高中数学必修2必备

高中数学必修2知识点总结
立体几何初步
特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'
h 为斜高，l 为母线）
ch
S =直棱柱侧面积
'21ch S =
正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积
rh
S π2=圆柱侧
()
l r r S +=π2圆柱表
rl
S π=圆锥侧面积
()l r r S +=π圆锥表
l
R r S π)(+=圆台侧面积
(
)2
2
R
Rl rl r S +++=π圆台表
柱体、锥体、台体的体积公式
V Sh =柱
13V Sh =锥
'1()3V S S h =台
2V Sh r h π==圆柱 h r V 231π=圆锥
'2211
()()33V S S h r rR R h
π=+=++圆台
（4）球体的表面积和体积公式：V 球
=343
R π ； S 球面=2
4R π 第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1
2 三个公理：
（1
符号表示为
A ∈L
B ∈
L => L α A ∈α B ∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内.
（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α
，
使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3公理1 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ
∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a ∩α=A a ∥α
L
A ·
α C ·
B
·
A · α =>a ∥c
2
π
2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定
1
简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：
a α
b β
=> a ∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1
符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3
2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1
简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：
a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直
线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

2
注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3
2.3.3 —2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1
2
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向x轴平行或重合时,我们规定
它的倾斜角为0
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
当[)
90
,
∈
α时，0
≥
k；当()
180
,
90
∈
α时，0
<
k；当
90
=
α时，k不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211
21
2x x x x y y k ≠--=
（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）
注意下面四点：(1)当21
x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

1当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都
注意：1各式的适用范围 2特殊的方程如：
（7）两条直线的交点
0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l
相交
交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++
222111C y B x A C y B x
A 的一组解。

方程组无解//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 （82y ）
是平面直角坐标系中的两个点，
（9一点()00,y x P 到直线0
:1=++C By Ax l （10已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：
01=++C By Ax ，
2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l
第四章 圆与方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2（1
点00(,)M x y 与圆2
22()()x a y b r -+-=的位置关系：
当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当220
0()()x a y b -+-<2r ，点在圆内
（2当04>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛--2,2
E D ，半径为F
E D r 4
2
122-+=
当0422
=-+F E D
时，表示一个点； 当042
2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： （1）设直线
0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到
l 的距离为
，则有相离与C l r d
⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<
（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 解k ，得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2
+(y-b)2
=r 2
，圆上一点为(x 0，y 0)，
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()22
12
11:r b y a x C =-+-，()()22
2222:R b y a x C =-+-
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

当r R d
+>时两圆外离，此时有公切线四条；
当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
r R d r
R +<<-
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
（必修二）第二章 点、直线、平面之间的位置关系
一、 知识网络
二、高考考点
1、空间直线，空间直线与平面，空间两个平面的平行与垂直的判定或性质.其中，线面垂直是历年高考试题涉及的内容.
2、上述平行与垂直的理论在以多面体为载体的几何问题中的应用；求角；求距离等.其中，三垂线定理及其逆定理的应用尤为重要.
3、解答题循着先证明后计算的原则，融推理于计算之中，主要考察学生综合运用知识的能力，其中，突出考察模型法等数学方法，注重考察转化与化归思想；立体问题平面化；几何问题代数化.
三、知识要点 （一）空间直线
1、空间两条直线的位置关系
（1）相交直线——有且仅有一个公共点； （2）平行直线——在同一个平面内，没有公共点；
（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点. 2、平行直线
（1）公理4（平行直线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示：
设a,b,c 为直线，
（2）空间等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等.
3、异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
（2）有关概念：
（ⅰ）设直线a,b为异面直线，经过空间任意一点O作直线ａ＇，ｂ＇，并使ａ＇//a，ｂ＇//b,则把ａ＇和ｂ＇所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.
特例：如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直.
认知：设为异面直线a，b 所成的角，则.
（ⅱ）和两条异面直线都垂直相交的直线（存在且唯一），叫做两条异面直线的公垂线.
（ⅲ）两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线的距离.
（二）空间直线与平面
直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内——直线与平面有无数个公共点；
（2）直线和平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点；（3）直线和平面平行——直线与平面没有公共点.
其中，直线和平面相交或直线和平面平行统称为直线在平面外.
1、直线与平面平行
（1）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此为证明直线与平面平行的原始依据.
（2）判定：判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
认知：应用此定理证题的三个环节：指出.
（3）性质：性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
2、直线与平面垂直
（1）定义：如果直线l和平面内的任何一条直线都垂直，则说直线l和平面互相垂直，记作l⊥.
（2）判定：
判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.符号表示：.
（3）性质
性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
符号表示：
（4）概念
（ⅰ）点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
（ⅱ）直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.
（三）空间两个平面
1、两个平面的位置关系
（1）定义：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行.
（2）两个平面的位置关系（ⅰ）两个平面平行——没有公共点；（ⅱ）两个平面相交——有一条公共直线.
2、两个平面平行
（1）判定
判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
判定定理2：（线面垂直性质定理）：垂直于同一条直线的两个平面平行.
（2）性质
性质定理1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
性质定理2（定义的推论）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.
3、有关概念
（1）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.
（2）两个平行平面的公垂线段都相等.（3）公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.
4、认知：
两平面平行的判定定理的特征：线面平行面面平行，或线线平行面面平行；
两平面平行的性质定理的特征：面面平行线面平行，或面面平行线线平行.
它们恰是平行范畴中同一事物的相互依存和相互贯通的正反两个方面.
四、经典例题
例1、在正方体中，E、F、G、H分别为棱BC 、、、
的中点，求证：
（1）；（2）
分析：线面平行或面面平行的证明，一般是运用相应的判定定理.为此，需要在有关平面内寻找相关直线的平行线.寻找平行线的平面几何方法主要有：
（ⅰ）构造平行四边形；（ⅱ）构造三角形中位线或三角形中的成比例线段；（ⅲ）构造梯形
例2、已知平面
分析：已知直线与平面平行，必然要利用线面平行的性质或定义，一般是利用线面平行性质定理.为此，已知直线，需要经过直线n 作平面，进而推出n//a.本题证明由此展开.
例3、在正三棱柱中，E是AC中点，
（1）求证：；（2）求证：；
（3）若.
分析：注意到正三棱柱的特性
（1）利用上述特性构造三角形，构造平行四边形或构造面面平行，不同的构造产生出不同的证法；
（2）注意到正三棱柱的侧面与底面垂直，又这里BE⊥AC，问题易证.
（3）注意到，的垂线易作，故考虑运用三垂线定理构造二面角的平面角.
例4、已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.
（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.
分析：
（1）注意到AF与SC在同一个平面内，证明AF⊥SC首选三垂线定理逆定理.为此，从已知的线面垂直切入，从寻找它们所在平面SAC的垂线突破.
（2）仿（1），从寻找平面SAD的垂线切入或突破.
例5、已知P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，若O、Q分别是△ABC和△PBC 的垂心，求证：OQ⊥平面PBC.
分析：循着证明线面垂直问题的基本思路，从已知的线面垂直切入，去构造有关直线的垂面.
例6、在立体图形P-ABC中，已知PA=PB，CB⊥平面PAB，M为PC的中点，N在棱AB上，试问，当点N在棱AB的什么位置上时有MN⊥AB？
分析：对于在限定的垂直关系下确定点或直线的位置问题，一般思路是“先构造后定位”为此，首先需要立足于已知垂面，从已知的线线垂直或线面垂直入手，去寻找有关平面的新的垂线.
五、高考真题
（一）选择题
1，设为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且，有如下的两个命题：
①若；②若那么（）
A、①是真命题，②是假命题；
B、①是假命题，②是真命题；
C、①②都是真命题；
D、
①②都是假命题.
2、已知m,n 是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①②
③④若m,n
是异面直线，
其中真命题是（）
A、①和②
B、①和③
C、③和④
D、
①和④
3，设为平面，m,n,l为直线，则m
⊥的一个充分条件是（）
4、对于不重合的两个平面，给定下列条件：
①存在平面，使得都垂直于；②存在平面，使得都平行于；
③内有不共线三点到的距离相等；④存在异面直线l,m
，使得
；
其中可以判定平行的条件有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
（二）填空题
1、已知m,n 是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：
①若②若
③若④m,n
是两条异面直线，若
上面的命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）
2、在正方体中，过对角线的一个平面交于E ，交于
F，则
①四边形一定是平行四边形；②四边形有可能是正方形；
③四边形在底面ABCD的投影一定是正方形；④平面有可能垂直于
平面
以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）
（三）解答题（1，2，3必做）（4题选做）
1、如图1，已知ABCD是上下底面边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成
直二面角，如图2.
（1）证明：；
（2）求二面角的大
小.
2在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB
＝.F是线段PB
上一点，
，点E在线段AB上，且EF⊥PB.
（1）证明：PB⊥平面CEF；（2）求：二面角B-CE－F的大小.
3、如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE
＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的大小；
（3）求点D到平面ACE的距离.
4、如图，在长方体中，，AB＝2，点E在棱AB上移动.（1）证明：；
（2）当E为AB中点时，求点E到平面的距离；
（3）AE等于何值时，二面角的大小为.。