( )
①圆内接四边形的对角互补；
②相等的圆周角所对的弧相等；
③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；
④圆内接平行四边形是矩形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90∘的扇形，则此扇形的面积为( )
A．π
2m2B．√3
2
πm2C．πm2D．2πm2
4.如图，△ABC中，∠ACB=72∘，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△BDE（点D与点A是对应点，点E与点C是对应点），且边DE恰好经过点C，则∠ABD的度数为( )
A．36∘B．40∘C．45∘D．50∘
5.如图，点A，C，B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=α．则α的值为( )
A．135∘B．120∘C．110∘D．100∘
6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方
向旋转90∘，得到△AʹBʹCʹ，则点P的坐标为( )
A．(0,4)B．(1,1)C．(1,2)D．(2,1)
7.如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB
于点E，交AC于点F，且∠EAF=80∘，则图中阴影部分的面积为( )
A．4B．8
9πC．4−8
9
πD．8−8
9
π
8.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1⋅x2= 3，那么二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是( )
A．
B．C．D．
9.已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是
( )
A．30∘B．60∘
C．30∘或150∘D．60∘或120∘
10.如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，
若∠ABC=55∘，则∠ACD等于( )
A．20∘B．35∘C．40∘D．55∘
11.如图，PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交线段PA，PB于C，D两
点，若∠APB=40∘，则∠COD的度数为( )
A．50∘B．60∘C．70∘D．75∘
12.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，对称轴l如图所示．则下列结论：① abc>0；
② a−b+c=0；③ 2a+c<0；④ a+b<0，其中所有正确的结论是( )
A．①③B．②③C．②④D．②③④
13.若二次函数y=x2−6x+c的图象经过A(−1,y1)，B(2,y2)，C(3+√2,y3)三点，则关于y1，
y2，y3大小关系正确的是．
14.如图，AB与AD是⊙O的切线，切点分别是B，D，C是⊙O上一点，且∠C=56∘，则
∠A的度数为．
15.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2，扇形的
圆心角θ=120∘，则该圆锥的高ℎ为．
16.抛物线y=−x2+bx+c的部分图象如图所示，若y>0，则x的取值范围是．
AC为半径画17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，CA=CB=2．分别以A，B，C为圆心，以1
2弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是．（保留π）
18.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x⋯−2−1012⋯
y⋯04664⋯从表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）
①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；
②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线x=1
；
2
④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
19.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三
个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90∘得到△ABʹCʹ：
(1) 在正方形网格中，画出△ABʹCʹ；
(2) 分别画出旋转过程中，点B和点C经过的路径，并计算点B所走过的路径的长度；
(3) 计算线段BC在变换到BʹCʹ的过程中扫过区域的面积．
20.我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就
是以线段为直径的圆．
(1) 请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）．
21.如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点
M．
(1) 求证：CD与⊙O相切．
(2) 若正方形ABCD的边长为1，求OC的长．
22.如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点
P，连接EF，EO，若DE=2√3，∠DPA=45∘．
(1) 求⊙O的半径；
(2) 求图中阴影部分的面积．
23.某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价
是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．
(1) 写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；
(2) 写出销售该品牌童装获得的利润W元与销售单价x元之间的函数关系式；
(3) 若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，
则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
24.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水
面CD的宽是10米．
(1) 建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
(2) 当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方
体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？
25.如图，已知抛物线经过两点A(−3,0)，B(0,3)，且其对称轴为直线x=−1．
(1) 求此抛物线的解析式．
(2) 若点Q是对称轴上一动点，当OQ+BQ最小时，求点Q的坐标．
(3) 若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB面积的最大
值，并求出此时点P的坐标．
答案
1. 【答案】C
【解析】A ．不是中心对称图形，
∵ 找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转 180 度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
B ．不是中心对称图形，
∵ 找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转 180 度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
C ．是中心对称图形，符合题意；
D ．不是中心对称图形，
∵ 找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转 180 度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意．
2. 【答案】B
【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；
②相等的圆周角所对的弧相等；错误；
③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；
④圆内接平行四边形是矩形；正确；
正确的有 2 个．
3. 【答案】A
【解析】连接 AC ，
∵ 从一块直径为 2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90∘ 的扇形，即 ∠ABC =90∘，
∴AC 为直径，即 AC =2 m ，AB =BC （扇形的半径相等），
∵AB 2+BC 2=22，
∴AB =BC =√2 m ，
∴ 阴影部分的面积是 90π×(√2)
2360=12π(m 2)．
4. 【答案】A
【解析】根据旋转不变性可知：BC =BE ，∠ACB =∠E =72∘，∠ABC =∠DBE ，
∴∠ABD =∠CBE ，∠BCE =∠E =72∘，
∴∠CBE =180∘−72∘−72∘=36∘，
∴∠ABD =36∘．
5. 【答案】B
【解析】∵∠ACB=α，
∴优弧所对的圆心角为2α，
∴2α+α=360∘，
∴α=120∘．
6. 【答案】C
【解析】由图知，旋转中心P的坐标为(1,2)．
7. 【答案】C
【解析】连接AD，
∵BC为⊙A的切线，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=1
2BC⋅AD=1
2
×4×2=4，
∵∠EAF=80∘，
∴S
扇形AEF =80π×22
360
=8
9
π，
∴S
阴影=S△ABC−S
扇形AEF
=4−8
9
π．
8. 【答案】C
【解析】∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1⋅x2=3，
∴x1，x2是一元二次方程x2−4x+3=0的两个根，
∴(x−1)(x−3)=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的交点坐标为(1,0)和(3,0)．
9. 【答案】D
【解析】由图可知，
OA=10，OD=5，
在Rt△OAD中，
∵OA=10，OD=5，AD=√OA2−OD2=√102−52=5√3，
=√3，∠1=60∘，
∴tan∠1=AD
OD
同理可得∠2=60∘，
∴∠AOB=∠1+∠2=60∘+60∘=120∘，
∴圆周角的度数是60∘或120∘．
10. 【答案】A
【解析】∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，
∴∠ADC+∠ABC=180∘，∠ACB=90∘，
∴∠ADC=180∘−∠ABC=125∘，∠BAC=90∘−∠ABC=35∘，
∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，
∴∠MCA=∠ABC=55∘，∠AMC=90∘，
∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，
∴∠DCM=∠ADC−∠AMC=35∘，
∴∠ACD=∠MCA−∠DCM=55∘−35∘=20∘．
11. 【答案】C
【解析】由题意得，连接OA，OC，OE，OD，OB，所得图形如下：由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，
∴△AOC≌△EOC(SAS)，△EOD≌△BOD(SAS)，
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∠AOB，
∴∠COD=1
2
∵∠APB=40∘，
∴∠AOB=140∘，
∴∠COD=70∘．
12. 【答案】D
【解析】① ∵二次函数图象的开口向下，
∴a<0，
∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，
>0，
∴−b
2a
∴b>0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c>0，
∴abc<0，故①错误；
② ∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，故②正确；
③ ∵a−b+c=0，
∴b=a+c．
由图可知，x=2时，y<0，即4a+2b+c<0，
∴4a+2(a+c)+c<0，
∴6a+3c<0，
∴2a+c<0，故③正确；
④ ∵a−b+c=0，
∴c=b−a．
由图可知，x=2时，y<0，即4a+2b+c<0，
∴4a+2b+b−a<0，
∴3a+3b<0，
∴a+b<0，故④正确．
13. 【答案】y1>y3>y2
【解析】根据二次函数图象的对称性可知，C(3+√2,y3)中，∣∣3+√2−3∣∣>∣3−2∣=1，A(−1,y1)，B(2,y2)在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∵−1<1<2，于是y1>y3>y2．
14. 【答案】68°
【解析】连接OB，OD，
由切线的性质可得∠OBA=∠ODA=90∘，
∵∠C=56∘，
∴∠BOD=2∠C=112∘，
在四边形ABOD中，∠A+∠ABO+∠BOD+∠ODA=360∘，∴∠A=360∘−90∘−90∘−112∘=68∘．
15. 【答案】4√2
【解析】根据题意得2π×2=120⋅π⋅R
180
，解得R=6，∴该圆锥的高ℎ=√62−22=4√2．
16. 【答案】−3<x<1
【解析】根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=−1，已知一个交点为(1,0)，
根据对称性，则另一交点为(−3,0)，
所以y>0时，x的取值范围是−3<x<1．
故答案为：−3<x<1．
17. 【答案】2−π
2
【解析】2×2÷2−90π×1
360−45π×1×2
360
=2−π
2
．
18. 【答案】①③④
【解析】根据图表，当x=−2，y=0，根据抛物线的对称性，
当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为(−2,0)和(3,0)；
∴抛物线的对称轴是直线x=3−5
2=1
2
，
根据表中数据得到抛物线的开口向下，
∴当x=1
2
时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6，
并且在直线x=1
2
的左侧，y随x增大而增大．
∴①③④正确，②错．
19. 【答案】
(1) 如图，△ABʹCʹ为所作：
(2) 画出旋转过程中，点B和点C经过的路径如图，因为AB=√32+52=√34，所以点B
经过的路径长=90π⋅√34
180=√34
2
π；
(3) AC=3，线段BC在变换到BʹCʹ的过程中扫过区域的面积=S
扇形BABʹ−S
扇形CACʹ
=
90π⋅(√34)2
360−90π⋅32
360
=25
4
π．
20. 【答案】
(1) 如图；
(2) 锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆；
钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆．
21. 【答案】
(1) 连OM，过O作ON⊥CD于N；
∵⊙O与BC相切，
∴OM⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
∴OM=ON，
∴CD与⊙O相切．
(2) ∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD=1，∠B=90∘，∠ACD=45∘，
∴AC=√2，∠MOC=∠MCO=45∘，
∴MC=OM=OA，
∴OC=√OM2+MC2=√2OA；
又∵AC=OA+OC，
∴OA+√2OA=√2，
∴OA=2−√2，
∴OC=2√2−2．
22. 【答案】
(1) ∵直径AB⊥DE，
∴CE=1
2
DE=√3．
∵DE平分AO，
∴CO=1
2AO=1
2
OE．
又∵∠OCE=90∘，
∴sin∠CEO=CO
EO =1
2
，
∴∠CEO=30∘．在Rt△COE中，
OE=CE
cos30∘=√3
√3
2
=2．
∴⊙O的半径为2．(2) 在Rt△DCP中，
∵∠DPC=45∘，
∴∠D=90∘−45∘=45∘．∴∠EOF=2∠D=90∘．
∴S
扇形OEF =90
360
×π×22=π．
∵∠EOF=2∠D=90∘，OE=OF=2，∴S Rt△OEF=1
2
×OE×OF=2．
∴S
阴影=S
扇形OEF
−S Rt△OEF=π−2．
23. 【答案】
(1) 根据题意得，y=200+(80−x)×20=−20x+1800，
∴销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=−20x+1800(60≤x≤80)．
(2) W=(x−60)y
=(x−60)(−20x+1800)
=−20x2+3000x−108000,
∴销售该品牌童装获得的利润W元与销售单价x元之间的函数关系式W=−20x2+3000x−108000．
(3) 根据题意得，−20x+1800≥240，解得x≤78，
∴76≤x≤78，
W=−20x2+3000x−108000，
对称轴为x=−3000
2×(−20)
=75，
∵a=−20<0，
∴抛物线开口向下，
∴当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，
∴x=76时，W有最大值，最大值=(76−60)(−20×76+1800)=4480（元）．
∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．
24. 【答案】
(1) 设抛物线解析式为y=ax2，
∵抛物线关于y轴对称，AB=20，
∴ 点 B 的横坐标为 10，
设点 B (10,n )，点 D (5,n +3)，
n =102⋅a =100a ，n +3=52a =25a ，
即 {n =100a,n +3=25a, 解得 {n =−4,a =−125
, ∴y =−125x 2．
(2) ∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为 x =3，
∴ 当 x =3 时，y =−
125×9
∵−925−(−4)>3.6
∴ 在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
25. 【答案】
(1) 抛物线经过两点 A (−3,0)，对称轴为直线 x =−1，则抛物线与 x 轴另外一个交点坐标为：(1,0)，
则抛物线的表达式为：y =a (x +3)(x −1)=a (x 2+2x −3)，即 −3a =3，解得：a =−1， 该抛物线的表达式为：y =−x 2−2x +3．
(2) 设点 H 是点 O 关于对称轴的对称点，则 H (−2,0)，
连接 HB 交对称轴于点 Q ，则点 Q 为所求，
则点 BH 的表达式为：y =32x +3，
当 x =−1 时，y =32，故点 Q (−1,32)．
(3) 过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H ，
直线 AB 的表达式为：y =x +3，
设点 P (x,−x 2−2x +3)，则点 H (x,x +3)，
则 S △PAB =12PH ×OA =12×(−x 2−2x +3−x −3)×3=−32x 2−92x ， ∵32<0， ∴S △PAB 有最大值
278，此时 x =−32， 点 P (−32,154)．。